自动控制原理（第2版） 第2章控制系统的数学模型(1)

自动控制原理 有志者事竞成 大连民族学院机电信息工程学院 二章控制系统的数学模型 of 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 控制系统的 数学模型 是指描述系统或元件输入量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 建立数学模型，可以使用 解析法 和 实验法 数学模型 时域模型 频域模型 方框图和 信号流图 状态空间模型 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 本章重点内容 系统微分方程的列写 传递函数的定义和性质 系统框图的建立和等效变换 信号流图和梅逊公式的应用 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 列写系统微分方程的一般方法 例 2图 2()()()(22c )()( )()()()( )()()(22动态数学模型为二阶常系数线性微分方程。 单系统微分方程的建立 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 2已知一 写出该网络输入与输出之间的微分方程。 解： 设回路电流 11 c )(1 2111 2221 c 2221 2U 由、得 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 由导出 将 ，则得 22211 222111 )(2222211 )(222111222211 )(222111222121大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 试证明图 (a)、 (b)所示的机、电系统是相似系统 (即两系统具有相同的数学模型 )。 图 2 - 2 机 电 相 似 系 统B 1B 2K 1K 2X rX c( a ) 机 械 系 统R 2 C 2R 1C 1U r U c( b ) 电 气 系 统例 2连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 对电气网络 (b)，列写电路方程如下： )K 121)(X)( i UU)i(R 对机械网络：输入为 出为 据力平衡，可列出其运动方程式 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 利用 、 、 求出 代入 将 两边微分得 1)211(21)211(1()( 121)(X)( 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 力 机系统（ a）和电系统（ b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络） 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统 . 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。 机械 阻尼 尼 性系数 性系数 气 电阻 阻 找到控制系统的总输入量和最终的输出量 ，明确系统中各元件的连接方式和各自的工作原理 ; 分别列写出各个典型元件的微分方程 ， 组成方程组 ; 消去所有中间变量 ， 得到系统最终输入量和输出量的关系式 ,即为控制系统的微分方程 。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 2DC 当电动机的负载或电网电压变化时，由于系统的 自动控制作用，电动机的转速能近似的维持不变。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 解：系统框图 执行元件 参考输入 控制变量 被控制量 扰动量 被控对象 控制器 测量元件 偏差 gU 1自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 (1) 放大器 ( 假设无惯性 （ 2）直流他励发电机 (DC 为分析简化起见，假设拖动发电机 的原动机的转速 恒定不变，发 电机没有磁滞回线和剩磁。此外， 还设发电机的磁化曲线为一直线， 即 。 11 n/ 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 由电机学的原理得 其中 。把式 (2入式 (2于是得 式中， 1（ 2 （ 2 2 12 ；12 C i大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 (3) 直流他励电动机 (DC 由基尔霍夫定律和 牛顿第二定律得 752大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 由上述三式中消去中间变量 后，得 式中 , 称为电动机的机电时间常数； 称为电动机的电气时间常数； 的量纲与时间的量纲相同。 ae )(122 (2 52 和大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 (4) 测速发电机 测速发电机的磁场恒定不变。 测速发电机发出的电压与转速成正比 (5) 比较环节 nu (2 (2 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 系统方程 : 对整个系统而言，引起系统运动的外部因素是给定电压和负载转矩。其余的物理量均为中间变量，经消元后得 )()1()()(222233(2大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 )()(.)()()()(.)()(0111101111线性定常系统微分方程的一般形式 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 解析法建立微分方程的一般步骤是 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出量； 1 从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组； 2 消去中间变量，得到只包含输入、输出量的微分方程； 3 标准化工作 :将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。 4 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 线性数学模型的线性化 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 绝对的线性元件和线性系统不存在 非本质非线性 本质非线性 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 线性化 :在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代替非线性方程。 线性化的基本条件 :非线性特性必须是非本质的，系统各变量对于 工作点 仅有微小的偏离。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 微偏法 :若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 线性化的方法 : 设一非线性元件的输入为 x、输出为 y，它们间的关系如图所示，相应的数学表达式为 )( (2大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 在给定工作点 附近 ， 将上式展开泰勒级数 )(00 202200 )(!21)()()(00 附近增量 的变化很小，则可略去式中 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为 )( 00 020 )( )( 00 (2 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 或写为 （ 2 00000)( ，式中， 式（ 2是式（ 2线性化方程。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 叠加原理 ： 可叠加性和齐次性 线性系统的基本特性 22( ) ( ) ( ) ( )d x t d x tm f K x t f td t d t当 f(t)=f1(t)时，上述方程的解为 x1(t)； 当 f(t)=f2(t)时，上述方程的解为 x2(t)； 如果 f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解 为 x(t)= x1(t)+x2(t),这就是 叠加性 当 f(t)=t)时，上述方程的解为 x1(t)=t),这就是 齐次性 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 10y12 上线性化。求用线性化方程来计算当 x=5，y=10时 解：由于研究的区域为5x7 、 10y12 ，故选择工作点 ， 1。于是 z0= 11=66. 求在点 ， 1， 6附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,忽略其高阶项，则有 )()( 000 11000 性化方程式为： 1(6(z=11x+6 x=5,y=10时， 10=50 由线性化方程求得的 1x+6y=55+609 因此，误差为 50，表示成百分数 %2501 例 2把非线性方程 z=区域 5x7 、 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例子：直流他励发电机磁化曲线的线性化 设发电机原工作于磁化曲线的 令发电机的励磁电压增加 ，求其增量电动势 的变化规律。 1u连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 若发电机在小 （ 增量 ） 信号励磁电压的作用下 ， 工作点 从而可以通过 且依此切线 在 平衡点 发电机的方程为 当励磁电压增加 后 ， 则有 100 （ 2 （ 2 （ 2 （ 2 1u010 1100 )( )( 010 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 由式 （ 2减式 （ 2， 式 （ 2减去式（ 2后得 作上述相减的运算 ， 消去了原平衡工作点 使所求的式 （ 2、 （ 2中的变量均为增量 ， 因而称这两个方程式为 增量方程式 。 1 1（ 2 （ 2 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 增量方程只描述了发电机在平衡工作点 增量励磁电压 作用下的运动过程。 对于式（ 2（ 2言，发电机励磁曲线的坐标原点不是在 处。 因此，发电机的初始条件变为零了。 这样，不仅便于求解方程，而且也是我们以后研究 控制系统时 假设零初始条件的依据 。 1u大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 需要注意的是，在式（ 2之所以不写作 ，而用 表示，原因是那一段磁化曲线不是一直线，即 ，表示电感 而用反电动势来表示。 ti 常 量大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 把磁化曲线 在平衡工作点 处展开为泰勒级数 略去上式中 项及其后面所有的高阶项 ， 并令 则式 （ 2便简化为 （ 2 20 )( BB () 00()0()B B B Bf i i i i ，0()i i 200000 )(!21)()()(自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 或写作 式中 为平衡工作点 根据式 （ 2， 式 （ 2和式 （ 2可改写为 其中， )( 0 （ 2 )( 0 B BG 2（ 2 （ 2 )()( 0120 BB ，大连民