2017_18版高中数学第1章导数及其应用学案苏教版选修.docx

第1章 导数及其应用1变化率与导数1.变化率函数的平均变化率为，它是用来刻画函数值在区间x1，x2上变化快慢的量.式中x，y的值可正、可负，当函数f(x)为常数函数时，y的值为0，但x不能为0.当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率.例1甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人在时间段0，t0内的平均速度哪个大？解比较在相同的时间段0，t0内，两人速度的平均变化率的大小便知结果.在t0处，s1(t0)s2(t0)，s1(0)s2(0)，所以.所以在时间段0，t0内乙的平均速度比甲的大.点评比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小.2.导数的概念及其几何意义函数yf(x)在xx0处的导数即为函数yf(x)在x0处的瞬时变化率，即当x趋于0时，函数值y关于x的平均变化率的极限值；x无限趋近于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零.函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即f(x0)ktan ，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量.例2如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则ff(0)_； _.(用数字作答)解析由A(0,4)，B(2,0)可得线段AB的方程为f(x)2x4(0x2).同理线段BC的方程为f(x)x2(2x6).所以f(x)所以f(0)4，ff(0)f(4)2， f(1)2.答案22例3函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()A.0f(2)f(3)f(3)f(2)B.0f(2)f(3)f(2)f(3)C.0f(3)f(3)f(2)f(2)D.0f(3)f(2)f(2)f(3)解析根据导数的几何意义，考查函数在点B(2，f(2)及A(3，f(3)处的切线的斜率.由图可见，过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率，则有0f(3)f(2).另一方面，这两点的平均变化率为f(3)f(2)，其几何意义为割线AB的斜率.由图，可知0f(3)f(3)f(2)0，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立.a(2x3)min.x2，)，y2x3是单调递增的，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范围是a16.点评已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题.一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(递减)等价于不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立，且在I的任何子区间上不恒为零，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f(x)0是否有有限个解.2.利用函数的单调性证明不等式欲证明不等式f(x)g(x)(或f(x)g(x)成立，可以构造函数(x)f(x)g(x)，利用导数进行证明.例3已知x0，求证：ex1x.证明设函数f(x)ex(1x)，则f(x)ex1.当x0时，exe01，所以f(x)ex10.所以f(x)在(0，)上是增函数.所以当x0时，f(x)f(0).又f(0)e0(10)0，所以f(x)0，即ex(1x)0.故ex1x.点评若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，则往往需要构造函数，借助函数的单调性来证明.3.利用函数的单调性判断方程根的个数若f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0)在区间和区间(1，e)内有无零点.分析可通过导数确定函数极值点与极值的正负，再结合确定零点的方法确定零点的个数.解因为f(x).所以当x(3，)时，yf(x)是增函数；当x(0,3)时，yf(x)是减函数.而01e0，f(1)0，f(e)10，所以函数f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点.3揭开导数问题易错点的面纱一、揭开导数运算中的常见错因1.对f(x0)与f(x)理解有误例1已知函数f(x)x22xf(1)，则f(0)的值为()A.0 B.4C.2 D.2错解由f(x)x22xf(1)得f(0)0.所以f(0)0.故选A.错因分析解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f(1)是常数.正解由f(x)x22xf(1)得，f(x)2x2f(1).所以f(1)212f(1).所以f(1)2.从而f(x)2x4.所以f(0)4.故选B.2.切点位置的确定有误例2求过点P(1,0)且与曲线f(x)x3x相切的直线的方程.错解由题意知点P(1,0)在曲线上.因为f(x)3x21，所以f(1)2.所以切线方程为y02(x1)，即2xy20.错因分析点P(1，0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P(1，0)当作切点显然是错误的.求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P处的切线方程(一定是以点P为切点)；(2)曲线过点P的切线方程(无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点.正解设切点为(x0，xx0)，则过该点的切线方程为y(xx0)(3x1)(xx0).由切线过点P(1,0)得：0(xx0)(3x1)(1x0)，整理得2x3x10.即(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.所以切线方程为2xy20或x4y10.3.对切线定义的理解有误例3已知曲线C：yf(x)x3，曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y4x4，试分析该切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由.错解由于直线y4x4与曲线C相切，因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点.错因分析“切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立.正解由消去y整理得：x312x160，即(x2)(x22x8)0.所以(x2)2(x4)0，解得x2或x4.所以交点的坐标为(2,4)，(4，20)，所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(4，20).二、揭开导数应用中的常见错因1.将函数单调性的充分条件误认为是充要条件例4已知函数f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求实数a的取值范围.错解f(x)3ax26x1.因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)3ax26x10.所以解得a3.故实数a的取值范围为(，3).错因分析“f(x)0(x(a，b)”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的充分条件而不是充要条件，如f(x)x3在R上单调递减，但f(x)3x20.正解f(x)3ax26x1.(1)当f(x)0时，f(x)是减函数，所以f(x)3ax26x10.所以解得a1时，f(x).分析由于f(x)1ex1，1，因此要证f(x)，只需证明ex1x.所以我们构造新函数，利用函数的极值进行证明.证明令g(x)exx1，则g(x)ex1.解方程ex10，得x0.当x变化时，g(x)，g(x)变化情况如下表：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)0从表上看出，当x0时，函数有极小值，且g(0)0.因而当xR时，有g(x)g(0)0，即ex1x.所以当x1时，有f(x)1ex11，即f(x).点评本题通过构造函数，使问题的解决变得简捷.2.数形结合思想例2已知曲线f(x)x33x29xa与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围.分析先用导数求出函数的单调区间和极值，再根据单调性画出大致图象，利用数形结合思想求解.解f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x11，x23.列表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极小值极大值所以当x1时，f(x)有极小值f(1)a5；当x3时，f(x)有极大值f(3)a27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2).所以a270.解得a5.故实数a的取值范围为a5.点评数形结合思想是中学数学的一种重要思想.画出图象可以加强直观性，便于对问题的理解.3.分类讨论思想例3求函数f(x)ax33x21的单调区间.分析利用导数求函数的单调区间，一般先确定函数的定义域，再求导函数，最后根据导数大于0或小于0得单调增区间或单调减区间.如果函数中含有参数，则应分类讨论.解f(x)3ax26x.由题意，得a0.当a0时，由3ax26x0，解得x；由3ax26x0，解得0x.所以f(x)的单调增区间为(，0)和，单调减区间为.当a0，解得x0；由3ax26x0，解得x0.所以f(x)的单调增区间为，单调减区间为和(0，).综上，a0时f(x)的单调增区间为(，0)，(，)，单调减区间为(0，)；a0时f(x)的单调增区间为(，0)，单调减区间为(，)，(0，).点评注意本题中隐含了a0的条件.a在导函数的二次项系数中，a的正负决定了不等式的解集，因此要对a分大于0和小于0两种情况进行讨论.5三次函数的单调性与极值的求解之道我们知道，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况可以用判别式b24ac来判断，那么一元三次方程ax3bx2cxd0(a0)的根的情况又是怎样的呢？要解决这个问题，只要能够画出函数yax3bx2cxd的大致图象，通过图象与x轴的交点的情况便可得到方程的根的情况.而要画出函数yax3bx2cxd的大致图象，就要研究该函数的单调性和极值情况，因此可以利用导数来研究.三次函数求导后变为二次函数，所以三次函数的许多性质可以借助二次函数来解决.对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，其导函数为f(x)3ax22bxc，有以下结论：(1)当a0时，若x，则f(x)；若x，则f(x)；当a0，则f(x)在R上是增函数；若a0时，设f(x)0的两根x10时，f(x)的递增区间有两个，为(，x1)和(x2，)，递减区间有一个，为(x1，x2)，xx1是极大值点，xx2是极小值点；当a00a0a0，a1)；(6)ex的一个原函数为ex；(7)的一个原函数为ln x(x0).温馨提示一个被积函数的原函数不是唯一的，有无数多个，即在每一个原函数后面加上一个常数，求导后不变，但具体利用f(x)dxF(b)F(a)求值，只需找一个最简单的原函数即可.7多法求解定积分用微积分基本定理求定积分f(x)dx时，关键是找到满足F(x)f(x)的F(x)，但在求解函数F(x)时经常会遇到复杂的计算，或者找不到函数F(x)等情况，本文介绍几种简化求解定积分的方法.1.几何法例1求定积分(x)dx的值.分析本题用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦.由(x)dx联想到圆(x1)2y21的一部分与直线yx，用定积分的几何意义进行求解则比较简捷.解(x)dx表示圆(x1)2y21的一部分与直线yx所围成的图形(如图所示的阴影部分)的面积，因此(x)dx11.点评数形结合思想在这里得到了充分的体现.运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力.2.函数性质法例2求lgdx的值.解记f(x)lg，易知定义域为(1,1)，因为f(x)lglg()1f(x)，所以f(x)是奇函数，因此有lgdx0.点评从定积分的定义(或几何意义)可知：偶函数f(x)有f(x)dx2f(x)dx；奇函数f(x)有f(x)dx0.3.转化法例3计算定积分sin2dx的值.解sin2dxdxdxcos xdxxsin x0sinsin 0.点评较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.4.分段法例4求定积分x|x|dx的值.解因为f(x)x|x|所以x|x|dx (x2)dxx2dx.点评这类积分不能直接求解，需要变换被积函数，从而去掉绝对值.5.换元法例5求抛物线y22x与直线yx4围成的平面图形的面积.解方法一选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和.解得所以交点为A(2，2)，B(8,4).选取x为积分变量，则0x8.因此S2dx(x4)dx18.方法二选取纵坐标y为积分变量，则2y4，所求图中阴影部分的面积为Sdy18.点评从上述两种解法中可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求解平面图形的面积时，积分变量的选取至关重要.但同时也要注意对y积分时，积分函数应是x(y)，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为x，xy4的形式，然后求面积.8利用定积分速求面积1.巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.例1求直线y2x3与抛物线yx2所围成的图形的面积.分析解此类题的一般步骤是：画草图；解方程组求出交点；确定积分的上、下限；计算.解画出图象如图所示，解方程组得A(1,1)，B(3,9).故所求图形的面积为(2x3x2)dx.点评本题若选纵坐标y为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便.另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.2.妙用对称在求平面图形的面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，这也是简化计算过程的常用手段.例2