高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时提升作业1 新人教A版必修4.doc

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015朔州高一检测)已知a=(2，3)，b=(-4，7)，则a在b方向上的投影为()a.13b.135c.655d.65【解析】选c.设a与b夹角为，则a在b方向上的投影|a|cos=，因为a=(2，3)，b=(-4，7)，所以ab=(2，3)(-4，7)=2(-4)+37=13，|b|=(-4)2+72=65，所以|a|cos=1365=655.2.以下选项中，一定是单位向量的有()a=(cos，-sin)；b=(lg2，lg5)；c=(2x2，1)；d=(1-x，x).a.1个b.2个c.3个d.4个【解题指南】解答本题，一方面要注意向量模的坐标公式的应用，另一方面要注意同角三角函数的平方关系、对数运算、指数运算和函数最大值的求法的应用.【解析】选b.因为|a|=1，|b|=1，|c|=(2x2)2+12=2x+11，|d|=(1-x)2+x2=2x2-2x+1=2x-122+1222.所以a，b是单位向量，c不是单位向量，d不一定是单位向量.3.(2015福建高考)设a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb，若bc，则实数k的值等于()a.-32b.-53c.53d.32【解析】选a.c=a+kb=(1+k，2+k)，因为bc，所以bc=0，即1+k+2+k=0k=-32.【补偿训练】(2015温州高一检测)已知a=(-3，2)，b=(-1，0)向量a+b与a-2b垂直，则实数的值为()a.-17b.17c.-16d.16【解析】选a.向量a+b=(-3-1，2)，a-2b=(-1，2)，因为两个向量垂直，故有(-3-1，2)(-1，2)=0，即3+1+4=0，解得=-17.4.设x，yr，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)且ac，bc，则|a+b|=()a.5b.10c.25d.10【解析】选b.由ac得2x+1(-4)=0，所以x=2；由bc得1(-4)=2y，所以y=-2.从而a=(2，1)，b=(1，-2)，所以a+b=(3，-1)，所以|a+b|=32+(-1)2=10.5.(2015景德镇高一检测)已知平面向量a=(2，4)，b=(-1，2)，若c=a-(ab)b，则|c|等于()a.42b.25c.8d.82【解析】选d.ab=2(-1)+42=6，所以c=(2，4)-6(-1，2)=(8，-8)，所以|c|=82+ (-8)2=82.二、填空题(每小题5分，共15分)6.设向量a与b的夹角为，且a=(3，3)，2b-a=(-1，-1)，则cos=_.【解析】b=12a+12(-1，-1)=(1，1)，则ab=6.又|a|=32，|b|=2，所以cos=66=1.答案：1【一题多解】本题还可以采用以下方法由已知得：b=(1，1).又a=(3，3)，所以ab，且同向.故=0，cos=1.答案：17.(2015南平高一检测)已知a=(1，3)，b=(2+，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.【解析】设向量a与b的夹角为，因为为锐角，所以cos0，且cos1，即ab0，且a与b方向不同，由ab0，得1(2+)+31=+50，所以-5.当a与b方向相同时设b=a，即(2+，1)=(1，3)，所以2+=,1=3,解得=-53,=13,故-53.所以-5,-53-53,+.答案：-5,-53-53,+【误区警示】解答本题易因思考不全面，误认为a与b的夹角为锐角cos0，导致错误.实际上，当a与b同向时，即a与b的夹角为0时，cos=10，此时=-53，显然是不合理的.【补偿训练】已知a=(-2，-1)，b=(，1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围为_.【解析】由题意cos=-2-152+1，因为90180，所以-1cos0，所以-1-2-152+10，所以-2-1-52+5,即-12,(2+1)2-12,2,所以的取值范围是-12,2(2，+).答案：-12,2(2，+)8.已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则aebd=_.【解析】以点b为原点，以bc，ba的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a(0，2)，e(2，1)，d(2，2)，b(0，0)，所以ae=(2，-1)，bd=(2，2)，所以aebd=2.答案：2【一题多解】因为abcd是正方形，所以bd=ba+bc，babc=0，因为e为cd的中点，所以de=-12ba，所以ae=ad+de=bc-12ba.所以aebd=bc-12ba(ba+bc)=bc2-12ba2=22-1222=2.答案：2【延伸探究】本题中，若增加条件“点f在边ad上，af=2fd”，试求becf的值.【解析】建立平面直角坐标系如图，则a(0，2)，e(2，1)，d(2，2)，b(0，0)，c(2，0)，因为af=2fd，所以f43,2.所以be=(2，1)，cf=43,2-(2，0)=-23,2，所以becf=(2，1)-23,2=2-23+12=23.三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015漳州高一检测)已知平面向量a=(1，x)，b=(2x+3，-x)，xr.(1)若ab，求x的值.(2)若ab，求|a-b|.【解析】(1)若ab，则ab=(1，x)(2x+3，-x)=1(2x+3)+x(-x)=0，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3.(2)若ab，则1(-x)-x(2x+3)=0，即x(2x+4)=0.解得x=0或x=-2.当x=0时，a=(1，0)，b=(3，0)，|a-b|=|(1，0)-(3，0)|=|(-2，0)|=2.当x=-2时，a=(1，-2)，b=(-1，2)，|a-b|=|(1，-2)-(-1，2)|=|(2，-4)|=25.10.(2015南昌高一检测)设平面三点a(1，0)，b(0，1)，c(2，5)，(1)试求向量2ab+ac的模.(2)若向量ab与ac的夹角为，求cos.(3)求向量ab在ac上的投影.【解析】(1)因为a(1，0)，b(0，1)，c(2，5)，所以ab=(0，1)-(1，0)=(-1，1)，ac=(2，5)-(1，0)=(1，5)，所以2ab+ac=2(-1，1)+(1，5)=(-1，7)，所以|2ab+ac|=(-1)2+72=52.(2)由(1)知ab=(-1，1)，ac=(1，5)，所以cos=(-1,1)(1,5)(-1)2+1212+52=21313.(3)由(2)知向量ab与ac的夹角的余弦为cos=21313，而|ab|=2，所以向量ab在ac上的投影为|ab|cos=221313=22613.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015肇庆高一检测)已知向量oa=(2，2)，ob=(4，1)，在x轴上有一点p使apbp有最小值，则点p的坐标是()a.(-3，0)b.(2，0)c.(3，0)d.(4，0)【解析】选c.设点p的坐标为(x，0)，则ap=(x-2，-2)，bp=(x-4，-1).apbp=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时，apbp有最小值1，所以点p的坐标为(3，0).【补偿训练】如图，边长为1的正方形abcd的顶点a，d分别在x轴、y轴正半轴上移动，则oboc的最大值是()a.2b.1+2c.2d.4【解析】选a.令oad=，由于ad=1，故oa=cos，od=sin，bax=2-，ab=1，故xb=cos+cos2-=cos+sin，yb=sin2-=cos，故ob=(cos+sin，cos)，同理可求得c(sin，cos+sin)，即oc=(sin，cos+sin)，所以oboc=(cos+sin，cos)(sin，cos+sin)=1+sin2，oboc=1+sin2的最大值是2.2.已知向量a=(1，1)，b=(1，m)，其中m为实数，o为原点，当此两向量夹角在0,12变动时，m的范围是()a.(0，1)b.33,3c.33,1(1，3)d.(1，3)【解析】选c.已知oa=(1，1)，即a(1，1)如图所示，当点b位于b1和b2时，a与b夹角为12，即aob1=aob2=12，此时，b1ox=4-12=6，b2ox=4+12=3，故b11,33，b2(1，3)，又a与b夹角不为零，故m1，由图易知m的范围是33,1(1，3).二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知a=25,15，b=15,-25，则向量3a+b与-2(3a-b)的夹角为_.【解析】设夹角为，因为|a|=1，|b|=1，ab=0，所以(3a+b)-2(3a-b)=-4，又|3a+b|=2，|-2(3a-b)|=4，所以=23.答案：23【补偿训练】已知a(1，2)，b(2，3)，c(-2，5)，则abc的形状是()a.直角三角形b.锐角三角形c.钝角三角形d.等边三角形【解析】选a.因为ac=(-3，3)，ab=(1，1)，所以acab=0.4.(2015安溪高一检测)若等边abc的边长为23，平面内一点m满足cm=16cb+23ca，则mamb=_.【解析】建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知a(0，3)，b(-3，0)，m(0，2)，所以ma=(0，1)，mb=(-3，-2).所以mamb=-2.答案：-2【补偿训练】设a(a，1)，b(2，b)，c(4，5)为坐标平面上三点，o为坐标原点，若oa与ob在oc方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为()a.4a-5b=3b.5a-4b=3c.4a+5b=14d.5a+4b=14【解析】选a.因为oa与ob在oc方向上的投影相同，所以oaoc=oboc所以4a+5=8+5b，所以4a-5b=3.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015日照高一检测)已知三点a(2，1)，b(3，2)，d(-1，4).(1)求证：abad.(2)要使四边形abcd为矩形，求点c的坐标并求矩形abcd的对角线的长度.【解析】(1)因为a(2，1)，b(3，2)，d(-1，4)，所以ab=(1，1)，ad=(-3，3).又abad=1(-3)+13=0，所以abad，即abad.(2)因为abad，四边形abcd为矩形，所以ab=dc.设c点的坐标为(x，y)，则dc=(x+1，y-4)，从而有x+1=1,y-4=1,即x=0,y=5,所以c点的坐标为(0，5).又bd=(-4，2)，|bd|=25，所以矩形abcd的对角线的长度为25.6.(2015惠州高一检测)已知op=(2，1)，oa=(1，7)，ob=(5，1)，设c是直线op上的一点(其中o为坐标原点).(1)求使cacb取得最小值时的oc.(2)对(1)中求出的点c，求cosacb.【解析】(1)因为点c是直线op上的一点，所以向量oc与op共线，设oc=top(tr)，则oc=t