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几何概率的计算方法 高中数学必修3第三章3.3几何概型教学探讨 汝阳县第一高中孟臣杰从某中意义上说，几何概率是古典概率的补充和推广，在现代概率的发展中，曾经起过积极的作用。深入考察几何概率问题，对进一步理解概率的基本性质，具有十分重要的意义。 本文主要讨论几何概率的计算方法，探索解题思路，总结解题技巧。解答几何概率问题，一般包含相互联系的四个步骤：1. 判明问题的性质判明问题的性质是解题的第一步，就是先弄清所解的问题，是不是几何概率问题。如果问题所及的试验，具有以下两个特征：（1）.试验的样本空间包含无穷多个元素，每个样本点由几何空间（一维、二维、三维，甚至n维）中的某一区域G内的点的随机位置来确定；（2）各个样本点的发生是等可能的，也就是区域G内的点的任何位置是等可能的，那么，我们就可以判断它是一个几何概率问题。2.明确参数的含义任何一个几何概率问题，它的样本点都可以归结为具有某种等可能的几何元素。为了叙述方便，通常把相应的几何元素叫做等可能值的参数，弄清具有某种等可能性的随机点是什么。也就是要正确理解“等可能”、“随机”、“均匀分布”等词在题中的实际意义，正确揭示他们的本质，以使问题的解答有一个可靠的基础。3.确定区域的测度明确了等可能值的参数以后，我们就可以根据题设条件，借助于适当的几何模型，把事件A所处的样本空间和有利场合，分别与几何空间中的区域G和GA对应起来。从而，利用初等几何或微积分知识，确定G和GA测度，即计算他们的长度、面积或体积等。4.明确事件的概率确定了区域G和GA的测度后，就可以直接利用公式推求事件A的概率。几何概率的计算公式和古典概率相仿，结构比较简单，如果用L(G)和L(GA)分别表示区域G和GA的测度，那么事件A的概率是上述四个步骤是一个完整的统一体。容易看出，明确等可能值的参数，是解题的基础，确定区域的测度，是解题的关键。几何概率计算中的种种技能和技巧，大多是围绕确定L(G)和L(GA)而展开的。一、 简单几何概率的解法几何概率的问题，大体上可以分两类，一类是样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域已直接给出，另一类是样本空间所在的几何区域，题中没有直接指明，需要对问题做深入分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域。前者结构简单，易于求解；后者结构复杂，解答富有技巧性。本节重点讨论简单几何概率的解法。解答这类问题，通常可以从明确等可能值参数的含义入手，先找出相应的区域G和GA,确定他们的测度，再代入几何概率公式计算求解。例1. 在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R的概率。 11思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G是一维空间（即直线）上的线段MN，而有利场合所对应的区域GA，是长度不小于R的平行弦的中点K所在的区间。解法1.设EF与E1F1是长度等于R的两条弦，直径MN垂直于EF和E1F1，与他们分别相交于K和K1(图1-2)。依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN，有L(G)=MN=2R，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK1，有以几何概率公式得。解法2.如图1-1所示，设园O的半径为R, EF为诸平行弦中的任意一条，直径MN弦EF，它们的交点为K，则点K就是弦EF的中点。设OK=x，则 x -R,R, 所以 L(G)=2R设事件A为“任意画的弦的长度不小于R”，则A的有利场合是 ,解不等式，得 所以 于是 评注 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。例2.平面上画有一组平行线，其间隔交替为1.5cm和10cm，任意地往平面上投一半径为2cm的圆，求此圆不与平行线相交的概率。思考方法 本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数，为此，需发掘“任意的往平面上投一直径为2cm的圆”之真实含义，找出具有某种等可能的随机点。注意到定半径的圆的位置决定于圆心，可以取圆心作随机点，由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任意的，所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行线的间隔交替的为1.5cm和10cm，则研究相邻三条平行线之间情况就可以反映问题的全貌。经上面的分析，我们可以取圆心为随机点，它等可能地分布在相邻三条平行线的某一垂线上（如图1-3）由此原题不难解出。解 设L1、L2、L3是三条相邻的平行线，EPF是它们之间的垂线（图1-3），则样本空间所对的区域是线段EF,有L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)注意到L1与L2相邻1.5cm，所以圆心如果落在线段EP上，那么圆与平行线必定相交。设半径为2cm的O、O1分别切L2、L3于P、F，则事件的有利场合所对应的区域应是线段OO1有L(GA)=OO1=PF-OP-O1F=10-2-2=6cm。 评注 从本题可以看出，如果题中没有直接指明等可能值参数，则解题的关键，在于斟酌题设条件，发掘等可能值参数的含义，找出随机点的分布情况。不难发现，上面两个例子中的空间和有利场合，他们所对应的区域都是一维的。我们可以把解题思路推广到二维空间或三维空间的场合，可以解答下列各题（1） 平面上有两组互相垂直的平行线把平面划分为边长为a的正方形。向平面任意投一半径为r（rd+2a）。如果球的飞行轨道于网格平面垂直，求命中枝条的概率。(答案：)例3在三角形ABC中任取一点P，证明：ABP与ABC的面积之比大于的概率为。思考方法 本题的随机点是的顶点P，它等可能的分布在中，因此，与样本空间对应的平面区域是，注意到于有公共边AB，所以的面积决定于顶点P离底边AB的距离。这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。解 设与的面积之比为，的高CD为h，的高PG为h1，公共底边AB的长为c，（图1-4）则 过点P作EF/AB,交CD于H,则有立场合所对应的平面区域为.于是所求概率为注意到EF/AB，,且 CH=h -h1 = h-h= 由此，原题得证。评注 本题的样本空间虽然与平面区域相对应，但因三角形ABC于三角形ABP有公共底边AB，所以，实际变化着的量只有一个(即点P于AB的距离)，问题还比较简单，对于较复杂的平面区域，常常要根据题设选定两个变量，由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。例4 在半径为的圆内随机的取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形边长的概率等于多少？思考方法 题中没有明确指明等可能值的含义，对“随机地取一条弦”可以有多种理解。如果把它理解为弦与垂直于它的直径之交点的位置是等可能的，有解法一，如果把它理解为弦与某一给定方向之间的夹角是等可能的，有解法二，如果把它理解为在圆内的中点位置是等可能的，有解法三。解法一 因为弦长只跟它与圆心的距离有关，而与它的方向无关，因此可以假定它垂直于 某一直径。当且仅当它与圆心的距离小于0.5时，其长才大于（图1-5）故所求概率为。解法二 在圆周上任取一点A，作圆的切线AT，则过A的圆的任意弦AB与AT的交角决定弦的位置，可从0变到，而弦大于，等价于在与之间取值（图1-6），于是，所求概率为 。解法三 因为弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为0.5的同心圆时，其长才大于（图1-7）。由于此小圆面积为 故所求概率为本题是一个著名问题，在概率论中被称为贝特朗奇论。那么，为什么同一个几何概率题会有几种不同的答案呢？细酌三种解法，不难发现，问题出在对等可能值参数没有做出确切的规定，“随机地取一弦”一语，没有明确指出随机性的潜在本质，可以有各种理解，反映了不同的随机事件。解法一求的是“随机点M位于线段GH上”的概率；解法二求的是“随机点B落于圆弧EF上”的概率；解法三求的是“随机点落在半径为0.5的同心圆内的概率。因此，从这意义上讲，相对于每种解释，其计算结果都是正确的。由此表明，我们在制作概率题时，必须对“等可能”、“随机”、“均匀分布”等术语的含义做出明确的规定，否则会引起“奇论”；解答几何概率题，必须结合题意，明确题中等可能值参数的真实含义，不然会导致错误的答案。练习 1. 在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|AC|的概率（答案：0.75）2. 在等腰RtABC中，C=900，在直角边BC上任取一点M，求的概率（答案：）二、复杂几何概率题的解法比较复杂的几何概率题，大多是样本空间和有利场合缺乏明显的几何意义，它们所对应的区域一时难以确定，因此，解题的关键在于找出相应的区域G和GA。 为了顺利的探求G和GA，一般可以从代数方法入手，引进适当的变量，利用数形结合，逐步转化到相应的集合区域，具体办法是:1. 根据题设条件，选取适当的变量；2. 利用所引进的变量，把样本空间和有立场合的有关属性，转化成相应的代数条件。3. 按照所得到的代数条件，确定几何空间中的相应区域。由此所得的几何区域，就是样本空间所对应的区域G和GA，一般地，只有一个变量的问题，对应于直线上的有关区域，解题时可用长度；仅两个变量的问题，对应于平面上的有关区域，解题时可用面积；含有三个变量的问题，对应于三维空间的有关区域。解题时可用体积。例一、 设k等可能地在区间0,5中取值，试求方程有实根的概率。思考方法 本题的样本空间非常明显，即一维空间上的区域0，5，而有立场合的约束条件，隐藏在所给方程之中，注意到方程有实根的充要条件是判别式不小于零，则不难得到有立场合所对应的区域。解 依题设，k等可能地在区间0,5中取值，所以样本空间对应的区域G就是区间0,5，有L(G)=5-0=5又因为方程有实根的充要条件是判别式不小于零，所以 有k只能在0,5上取值 于是L(GA)=5-2=3评注 本题已经直接给出变量k，无需另外引入。有利场合所对应的区间，隐于题设条件之中，需要联系方程的根的性质，才能逐步发掘。这就告诉我们，解答复杂几何概率问题，必须联合运用有关数学知识。例2. 在圆周上任取三点A、B、C，求三角形ABC为锐角三角形的概率思考方法 根据圆周角和所对弧的关系，在圆周上任取三点，所得的三角形是否为锐角三角形，取决于这三点把圆周分成的三段弧是否都小于，或其弧长都小于。注意到所得的三段弧中，如果两段确定，则第三段随之确定，因此，可选其中两段作变量，建立它们各自的约束条件，由此确定事件所处的样本空间与有立场合所对应的区间。 解 设事件A为“三角形ABC为锐角三角形”，令圆o的半径为R，（图2-1）则所有可能构成三角形的可能情况是(1) 而有立场合的肯情况是(2)把条件（1）、（2）所反映的区域，在平面直角坐标系中表示出来，（1）对应的区域G（）,(2)对应的区域GA().显然，有L(G)= L(GA)= 于是=评注 例2表明，在引进变量时，必须斟酌题设情况，选取独立变量。本题如果把三段弧去做三个变量，则解题过程或是变得更加复杂或是难以求解。解题时选取的变量，一般不是唯一的，如例2也可以把顶点作为变量。设A=x，B=y则样本空间所对应的区域为 有利场合所对应的区域为同样得解。练习 1.把一根棒任意折成三段，求三小段能构成三角形的概率。（答案：1/4）2.两人相约7时到8时在某地会面，先到者等候另一个20分钟，这时就可离去，试求这两人会面的概率(答案：5/9)例3. 任取三条不大于a的线段，求这三条线段能够成一个三角形的概率。思考方法 题设的三条线段互不相干，所以可设置三个独立变量。注意到三条线段构成三角形的充要条件，可推得有立场合的约束条件。由此原题可以解出。解 设三条线段的长分别为x、y、z，则样本空间是（1）有三条线段构成三角形的条件可知，其中的任意两条之和比大于第三条线段，于是，有利场合的可能情形是（2） 把条件（1）、（2）所限制的区域，在空间直角坐标系中表示出来，有如图2-3所示。其中（1）所对应的区域G是正方体OA4，(2)所对应的区域GA是六面体OA1A2A3A4，且有评注 在上面的三个例子中，例1的样本空间所对应的区域是一维的，例2的样本空间所对应的区域是二维的，例3的样本空间所对应的区域是三维的。这就告诉我们，区域G和GA的维数，一般的为题中独立变量的个数所决定的。例1 例3都是利用通常的几何知识，确定有关区域的测度。对于更为复杂的问题，还常常灵活运用微积分知识，才能求得相应区域的测度。例4 平面上画着间隔为d的平行线，向此平面任意投一长度为(d)的针，求针于平行线相交的概率。思考方法 题中告诉我们，针的长度小于平行线的间隔d，所以投出的针至多与这些平行线中的某一条相交，这样，解题时只要考虑针于某一平行线之间的可能情况就可以了。相对于最靠近针的一条平行线1而言，针是否与l1相交，可利用针的中的M到1的距离x和针1的交角这两个变量来描述(图2-4)，从数量关系上来考察，当且仅当时，针于1相交。由此可以确定样本空间和有利场合对应的区域。解 用M表示针的中点，x表示针投到平面上M与最邻近一条平行线1的距离，表示针与1的交角（图2-4）则样本空间应满足的代数条件是（1） 注意到针与1相交的充要条件是，所以有利场合应满足的代数条件是（2）如图2-5所示 条件（1）所对应的区域G就是边长为及的长方形，条件（2）所对的区域是正弦曲线和X轴围成的部分，由微积分知识可得 （3）例5.从0,1中随机地取两个数，其积不小于，求其和不大于1的概率。思考方法 本题结构并不复杂，按照通常的思路容易确定样本空间和有利场合所对应的区域，解题的难处是计算区域GA的测度，为此需用积分知识计算曲边形的面积解 设所取的两个数位为x,y，则样本空间为 (1) 有两场合为 (2) 在平面直角坐标系中，(1)所对应的区域G，是边长为1的正方形，有L(G)=1，(2)所对应的区域GA,是有双曲线C:和直线l:x+y=1所围成的曲边形（图2-6）,解方程组 得 则评注 在解答例4和例5的过程中，我们运用定积分的知识来确定有例场合对应的区域GA的测度。由此可见，数学分析是研究概率论的重要工具，它们之间有着密切的联系。三、利用随机数实验来估计概率在必修3中，研究了用计算器或计算机产生随机数的实验用频率来估算概率，下面我们通过例题来说明用计算机产生随机数的实验用频率来估算概率。例 从甲地到乙地有一班车930到1000到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘945到1015出发的汽车到丙地去，用随机模拟方法求他能赶上车的概率解析1 用EXCEL实验 能赶上车的条件是到达乙地时，汽车还没有出发我们可以用两组均匀随机数x与y来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当xy时，他能赶上车，设事件A“他能赶上车”S1用计算机产生两组0,1区间上的均匀随机数a1RAND（ ），b1RAND（ ）S2用平移伸缩变换x=a1*0.59.5产生9.510之间的均匀随机数x表示到达乙地时间，y=b1*0.59.75产生9.7510.15之间的均匀随机数y表示汽车从乙地出发的时间；S3统计试验总数n和试验中能赶上车的次数m(满足条件xy的点（x，y）的个数)；S4 计算频率 S5 事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值点评解题的关键是找两个随机数表示甲地到乙地汽车到达的时间和乙地到丙地汽车的出发时间。解析2 此题也可以用QBASIC编写程序解答，其程序如下： INPUT “N=”；NI=1M=0DOA1=RND（I）B1=RND（I）X=A1*0.5+9.5Y=B1*0.5+9.75IF XNF= M/NPRINT “P” ；FEND例： 利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y9x2与x轴和yx围成的图形)的面积 解析1 用EXCEL实验设事件A为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”(1)利用计算器或计算机产生两组0