湖南省长沙市望城二中高三数学上学期第一次月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省长沙市望城二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一选择题1已知集合a=x|x22x30，b=x|2x2，则ab=( )a2，1b1，2）c1，1d1，2）2=( )a1+ib1ic1+id1i3设函数f（x），g（x）的定义域都为r，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是( )af（x）g（x）是偶函数b|f（x）|g（x）是奇函数cf（x）|g（x）|是奇函数d|f（x）g（x）|是奇函数4已知f为双曲线c：x2my2=3m（m0）的一个焦点，则点f到c的一条渐近线的距离为( )ab3cmd3m54位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )abcd6如图，圆o的半径为1，a是圆上的定点，p是圆上的动点，角x的始边为射线oa，终边为射线op，过点p做直线oa的垂线，垂足为m，将点m到直线op的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在0，的图象大致为( )abcd7某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )a0.8b0.75c0.6d0.458如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )abcd9执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的s=( )a4b5c6d710设曲线y=axln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=( )a0b1c2d311设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为( )a10b8c3d212设f为抛物线c：y2=3x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，o为坐标原点，则oab的面积为( )abcd二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=_14函数f（x）=sin（x+2）2sincos（x+）的最大值为_15已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是_16直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于_三解答题17abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知3acosc=2ccosa，tana=，求b18等差数列an的前n项和为sn已知a1=10，a2为整数，且sns4（）求an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和tn19如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点（）证明：pb平面aec；（）设二面角daec为60，ap=1，ad=，求三棱锥eacd的体积20从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值z服从正态分布n（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2（i）利用该正态分布，求p（187.8z212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记x表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求ex附：12.2若zn（，2）则p（z+）=0.6826，p（2z+2）=0.954421设f1，f2分别是c：+=1（ab0）的左，右焦点，m是c上一点且mf2与x轴垂直，直线mf1与c的另一个交点为n（1）若直线mn的斜率为，求c的离心率；（2）若直线mn在y轴上的截距为2，且|mn|=5|f1n|，求a，b22已知函数f（x）=exex2x（）讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=f（2x）4bf（x），当x0时，g（x）0，求b的最大值2015-2016学年湖南省长沙市望城二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一选择题1已知集合a=x|x22x30，b=x|2x2，则ab=( )a2，1b1，2）c1，1d1，2）考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算即可得到结论解答：解：a=x|x22x30=x|x3或x1，b=x|2x2，则ab=x|2x1，故选：a点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2=( )a1+ib1ic1+id1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果解答：解：=（1+i）=1i，故选：d点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3设函数f（x），g（x）的定义域都为r，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是( )af（x）g（x）是偶函数b|f（x）|g（x）是奇函数cf（x）|g（x）|是奇函数d|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论解答：解：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f（x）|g（x）|为奇函数，故选：c点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题4已知f为双曲线c：x2my2=3m（m0）的一个焦点，则点f到c的一条渐近线的距离为( )ab3cmd3m考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论解答：解：双曲线c：x2my2=3m（m0）可化为，一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，点f到c的一条渐近线的距离为=故选：a点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题54位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )abcd考点：等可能事件的概率 专题：计算题；概率与统计分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有242=162=14种情况，所求概率为=故选：d点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件a包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数6如图，圆o的半径为1，a是圆上的定点，p是圆上的动点，角x的始边为射线oa，终边为射线op，过点p做直线oa的垂线，垂足为m，将点m到直线op的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在0，的图象大致为( )abcd考点：抽象函数及其应用 专题：三角函数的图像与性质分析：在直角三角形omp中，求出om，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择解答：解：在直角三角形omp中，op=1，pom=x，则om=|cosx|，点m到直线op的距离表示为x的函数f（x）=om|sinx|=|cosx|sinx|=|sin2x|，其周期为t=，最大值为，最小值为0，故选c点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用7某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )a0.8b0.75c0.6d0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75p=0.6，由此解得p的值解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75p=0.6，解得p=0.8，故选：a点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题8如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：322+224=34底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：326=54切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=故选：c点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力9执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的s=( )a4b5c6d7考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论解答：解：若x=t=2，则第一次循环，12成立，则m=，s=2+3=5，k=2，第二次循环，22成立，则m=，s=2+5=7，k=3，此时32不成立，输出s=7，故选：d点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础10设曲线y=axln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=( )a0b1c2d3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义，即f（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算解答：解：，y（0）=a1=2，a=3故答案选d点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视11设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为( )a10b8c3d2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点c时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大由，解得，即c（5，2）代入目标函数z=2xy，得z=252=8故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法12设f为抛物线c：y2=3x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，o为坐标原点，则oab的面积为( )abcd考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过a，b两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到a，b两点纵坐标的和与积，把oab的面积表示为两个小三角形aof与bof的面积和得答案解答：解：由y2=2px，得2p=3，p=，则f（，0）过a，b的直线方程为y=（x），即x=y+联立 ，得4y212y9=0设a（x1，y1），b（x2，y2），则y1+y2=3，y1y2=soab=soaf+sofb=|y1y2|=故选：d点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值解答：解：（x+a）10的展开式的通项公式为 tr+1=x10rar，令10r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3=120a3=15，a=，故答案为：点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题14函数f（x）=sin（x+2）2sincos（x+）的最大值为1考点：三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值解答：解：函数f（x）=sin（x+2）2sincos（x+）=sin（x+）+2sincos（x+）=sin（x+）cos+cos（x+）sin2sincos（x+）=sin（x+）coscos（x+）sin=sin（x+）=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题15已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是（1，3）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x1|）f（2），即可得到结论解答：解：偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，不等式f（x1）0等价为f（x1）f（2），即f（|x1|）f（2），|x1|2，解得1x3，故答案为：（1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x1|）f（2）是解决本题的关键16直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于考点：圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题 专题：计算题；直线与圆分析：设l1与l2的夹角为2，由于l1与l2的交点a（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sin的值，可得cos、tan 的值，再计算tan2解答：解：设l1与l2的夹角为2，由于l1与l2的交点a（1，3）在圆的外部，且点a与圆心o之间的距离为oa=，圆的半径为r=，sin=，cos=，tan=，tan2=，故答案为：点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于较基础题三解答题17abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知3acosc=2ccosa，tana=，求b考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用 专题：解三角形分析：由3acosc=2ccosa，利用正弦定理可得3sinacosc=2sinccosa，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanc，利用tanb=tan（a+b）=tan（a+b）即可得出解答：解：3acosc=2ccosa，由正弦定理可得3sinacosc=2sinccosa，3tana=2tanc，tana=，2tanc=3=1，解得tanc=tanb=tan（a+c）=tan（a+c）=1，b（0，），b=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题18等差数列an的前n项和为sn已知a1=10，a2为整数，且sns4（）求an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和tn考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（）由题意得a40，a50，即10+3d0，10+4d0，解得d=3，即可写出通项公式；（）利用裂项相消法求数列和即可解答：解：（）由a1=10，a2为整数，且sns4得s3s4，s5s4，即s4s30，s5s40，a40，a50，即10+3d0，10+4d0，解得d，d=3，an的通项公式为an=133n（）bn=（）=（），tn=b1+b2+bn=（+）=（）=点评：本题主要考查数列通项公式及数列和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题19如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点（）证明：pb平面aec；（）设二面角daec为60，ap=1，ad=，求三棱锥eacd的体积考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）连接bd交ac于o点，连接eo，只要证明eopb，即可证明pb平面aec；（）延长ae至m连结dm，使得amdm，说明cmd=60，是二面角的平面角，求出cd，即可三棱锥eacd的体积解答：（）证明：连接bd交ac于o点，连接eo，o为bd中点，e为pd中点，eopb，eo平面aec，pb平面aec，所以pb平面aec；（）解：延长ae至m连结dm，使得amdm，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，cd平面amd，二面角daec为60，cmd=60，ap=1，ad=，adp=30，pd=2，e为pd的中点ae=1，dm=，cd=三棱锥eacd的体积为：=点评：本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题20从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值z服从正态分布n（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2（i）利用该正态分布，求p（187.8z212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记x表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求ex附：12.2若zn（，2）则p（z+）=0.6826，p（2z+2）=0.9544考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题；概率与统计分析：（）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（）（i）由（）知zn，从而求出p（187.8z212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知xb（100，0.6826），运用ex=np即可求得解答：解：（）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200，s2=（30）20.02+（20）20.09+（10）20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150（）（i）由（）知zn，从而p（187.8z212.2）=p=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知xb（100，0.6826），所以ex=1000.6826=68.26点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力21设f1，f2分别是c：+=1（ab0）的左，右焦点，m是c上一点且mf2与x轴垂直，直线mf1与c的另一个交点为n（1）若直线mn的斜率为，求c的离心率；（2）若直线mn在y轴上的截距为2，且|mn|=5|f1n|，求a，b考点：椭圆的应用 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）根据条件求出m的坐标，利用直线mn的斜率为，建立关于a，c的方程即可求c的离心率；（2）根据直线mn在y轴上的截距为2，以及|mn|=5|f1n|，建立方程组关系，求出n的坐标，代入椭圆方程即可得到结论解答：解：（1）m是c上一点且mf2与x轴垂直，m的横坐标为c，当x=