辅助角公式应用

精品文档 1欢迎下载 辅助角公式应用 在三角函数的学习过程中 有一个和差角公式的变形式 辅助角公式要引起重视 为便于研究 下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式 sincosf xaxbx 22 2222 sincos ab abxx abab AA 22 sinabx 其中 几何意义 所在终边对应的中心角 2222 cos sin ab abab p a b 当定义域为时 R 2222 f xabab 当定义域有限定时 要根据辅助角公式的几何意义得到的估计范围 再根据 的区间范围及三角函数的单调性 或三角函数线 来作出判断 求出函数的最值或x 值域 1 1 求函数求函数 的值域的值域 sin2cos 0 2 f xxx x 解析 由辅助角公式可得 12 5sincos5sin 55 f xxxx 其中 21 sin cos 55 sin0 cos00 2 为第一象限角 可令 0 22 xx 又 22 0 2 而 12 sin sincos 255 1 1 5 f x 2 2 求函数求函数的值域的值域 2 2sin3cos 63 f xxx x 精品文档 2欢迎下载 解析 解解法法一一 辅辅助助角角公公式式 23 13 sincos13sin 1313 f xxxx AA 其中 32 sin cos 1313 为第四象限角 又 1 sinsin 62 可令 26 22 6363 xx 而 2 0 632 函数sin 2 2 yx x 单调递增 3 3 2sin3cos1 6662 f 2223 2sin3cos3 3332 f 3 3 3 1 3 22 f x 解解法法二二 数数形形结结合合法法 令令 23f xtvu 如右 图圆弧与直线 31 22 vut 有交点 则直线如右图 12 l l位置过圆弧左右端点时是直线平移的界限 圆弧两个端点坐标为 3 113 2222 代入直线方程的 3 3 3 1 3 22 t 3 3 3 1 3 22 f x 1 1 u v 1 l 2 l 3 3 函数函数的值域的值域 3cos4sin 6 3 yxx x 精品文档 3欢迎下载 43 3 5 2 解析 4sin3cos5sin yxxx 其中 34 sin cos 55 且估算 6 4 而 6 3 x 估算 7 3 12 x 所以 当 6 x 时 函数有最小值 min 43 3 3cos4sin 662 y 当 2 x 时 函数有最大值 max 5y 即函数值域 43 3 5 2 y 4 4 设设时 函数时 函数 取得最大值 则取得最大值 则 x sin2cosf xxx cos 解析 解解法法一一 辅辅助助角角公公式式 由辅助角公式可得 sin2cos5sinf xxxx 其中 21 sin cos 55 当x 时 f x取得最大值 则2 2 kkZ 即2 2 kkZ 2 coscossin 25 解解法法二二 导导数数法法 cos2sin0 f sin2cos5 得 2 cos 5 解解法法三三 解解方方程程组组 由条件可得 max5f x 即 22 sin2cos5 sincos1 消去sin 得 2 2 52coscos1 解得 2 cos 5 解法四 解法四 向量法向量法 令 则 2 1 cos sinabxx cosf xa ba b A 精品文档 4欢迎下载 当取得最大值时 取得最大值 此时与同向共线 易得 cos f xa b 2 cos 5 解法五 解法五 数形结合法数形结合法 令 22 cos sin 1ux vxuv 则 如右图圆弧与直线 2f xtvu 为纵截距 有交点 则2vut t 直线如右图位置与圆相切时 取最大值 切点 1 lt 此时斜率为 易得 cos sinA 1 l2 2 cos 5 5 5 设当设当时 函数时 函数取得最大值 则取得最大值 则 x 2sincosf xxx cos 5 5 解析 因 2sincos5sin f xxxx 其中 2 55 cos sin 55 又当x 时 函数 f x取得最大值 所以2 2 k 即2 2 kkZ 所以coscos 2 2 k 5 sin 5 6 6 若若时 函数时 函数 取得最大值 则取得最大值 则 x 2sin3cosf xxx tan 2 3 解析 2sin3cos13sin fxxxx 其中 23 cos sin 1313 又当x 时 函数 f x取得最大值 所以2 2 k 即2 2 kkZ 所以 cos2 tantan 2 cot 2sin3 k 7 7 已知方程 已知方程在在上有两个根上有两个根和和 则 则 2sincosxxc 0 sin u v 1 1 1 l A o 精品文档 5欢迎下载 4 5 解析 方法一 方程转化为 21 5 sincos 55 xc 其中 21 cos sin 55 sin sin 5 c xt 依题意方程在 0 上有两个根 和 故只能有2kt 2kt 所以 214 sin sin 2 sin22sincos2 555 方法二 用特殊值 5 2 c 则 6 t 或 5 6 t 8 8 已已知知函函数数 的的图图象象关关于于直直线线 sin 2cos f xxx 0 对对称称 则则 1x sin2 A A B B C C D D 4 5 3 5 3 5 4 5 A 解析 sin 2cos f xxx 5sin x 其中 2 sin 5 1 cos 5 又函数的图象关于直线1x 对称 所以 2 k kZ 即 2 k 则sin2sin 22 k sin 2 sin22sincos 214 2 555 点评 利用辅助角公式结合三角函数的对称性 结合二倍角公式进行求解即 可 9 若的一个对称中心为 则的值所在区间可以是 2015sin2016cosf xxx 0aa 精品文档 6欢迎下载 A B C D 0 4 4 3 3 2 3 24 解析 方方法法一一 利利用用辅辅助助角角公公式式 由于 2015sin2016cosf xxx 22 2222 20152016 2015 2016 sincos 2015 2016 2015 2016 f xxx 22 2015 2016 sin x 其中 2016 tan 2015 且且 0 2 所以可得 2016 3tan1 2015 估算 34 又 0a是 f x的一个对称中心 得 22 2015 2016 sin 0 x sin 0a 得 Z akk 即 Z akk 由 34 知 Z 43 kakk 故当0k 时 4 3 a 方方法法二二 直直接接应应用用零零点点定定义义 由 0a是 f x的一个对称中心 得 0f