湖南南县一中2011届高三数学一轮复习 5.6简单三角恒等变换（2）学案

用心 爱心 专心 5 65 6 简单三角恒等变换 简单三角恒等变换 2 2 一 学习目标 一 学习目标 能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值 能正确地运用三角公 式进行三角函数式的化简与恒等式证明 二 自主学习 二 自主学习 课前检测课前检测 1 已知 3 sin 5 m m 42 cos 5 m m 2 则tan C A 42 3 m m B 3 42 m m C 5 12 D 3 4 或 5 12 略解 由 22 342 1 55 mm mm 得8m 或0m 舍 5 sin 13 5 tan 12 2 已知 1 cos 75 3 是第三象限角 求cos 15 sin 15 的值为 解 是第三象限角 36025575360345kk k Z 1 cos 75 3 75 是第四象限角 2 12 2 sin 75 1 33 原式 2 21 cos 15 sin 15 sin 75 cos 75 3 3 1 sin4cos4 1 sin4cos4 B Acot Bcot2 Ctan Dtan2a 4 已知 1f xx 当 53 42 时 式子 sin2 sin2 ff 可化简 D A2sin B2cos C2sin D2cos 5 2 2 2cos1 2tan sin 44 1 考点梳理考点梳理 1 三角函数求值问题一般有三种基本类型 1 给角求值 即在不查表的前提下 求三角函数式的值 2 给值求值 即给出一些三角函数 而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值 用心 爱心 专心 3 给值求角 即给出三角函数值 求符合条件的角 2 三角函数式的化简要求 通过对三角函数式的恒等变形 或结合给定条件而进行的恒等 变形 使最后所得到的结果中 所含函数和角的名类或种类最少 各项的次数尽可能 地低 出现的项数最少 一般应使分母和根号不含三角函数式 对能求出具体数值的 要求出值 3 三角恒等式的证明要求 利用已知三角公式通过恒等变形 或结合给定条件运用三角公 式 论证所给等式左 右相等 要求过程清晰 步骤完整 三 合作探究 三 合作探究 例 1 已知 2 sinsin1 求 24 3coscos2sin1 的值 解 由题意 22 sin1 sincos 原式 22 3sinsin2sin1sin1 cos1sinsin22 例 2 已知8cos 2 5cos0 求tan tan 的值 解 2 8cos 5cos 0a 得13cos cos3sin sin 若cos cos0 则 13 tan tan 3 若cos cos0 tan tan 无意义 说明 角的和 差 倍 半具有相对性 如 2 2 等 解题过程中应充分利用这种变形 例 3 已知关于x的方程 2 2 31 0 xxm 的两根为sin cos 0 2 求 1 sincos 1 cot1tan 的值 2 m的值 3 方程的两根及此时 的值 解 1 由根与系数的关系 得 31 sincos 2 sincos 2 m 原式 2222 sincossincos31 sincos sincoscossinsincos2 用心 爱心 专心 2 由 平方得 23 12sincos 2 3 sincos 4 即 3 24 m 故 3 2 m 3 当 2 3 2 31 0 2 xx 解得 12 31 22 xx 3 sin 2 1 cos 2 或 1 sin 2 3 cos 2 0 2 x 3 或 6 例 4 证明 1 22 2 3cos4 tancot 1 cos4 x xx x 2 sin 2 sin 2cos sinsin ABB AB AA 证 1 左边 224422222 2222 2 sincossincos sincos 2sincos 1 cossinsincos sin 2 4 xxxxxxxx xxxx x 22 22 2 11 1sin 21sin 2 84sin 244cos 2 22 11 1 cos41 cos4 sin 2 1 cos4 48 xx xx xx xx 42 1 cos4 2 3cos4 1 cos41 cos4 xx xx 右边 得证 说明 由等式两边的差异知 若选择 从左证到右 必定要 切化弦 若 从右证到左 必定要用倍角公式 2 左边 sin 2cos sin sin ABBABA A sin coscos sin sin ABAABA A sin sin sinsin ABAB AA 右边 得证 四 课堂总结 四 课堂总结 1 三角函数求值方法 1 寻求角与角之间的关系 化非特殊角为特殊角 2 正确灵活地运用公式 通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值 3 一些常规技巧 1 的代换 切割化弦 和积互化 异角化同角等 2 三角函数式的化简常用方法是 异名函数化为同名三角函数 异角化为同角 异次化为 同次 切割化弦 特殊值与特殊角的三角函数互化 2 三角恒等式的证明 用心 爱心 专心 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式 无条件的等式证明的基本方法是化繁 为简 左右归一 变更命题等 使等式两端的 异 化为 同 有条件的等式常用方法 有 代入法 消去法 综合法 分析法等 五 检测巩固 五 检测巩固 1 1 sin4cos4 1 sin4cos4 B Acot Bcot2 Ctan Dtan2a 2 已知 1f xx 当 53 42 时 式子 sin2 sin2 ff 可化简 D A2sin B2cos C2sin D2cos 3 2 2 2cos1 2tan sin 44 1 4 化简 1 2 3tan123 sin12 4cos 122 2 cottan 1tantan 222 3 1 sincos sincos 22 0 22cos 解 1 原式 2 13 2 3 sin12cos12 3sin123cos12 22 2sin12 cos12 2cos 121 sin24 cos24 2 3sin 1260 4 3 1 sin48 2 2 原式 1 cos1 cossin1 cos 1 sinsincossin 2cos1 cos1 1 2cot 11 2csc sincoscos 3 原式 2 2cos2