2019_2020学年九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形教案（新版）新人教版.docx

27.2相似三角形1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实.2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握平行线判定三角形相似的方法.3.了解三角形相似的三个判定定理的证明过程,能灵活应用三角形相似的三个判定定理证明三角形相似.4.了解直角边斜边判定定理的证明过程,能应用直角边斜边判定定理证明直角三角形相似.5.理解相似三角形的性质,能用三角形相似的性质计算有关角、线段、周长、面积问题.6.能应用三角形相似的判定定理及性质解决数学问题.7.能建立数学模型运用三角形相似的有关知识解决一些实际问题.1.经历平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.2.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明过程中,渗透数学中的类比思想和转化思想.3.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.4.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生综合运用知识解决数学问题的能力.5.通过建立与三角形相似有关的数学模型解决实际问题,培养学生数学建模思想,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维.2.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.4.通过类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.5.通过建立数学模型解决实际问题,培养学生积极进取的精神,增强学习数学的自信心.【重点】1.掌握平行线分线段成比例基本事实,利用平行线判定相似三角形.2.能灵活运用三角形相似判定定理证明三角形相似.3.运用三角形相似的性质计算有关角、线段、周长、面积问题.4.能运用三角形相似的知识解决实际问题.【难点】1.探索三角形相似的判定定理及性质的证明.2.灵活运用三角形相似的判定方法证明三角形相似.3.在实际问题中建立数学模型解决问题.27.2.1相似三角形的判定1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实.2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握平行线判定三角形相似的方法.3.了解三角形相似的三个判定定理的证明过程,能灵活应用三角形相似的三个判定定理证明三角形相似.4.了解直角边斜边判定定理的证明过程,能应用直角边斜边判定定理证明直角三角形相似.5.能应用三角形相似的判定定理及性质解决简单问题.1.经历平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.2.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中,渗透数学中的类比思想和转化思想.3.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.4.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作、合情推理及演绎推理能力.2.通过探究三角形相似的判定定理的证明,渗透数学中的类比思想方法,提高学生逻辑思维能力.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质疑的学习习惯.4.通过类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.【重点】1.掌握平行线分线段成比例基本事实,利用平行线判定相似三角形.2.能灵活运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.3.能运用三角形相似的判定及性质解决简单问题.【难点】1.探索三角形相似的判定定理的证明.2.灵活运用三角形相似的判定方法证明三角形相似.第课时1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实.2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握利用平行线判定三角形相似的方法.1.通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.2.通过平行线判定三角形相似及利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维.2.探究利用平行线判定三角形相似的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.【重点】1.掌握平行线分线段成比例基本事实.2.能利用平行线判定三角形相似.【难点】探索利用平行线判定三角形相似的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】准备距离相等的一组平行线(或语文横格本).导入一:【课件展示】你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊一位伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度),展示了他非凡的数学及科学才能，如图.过渡语泰勒斯测量金字塔的高度的方法正确吗?通过学习相似三角形的判定及性质,就可以说明他的测量方法是正确的.导入二:【复习提问】(1)什么是相似多边形?相似多边形有什么性质?(2)当相似比为1时,两个相似多边形有什么关系?【师生活动】学生独立回答,教师点评.设计意图通过数学家测量金字塔的高度导入新课,激发学生学习的兴趣,从而向学生进行要刻苦学习的思想教育,同时让学生体会数学在实际生活中的应用；通过复习相似多边形的概念及性质,让学生用类比法得到相似三角形的概念及性质,为本节课的学习做好铺垫.过渡语三角形是最简单的多边形,我们知道了相似多边形的概念,很容易得到相似三角形的概念.一、认识相似三角形思考并回答:(1)类比相似多边形的概念,你能说出相似三角形的概念吗?(2)如果相似比是1,那么这两个三角形是什么关系?(3)ABC与ABC的相似比为k,那么ABC与ABC的相似比是多少? (4)类比相似多边形的性质,说出相似三角形的性质,并用几何语言表示.【师生活动】学生思考回答,教师对每个问题点评后展示课件,规范数学语言.(课件展示)(1)定义:三个角分别相等,三条边成比例,我们就说这两个三角形相似.对应边的比就叫做两个三角形的相似比.(2)表示:ABC与ABC相似记作“ABCABC”,读作“ABC相似于ABC”.注意:对应顶点写在对应的位置上.(3)相似比为1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.(4)ABC与ABC的相似比为k,那么ABC与ABC的相似比是1k.(5)性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.【几何语言】如图,A1B1C1ABC,A1=A,B1=B,C1=C；A1B1AB=B1C1BC=A1C1AC.设计意图通过复习相似多边形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般之间的联系.二、平行线分线段成比例基本事实思路一(1)在课前准备的距离相等的一组平行线l1,l2,l3中,任意作直线AC和A1C1(如图(1),则ABBC=,A1B1B1C1=,即ABBCA1B1B1C1.(2)在课前准备的距离相等的一组平行线l1,l2,l3,l4,l5中,任意作直线AE和A1E1(如图(2),则ABBE=,A1B1B1E1=,即ABBEA1B1B1E1；ADDE=,A1D1D1E1=,即ADDEA1D1D1E1.(3)在图(2)中,你还能得到其他的比例式吗?(4)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗?(5)尝试用语言概括你得出的结论.【师生活动】学生观察、思考、计算后,小组合作交流,得出结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.【课件展示】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图,当直线l1l2l3时,则ABBC=DEEF,BCAB=EFDE,ABAC=DEDF,BCAC=EFDF等.思路二【动手操作】任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2都相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的线段AB,BC,AC和在l2上截得的线段DE,EF,DF的长度.(1)根据度量的长度,你得到哪些成比例线段?尝试写出来.(2)这些成比例线段在图中的位置有什么关系?(3)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗?(4)你能用语言概括你得到的结论吗?【师生活动】学生动手独自测量思考,写出比例式,小组合作交流答案,学生展示后教师点评.过渡语我们每个同学虽然画的直线的位置不同,但得到的结论是相同的,所以我们可以得到基本事实:【课件展示】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图,当直线l1l2l3时,则ABBC=DEEF,BCAB=EFDE,ABAC=DEDF,BCAC=EFDF等.设计意图通过动手操作,测量或计算得出平行线分线段成比例这一基本事实,体会从特殊到一般的探索过程,激发学生的求知欲,培养学生分析问题的能力.三、平行线分线段成比例转化到三角形中活动1如图,l1l2l3,当两条被截直线的交点在直线l1或l2上时,你能得到哪些比例式?(教师动画演示,将图(1)中的直线平移到图(2)的位置,让学生直观感受平行线分线段成比例基本事实仍然成立)【师生活动】学生观察教师演示动画,小组交流结果,教师点评结论.活动2(1)如图,在ABC中,DEBC,且DE分别交AB,AC(或AB,AC的反向延长线)于点D,E,那么比例式ADAB=AEAC成立吗?(2)你能用语言叙述图中的结论吗?(3)用几何语言如何描述这一结论?【师生活动】学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论.【课件展示】平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.【几何语言】如图,DEBC,ADAB=AEAC.设计意图通过动画演示将平行线分线段成比例基本事实转化到三角形中,学生易直观形象地得出结论,同时通过学生讨论交流,培养学生的合作意识及语言表达能力.四、利用平行线证明三角形相似问题如图,在ABC中,DEBC,且DE分别交AB,AC于点D,E,ADE与ABC相似吗?如何证明?教师引导回答问题:(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?(A=A,ADE=B,AED=C,ADAB=AEAC=DEBC)(2)你能证明这些角对应相等吗?(由两直线平行,同位角相等可得)(3)如何证明ADAB=AEAC?(由平行线分线段成比例事实易得)(4)DE不在BC边上,用什么方法将DE转化到BC边上呢?(过E作EFAB,交BC于点F)(5)你能证明BFBC=AEAC吗?(由平行线分线段成比例事实易得)(6)你能写出ADEABC的证明过程吗?(7)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.【师生活动】学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生板书点评,规范书写过程.证明:在ADE和ABC中,A=A.DEBC,ADE=B,AED=C.过E作EFAB,交BC于点F.DEBC,EFAB,ADAB=AEAC,BFBC=AEAC.四边形DBFE是平行四边形,DE=BF.DEBC=AEAC,ADAB=AEAC=DEBC.ADEABC.【课件展示】平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.【几何语言】如图,在ABC中,DEBC,ADEABC.【追问】当DE与BA和CA的延长线相交时,上述结论还成立吗?(教师总结归纳利用平行线证明三角形相似的基本图形:“A”型和“X”型)设计意图通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结的能力,加深对平行线证明三角形相似的判定方法的理解.知识拓展(1)相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是11的两个相似三角形是全等三角形.(2)相似三角形的传递性:如果ABCABC,ABCABC,那么ABCABC.(3)在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线截得的对应线段,被截线段不一定平行,当“上比下”的值为1时,说明这些平行线间的距离相等.(4)符合平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图,若DEBC,则ADEABC.1.相似三角形的概念、表示:三个角分别相等,三条边成比例,ABCABC.2.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.3.平行线分线段成比例在三角形中的应用:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.1.如图,l1l2l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,已知ABBC=32,则DEDF的值为()A.32B.23C.25D.352.如图,DEBC, ADDB=12, 则ADE和ABC的相似比为()A.12B.13C.21D.233.若ABC与DEF的相似比是53,则DEF与ABC的相似比是 .4.如图,在ABC中,DEBC,若ADAB=13,DE=2,则BC的长为.5.如图,若DEBC,DE=3 cm,BC=5 cm,求ADDB的值.【答案与解析】1.D解析:由平行线分线段成比例可得ABBC=DEEF.ABBC=32,DEDF=35.故选D.2.B解析:DEBC,ADEABC,ADE和ABC的相似比为ADAB.ADDB=12,ADAB=13.故填B.3.35解析:根据相似比的概念,可得ABC与DEF的相似比与DEF与ABC的相似比互为倒数,所以DEF与ABC的相似比是35.故填35.4. 6解析:DEBC,ADEABC,DEBC=ADAB=13.又DE=2,2BC=13,BC=6.故填6.5.解:DEBC,ADEABC,ADAB=DEBC.DE=3 cm,BC=5 cm,ADAB=35,ADDB=38.第1课时1.相似三角形的概念、表示2.平行线分线段成比例的基本事实3.平行线分线段成比例在三角形中的应用4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.若ABCABC,A=40,C=110,则B等于()A.30B.50C.40D.702.若ABCABC,且相似比为k,则k的值等于()A.AAB.AB ACC.ABABD.BCAB3.如图,在ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DEBC,若ADDB=12,BC=9,则DE等于()A.2B.3C.4D.54.如图,已知在ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DEBC,EFAB,且ADDB=35,那么CFCB的值为()A.58B.38C.35D.255.如图,点 P是ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有()A.0对B.1对C.2对D.3对6.已知ABCDEF,A=80,B=20,那么DEF的各角的度数分别是.7.如图,直线l1,l2,l6 是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是.8.如图,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm.求梯子的长.9.如图,已知ACAB,BDAB,AO=78 cm,BO=42 cm,CD=159 cm,求CO和DO.【能力提升】10.如图是A,B,C,D四点在坐标平面上的位置,其中O为原点,ABCD.根据图中各点的坐标,可知D点的坐标为()A.0,209B.0,103C.(0,5)D.(0,6)11.如图,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是()A.13B.23C.34D.4512.如图,在ABC中,DEBC,EFCD.求证AFAD=ADAB.【拓展探究】13. 如图(1),在ABCD中,O是对角线AC上一动点,连接DO并延长交直线AB于点E,得到DOCEOA.(1)当点O运动到何处时,DOC与EOA的相似比为2?(如图(2)(2)当点O运动到何处时,DOCEOA?(3)当点O运动到何处时E与B重合?此时DOC与EOA的相似比是多少?此时O点继续向C点运动,DO的延长线与BC交于F,且有DFCEFB,当F是BC的中点时,求DOC与EOA的相似比.【答案与解析】1.A解析:在ABC中,A+B+C=180,A=40,C=110,B=30.又ABCABC,B=B=30.故选A.2.C解析:相似比为相似三角形对应边的比,即ABAB或AC AC 或BCBC.故选C.3.B解析:DEBC,ADEABC,DEBC=ADAB,ADDB=12,ADAB=13,DEBC=13.又BC=9,DE9=13,DE=3.故选B.4.A解析:ADDB=35,BDAB=58.DEBC,CEAC=BDAB=58.EFAB,CFCB=CEAC=58.故选A.5.D解析:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ABCD,APEBPC,APEDCE,BPCDCE.故选D.6. 80,20,80解析:根据三角形的内角和,可得A+B+C=180,C=80.ABCDEF,D=A=80,E=B=20,F=C=80.故填80,20,80.7. 5解析:由平行线分线段定理可得ABAE=25.因为BCEF,所以ABCAEF,所以BCEF=ABAE=25.因为BC=2,所以AE=5.故填5.8.解:DEAC,BCAC,DEBC,ADEABC.ADAB=DEBC,AB-55AB=7080.AB=440(cm).梯子的长为440 cm.9.解:设DO=x cm,则CO=(159-x)cm.ACAB,BDAB,ACBD.AOCBOD.AOBO=CODO,即7842=159-xx.x=55.65.CO=103.35 cm,DO=55.65 cm.10.C解析:ABCD,AOBCOD.AOCO=BODO,即127103=187DO,DO=5,D点的坐标为(0,5).故选C.11.C解析:AB,CD,EF都与BD垂直,ABCDEF,DEFDAB,BEFBCD,EFAB=DFDB,EFCD=BFBD,EFAB+EFCD=DFBD+BFDB=1.AB=1,CD=3,EF1+EF3=1,EF=34.故选C.12. 证明:DEBC,ADEABC.ADAB=AEAC.EFCD,AEFACD.AFAD=AEAC,AFAD=ADAB.13. 解:(1)DOC与EOA的相似比为2,则COAO=2,当点O运动到COAO=2处时,DOC与EOA的相似比为2.(2) 当点O运动到AC的中点时,AO=CO,ABCD,CDO=AEO,DCO=EAO,DOCEOA,当O点运动到AC的中点处时,DOC与EOA全等.(3)当E与B重合时,DOC与EOA全等,AO=CO,当点O运动到AC的中点时,E与B重合,此时DOC与EOA的相似比是1.当点F是BC的中点时,则BF=CF.ABCD,CDF=BEF,DCF=EBF,DFCEFB,DC=BE,AB=DC=BE,DCAE=12,DOC与EOA的相似比为DCAE=12.本节课是三角形的判定的第1课时,通过复习相似多边形的概念,学生用类比法易得到相似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.以动手操作为主，探究平行线分线段成比例这一事实,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与课堂,积极展示,学生成为课堂的主人,在积极思维中经历知识的形成过程,然后通过动画展示,学生直观形象地观察到这一基本事实在三角形中的应用,体会数学中的转化思想,为平行线证明相似做好铺垫.最后在教师的引导下完成定理的证明,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习精神.本节课在探究平行线分线段成比例基本事实后,将这一基本事实转化到三角形中应用,得到三角形中的两个推论,课容量较大,在前面概念及基本事实的探究活动中耽误时间长,后面的探究活动教师设计的小问题较多,造成完不成课时任务,后面的处理过于仓促,有头重脚轻的感觉,学生对本节课的重点把握不准,在以后的教学中要注重时间的安排,突出课时重点.本节课的重点是在探究平行线分线段成比例这一基本事实的基础上,将这一结论转化到三角形中,然后得到平行线判定三角形相似的基本方法,在教学设计中要突出重点,通过动手操作、共同探究等数学活动,共同归纳出这一基本事实,通过直观形象的动画演示,自然地转化到三角形中,应用基本事实证明线段成比例,再通过师生共同探究,完成平行线证明三角形相似的定理的证明,注重学生课堂学习的参与度,给学生较大活动空间,达到提高学生学习能力的目的.(1)本节课是在相似多边形的基础上开始系统研究相似三角形.平行线判定三角形相似是其他判定方法的基础,本节课的知识结构看似分散,但又环环相扣,具有承上启下的作用.在探究平行线分线段成比例这一基本事实时,让学生动手操作、观察、归纳、总结出结论,然后将这一结论转化到三角形中,得到平行于三角形的一边,与其他两边或两边的延长线相交,截得的对应线段成比例,然后根据这一结论证明截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例,从而得到平行线判定三角形相似的基本方法,层层深入的问题探索,知识得到升华,在教学设计中,问题的设置在知识的生成处,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等数学活动,探索出本节课的结论,培养学生分析问题、解决问题的能力.(2)本节课的重点是平行线分线段成比例这一基本事实判定三角形相似,难点是平行线证明三角形相似,在教学设计中突出学生的主体作用,在教师问题的引导下,学生小组合作交流,归纳结论,学生人人参与课堂,培养学生与他人合作的意识,同时学生在自主学习中探索出数学结论,培养学生的发散性思维和创造性思维,体会类比、从特殊到一般的数学思想方法,从而提高数学能力.总之,通过数学活动的设计,层层深入探索,使知识得到升华.第课时1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.1.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.2.在三角形相似的判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.【重点】能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似.【难点】三角形相似判定定理的证明过程.导入一:【复习提问】(1)证明三角形相似的方法是什么?(三角形相似的定义、平行线证明三角形相似)(2)全等三角形如何定义的?证明全等三角形有几种方法?(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形；SSS,SAS,ASA,AAS,HL)(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?导入二:【课件展示】欣赏图片.【导入语】图片中的三角形相似吗?如何证明?除了用定义证明对应角相等、对应边成比例以外,还有简单的方法证明吗?通过今天的学习,我们探究新的方法证明三角形相似.设计意图通过复习三角形全等的方法和证明过程,为类比探究证明三角形相似的方法做好铺垫；展示生活图片,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣.过渡语对于任意的两个三角形,现在我们只能运用定义去判定是否相似,我们需知道对应角是否相等,且对应边是否成比例,那么是否存在判定三角形相似的简单方法呢?一、三边法证明三角形相似思路一类比三角形全等的方法,同桌两个人分别画三角形.【动手操作】(1)同桌分别画边长为2 cm,3 cm,4 cm的三角形和边长为4 cm,6 cm,8 cm的三角形,然后猜想、判断两个三角形是否相似.【学生活动】通过测量三角形的三个内角、计算三角形三边的比,根据相似三角形的定义判定三角形相似.(2)如果一个三角形的三边是另一个三角形三边的k倍,那么这两个三角形是否相似?【学生活动】学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定三角形相似.(3)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形是否相似?你能证明这个结论吗?【课件展示】如图,已知在ABC和ABC中,ABAB=BCBC=ACAC.求证ABCABC.【教师引导分析】(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?(平行线证明三角形相似)(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(在AB上截取AD=AB,过点D作DEBC,交AC于点E)(3)能否证明ADE与ABC相似?(根据平行线分线段成比例基本事实可证明)(4)根据已知条件ABC与ADE是否全等?(SAS)(5)尝试给出定理的证明过程.【课件展示】 证明:如图,在线段AB(或它的延长线)上截取AD=AB,过点D作DEBC,交AC(或AC的延长线)于点E,则可得ADEABC，ADAB=DEBC=AEAC.又ABAB=BCBC=ACAC,AD=AB,DEBC=BCBC,AEAC=ACAC,DE=BC,AE=AC.ADEABC,ABCABC.(6)类比三角形全等,用文字语言叙述以上得到的结论,并用几何语言表示.【课件展示】判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.【几何语言】如图,ABAB=BCBC=ACAC,ABCABC.思路二(1)类比SSS证明三角形全等的定理,猜想三边成比例,两个三角形相似.(2)证明你的猜想.如图,已知在ABC和ABC中,ABAB=BCBC=ACAC.求证ABCABC.【教师引导】除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?【师生活动】学生小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生进行点评,规范学生书写证明过程.(证明过程同思路一)(3)归纳总结:三角形相似的判定定理及几何语言表示.【课件展示】判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.【几何语言】如图,ABAB=BCBC=ACAC,ABCABC.设计意图通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件,体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的数学精神.二、两边及夹角法证明三角形相似过渡语类比证明三角形全等的方法,我们能用SAS证明三角形相似吗?动手操作:(1)尝试用文字语言叙述这个猜想.(2)如何证明这个猜想?尝试写出证明过程.(3)归纳结论,用几何语言表示得到的结论.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.【课件展示】判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.如图,已知在ABC和ABC中,ABAB=ACAC,A=A.求证ABCABC. 证明:如图,在线段AB(或它的延长线上)截取AD=AB,过点D作DEBC,交AC(或它的延长线)于点E,则可得ADEABC，ADAB=AEAC.又ABAB=ACAC,AD=AB,AEAC=ACAC,AE=AC.又A=A,ADEABC,ABCABC.【几何语言】如图,ABAB=ACAC,A=A,ABCABC.【追加提问】在ABC和ABC中,ABAB=ACAC,B=B,这两个三角形一定相似吗?【师生活动】学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.设计意图学生通过动手操作,小组合作交流,经历猜想、验证、归纳出三角形相似的判定方法,培养学生与他人交流的能力,提高学生解决问题的能力及数学思维.三、例题讲解根据下列条件,判断ABC与ABC是否相似,并说明理由.(1)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,AB=12 cm,BC=18 cm,AC=24 cm；(2)A=120,AB=7 cm,AC=14 cm,A=120,AB=3 cm,AC=6 cm.解析(1)已知两个三角形的三条边,考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定,所以只需要计算三边的比,三边的比相等,则两个三角形相似,反之,则两个三角形不相似.(2)已知三角形的两条边和一个角,考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定,所以需要计算两条边的比是否相等,且这两条边的夹角是否相等.解:(1)ABAB=412=13,BCBC=618=13,ACAC=824=13,ABAB=BCBC=ACAC,ABCABC.(2)ABAB=73,ACAC=146=73, ABAB=ACAC.又A=A,ABCABC.设计意图通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.知识拓展(1)当已知条件中有三边时,可考虑用“三边成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.(2)在应用相似三角形的判定定理1时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似.(3)对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.(4)在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.(5)在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.1.三边成比例的两个三角形相似.2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.1.若ABC的各边都分别扩大为原来的2倍得到A1B1C1,下列结论正确的是()A.ABC与A1B1C1的对应角不相等B.ABC与A1B1C1不一定相似C.ABC与A1B1C1的相似比为12D.ABC与A1B1C1的相似比为22.如图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与ABC相似的是（）3.下列条件,能判定ABC相似于DEF的有( )A=45,AB=12,AC=15,D=45,DE=16,DF=40；AB=12,BC=15,AC=24,DE=20,EF=25,DF=40；A=47,AB=15,AC=20,D=47,DE=28,DF=21.A.0个B.1个C.2个D.3个4.如图,在ABC中,D,E分别在AB,AC边上,且ADAB=AEAC=12,BC=5,则DE=.5.根据下列条件,判断ABC与ABC是否相似,并说明理由.(1)A=40,AB=8,AC=15,A=40,AB=16,AC=30；(2)AB=10,BC=12,AC=15,AB=1.5,BC=1.8,AC=2.25.【答案与解析】1.C解析:ABC的各边都分别扩大为原来的2倍,则两个三角形的对应边成比例,且比值为12.由三边对应成比例的两个三角形相似,可得ABCA1B1C1,且相似比为12.故选C.2.B解析:由题意得AB=2,BC=2,AC=10.A中三角形的三边长分别为1,5,22,三边不对应成比例,A错误；B中三角形的三边长分别为1,2,5,则有12=22=510,故B正确；C中三角形的三边长分别为3,5,2,三边不对应成比例,故C错误；D中三角形的三边长分别为2,5,13,三边不对应成比例,故D错误.故选B.3.B解析:中ABDE=34,ACDF=38,所以ABDEACDF,所以ABC与DEF不相似；中ABDE=35,BCEF=35,ACDF=35,所以ABDE=BCEF=ACDF,所以ABCDEF；中ABDE=1528,ACDF=2021,所以ABDEACDF,所以ABC与DEF不相似.故选B.4.52解析:ADAB=AEAC=12,A=A ,ABCADE, DEBC=ADAB=AEAC=12.BC=5,DE=52.故填52.5.解:(1)AB=8,AC=15,AB=16,AC=30,ABAB=ACAC.又A=A=40,ABCABC.(2)AB=10,BC=12,AC=15,AB=1.5,BC=1.8,AC=2.25,ACAC=BCBC=ABAB,ABCABC.第2课时1.三边法证明三角形相似2.两边及夹角法证明三角形相似3.例题讲解例题一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.如图,已知MNP,则下列四个三角形中与MNP相似的是()2.在ABC中,BC=15 cm,CA=45 cm,AB=63 cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm,则最长边长是()A.18 cmB.21 cmC.24 cmD.19.5 cm3.如图,与左图中的三角形相似的是()4.如果三角形的每条边都扩大为原来的3倍,那么三角形的每个角()A.都扩大为原来的3倍B.都扩大为原来的6倍C.都扩大为原来的9倍D.都与原来相等5.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成四个三角形,若OAOC=OBOD,则下列结论中一定正确的是()A.与相似B.与相似C.与相似D.与相似6.在ABC和A1B1C1中,A=A1,ABA1B1=ACA1C1,可得出ABCA1B1C1,理由是.7.ABC的三边长分别为2,2,10,A1B1C1的两边长分别为1和5,当A1B1C1的第三边长为时,ABCA1B1C1.8.已知线段AB,CD相交于点O,AO=3,OB=6,CO=2,则当CD=时,ACBD.9.如图,已知ABAD=BCDE=ACAE,BAD=20,求CAE的大小.10.如图,点C,D在线段AB上,且PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,ACPPDB?(2)当ACPPDB时,求APB的度数.【能力提升】11.如图,在ABC中,点P在边AB上,在下列四个条件中:APAC=ACAB；AC2=APAB；ABCP=APCB.能满足APC和ACB相似的有()A.1个B.2个C.3个D.4个12. 如图,D是ABC平分线上的一点,AB=15 cm,BD=12 cm,要使ABDDBC,则BC的长为cm.13.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM为多少时,ADE与MNC相似?【拓展探究】14.如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0t2),连接PQ.若BPQ与ABC相似,求t的值.【答案与解析】1.C解析:MNP是等腰三角形,底角是75,则顶角是30,C中三角形与MNP的三角对应相等,且夹30角的两边对应成比例,所以两个三角形相似.故选C.2.B解析:根据题意,这两个相似三角形的相似比是155=31,因此所求最长边长是633=21(cm).故选B.3.B解析:设小正方形的边长为1,那么已知三角形的三边长分别为2,22,10,所以三边之比为125,A中三角形的三边长分别为2,10,32,三边之比为253,故此选项错误；B中三角形的三边长分别为2,4,25,三边之比为125,故此选项正确；C中三角形的三边长分别为2,3,13,三边之比为2313,故此选项错误；D中三角形的三边长分别为5,13,4,三边之比为5134,故此选项错误.故选B.4.D解析:若三角形的每条边都扩大为原来的3倍,则两个三角形的对应边成比例,则这两个三角形相似,由相似三角形的对应角相等可得三角形的每个角都与原来相等.故选D.5.B解析:OAOC=OBOD,AOB=COD(对顶角相等),与相似.故选B.6.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似7.2解析:由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为2,故要使ABC和A1B1C1的三边成比例,则第三边长为22=2.故填2.8. 6解析:因为两条线段相交,对顶角相等,所以AOBO=CODO时,AOCBOD,所以A=B,所以ACBD,故此时36=2DO,所以OD=4.所以CD=CO+OD=2+4=6.故填6.9.解:ABAD=BCDE=ACAE,ABCADE,BAC=DAE,BAC-DAC=DAE-DAC,即BAD=CAE=20.10.解:(1)PCD是等边三角形,PC=CD=PD,PCD=PDC=CPD=60,PCA=PDB=120,当ACPD=CPDB时,ACPPDB,即ACCD=CDDB,当CD2=ACDB时,ACPPDB.(2)PDBACP,BPD=A.APC+BPD=APC+A=PCD=60,APB=APC+BPD+CPD=60+60=120.11.B解析:因为A是APC和ACB的公共角,所以夹这个角的两条边对应成比例时,这两个三角形相似,所以APAC=A