普通高等学校招生全国统一考试数学理（全国卷Ⅱ解析版）.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（全国卷，解析版）一选择题：1. a. b. c. d. 解：原式.故选a.2. 设集合，则=a. b. c. d. 解：.故选b.3. 已知中， 则a. b. c. d. 解：已知中，. 故选d.4.曲线在点处的切线方程为 a. b. c. d. 解：,故切线方程为,即 故选b.5. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为a. b. c. d. 解：令则,连 异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。故选c6. 已知向量，则 a. b. c. d. 解：。故选c7. 设，则 a. b. c. d. 解： .故选a.8. 若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为a b. c. d. 解：，又.故选d9. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则a. b. c. d. 解：设抛物线的准线为直线 恒过定点p .如图过分 别作于,于, 由,则,点b为ap的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选d10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有a. 6种 b. 12种 c. 30种 d. 36种解：用间接法即可.种. 故选c11. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 a b. c. d. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线ab的斜率为,知直线ab的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 故选a12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是a. 南 b. 北 c. 西 d. 下解：展、折问题。易判断选b第ii卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。13. 的展开式中的系数为 6 。解：，只需求展开式中的含项的系数： 14. 设等差数列的前项和为，若则 9 . 解：为等差数列，15.设是球的半径，是的中点，过且与成45角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .解：设球半径为，圆的半径为， 因为。由得.故球的表面积等于.16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。解：设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设的内角、的对边长分别为、，求。分析：由，易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。评析：本小题考生得分易，但得满分难。18（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 （i）证明：（ii）设二面角为60，求与平面所成的角的大小。（i）分析一：连结be，为直三棱柱， 为的中点，。又平面，（射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）。分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证，得也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（ii）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。19（本小题满分12分）设数列的前项和为 已知（i）设，证明数列是等比数列 （ii）求数列的通项公式。解：（i）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（ii）由（i）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 评析：第（i）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（ii）问中由（i）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以总体来说，09年高考理科数学全国i、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国i还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。20（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。（i）求从甲、乙两组各抽取的人数； （ii）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（iii）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。 分析：（i）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。（ii）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（iii）的可能取值为0，1，2，3，分布列及期望略。评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。（21）（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，过右焦点f的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （i）求，的值； （ii）上是否存在点p，使得当绕f转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的p的坐标与的方程；若不存在，说明理由。解:(i）设，直线，由坐标原点到的距离为 则，解得 .又.（ii）由(i）知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然。由韦达定理有：.假设存在点p，使成立，则其充要条件为：点，点p在椭圆上，即。整理得。 又在椭圆上，即.故将及代入解得,=,即.当;当.评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。22.(本小题满分12分