（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质学案 新人教A版必修2.doc

2.222.1&2.2.2直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定预习课本p5457，思考并完成以下问题1线面平行的判定定理是什么？ 2判定线面平行的方法有哪些？ 3面面平行的判定定理是什么？ 4判定面面平行的方法有哪些？ 1直线与平面平行的判定表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行a点睛用该定理判断直线a和平面平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面外，即a；(2)直线b在平面内，即b；(3)两直线a，b平行，即ab.2平面与平面平行的判定表示位置图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行点睛(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线l上有两点到平面的距离相等，则l平面()(2)若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线平行()(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()答案：(1)(2)(3)2能保证直线a与平面平行的条件是()ab，abbb，c，ab，accb，a，ba，c，db，且acbdda，b，ab解析：选d由线面平行的判定定理可知，d正确3若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()a一定平行b一定相交c平行或相交 d以上判断都不对解析：选c可借助于长方体判断两平面对应平行或相交直线与平面平行的判定典例如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f，g分别是bc，cc1，bb1的中点，求证：ef平面ad1g.证明连接bc1，则由e，f分别是bc，cc1的中点，知efbc1.又ab綊a1b1綊d1c1，所以四边形abc1d1是平行四边形，所以bc1ad1，所以efad1.又ef平面ad1g，ad1平面ad1g，所以ef平面ad1g.利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等活学活用已知有公共边ab的两个全等的矩形abcd和abef不同在一个平面内，p，q分别是对角线ae，bd上的点，且apdq.求证：pq平面cbe.证明：如图，作pmab交be于点m，作qnab交bc于点n，连接mn，则pmqn，.eabd，apdq，epbq.又abcd，pm綊qn，四边形pmnq是平行四边形，pqmn.又pq平面cbe，mn平面cbe，pq平面cbe.平面与平面平行的判定典例已知，点p是abc所在平面外一点，点a，b，c分别是pbc，pac，pab的重心(1)求证：平面abc平面abc.(2)求abab的值解(1)证明：如图，连接pa，并延长交bc于点m，连接pb，并延长交ac于点n，连接pc，并延长交ab于点q，连接mn，nq.a，b，c分别是pbc，pac，pab的重心，m，n，q分别是abc的边bc，ac，ab的中点，且2，abmn.同理可得bcnq.abmn，mn平面abc，ab平面abc，ab平面abc.同理可证bc平面abc.又abbcb，ab平面abc，bc平面abc，平面abc平面abc.(2)由(1)知abmn，且，即abmn.m，n分别是bc，ac的中点，mnab.abmnabab，即abab的值为.两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行活学活用如图，在三棱柱abca1b1c1中，e，f，g，h分别是ab，ac，a1b1，a1c1的中点求证：(1)b，c，h，g四点共面；(2)平面efa1平面bchg.证明：(1)gh是a1b1c1的中位线，ghb1c1.又b1c1bc，ghbc，b，c，h，g四点共面(2)e，f分别为ab，ac的中点，efbc.ef平面bchg，bc平面bchg，ef平面bchg.a1g綊eb，四边形a1ebg是平行四边形，a1egb.a1e平面bchg，gb平面bchg，a1e平面bchg.a1eefe，平面efa1平面bchg.平行中探索存在性问题典例在三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是线段bc，cc1的中点，在线段ab上是否存在一点m，使直线de平面a1mc？请证明你的结论解如图，取线段ab的中点m，连接a1m，mc，a1c，ac1，设o为a1c，ac1的交点由已知，o为ac1的中点连接md，oe，则md，oe分别为abc，acc1的中位线，所以md綊ac，oe綊ac，因此md綊oe.连接om，从而四边形mdeo为平行四边形，则demo.因为直线de平面a1mc，mo平面a1mc，所以直线de平面a1mc.即线段ab上存在一点m(线段ab的中点)，使直线de平面a1mc.平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系活学活用如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f，g，h分别为cc1，c1d1，dd1，cd的中点n为bc的中点试在e，f，g，h四个点中找两个点，使这两个点与点n确定一个平面，且平面平面bb1d1d.解：由面面平行的判定定理，若使平面平面bb1d1d，只需在平面内有两条相交直线平行于平面bb1d1d，或在平面内有两条相交直线平行于平面bb1d1d内的两条相交直线即可连接hn，hf，nf，易知hnbd，hfdd1，所以平面nhf平面bb1d1d，即在e，f，g，h四个点中，由h，f两点与点n确定的平面满足条件层级一学业水平达标1下列选项中，一定能得出直线m与平面平行的是()a直线m在平面外b直线m与平面内的两条直线平行c平面外的直线m与平面内的一条直线平行d直线m与平面内的一条直线平行解析：选c选项a不符合题意，因为直线m在平面外也包括直线与平面相交；选项b与d不符合题意，因为缺少条件m；选项c中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面平行，故选项c符合题意2已知，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是()a平面内有一条直线与平面平行b平面内有两条直线与平面平行c平面内有一条直线与平面内的一条直线平行d平面与平面不相交解析：选d选项a、c不正确，因为两个平面可能相交；选项b不正确，因为平面内的这两条直线必须相交才能得到平面与平面平行；选项d正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种故选d.3在三棱锥abcd中，e，f分别是ab和bc上的点，若aeebcffb25，则直线ac与平面def的位置关系是()a平行b相交c直线ac在平面def内 d不能确定解析：选aaeebcffb25，efac.又ef平面def，ac平面def，ac平面def.4已知a，b，c，d是四条直线，是两个不重合的平面，若abcd，a，b，c，d，则与的位置关系是()a平行 b相交c平行或相交 d以上都不对解析：选c根据图1和图2可知与平行或相交5如图，下列正三棱柱abca1b1c1中，若m，n，p分别为其所在棱的中点，则不能得出ab平面mnp的是()解析：选c在图a、b中，易知aba1b1mn，所以ab平面mnp；在图d中，易知abpn，所以ab平面mnp.故选c.6已知l，m是两条直线，是平面，若要得到“l”，则需要在条件“m，lm”中另外添加的一个条件是_解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l”答案：l7已知a，b两点是平面外两点，则过a，b与平行的平面有_个解析：当a，b两点在平面异侧时，不存在这样的平面当a，b两点在平面同侧时，若直线ab，则存在一个，否则不存在答案：0或18.如图，在五面体feabcd中，四边形cdef为矩形，m，n分别是bf，bc的中点，则mn与平面ade的位置关系是_解析：m，n分别是bf，bc的中点，mncf.又四边形cdef为矩形，cfde，mnde.又mn平面ade，de平面ade，mn平面ade.答案：平行9如图所示，在直角梯形abcp中，bcap，abbc，cdap，addcpd.e，f，g分别为线段pc，pd，bc的中点，现将pdc折起，使点p平面abcd.求证：平面pab平面efg.证明：peec，pffd，efcd，又cdab，efab.又ef平面pab，ef平面pab.同理可证eg平面pab.又efege，平面pab平面efg.10已知正方形abcd，如图(1)e，f分别是ab，cd的中点，将ade沿de折起，如图(2)所示，求证：bf平面ade.证明：e，f分别为ab，cd的中点，ebfd.又ebfd，四边形ebfd为平行四边形，bfed.de平面ade，而bf平面ade，bf平面ade.层级二应试能力达标1若直线l不平行于平面，且l，则()a内的所有直线与l异面b内不存在与l平行的直线c内存在唯一的直线与l平行d内的直线与l都相交解析：选b若在平面内存在与直线l平行的直线，因l，故l，这与题意矛盾2在正方体efghe1f1g1h1中，下列四对截面彼此平行的一对是()a平面e1fg1与平面egh1b平面fhg1与平面f1h1gc平面f1h1h与平面fhe1d平面e1hg1与平面eh1g解析：选a画出相应的截面如图所示，即可得答案3已知p是正方体abcda1b1c1d1的棱dd1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面abp平行的有()a3个b6个c9个 d12个解析：选a因为棱ab在平面abp内，所以只要与棱ab平行的棱都满足题意，即a1b1，d1c1，dc.4a，b是直线l外的两点，过a，b且和l平行的平面有()a0个 b1个c无数个 d以上都有可能解析：选d若ab与l平行，则和l平行的平面有无数个；若ab与l相交，则和l平行的平面没有；若ab与l异面，则和l平行的平面有一个5已知三棱柱abca1b1c1，d，e，f分别是棱aa1，bb1，cc1的中点，则平面def与平面abc的位置关系是_解析：d，e，f分别是棱aa1，bb1，cc1的中点，在平行四边形aa1b1b与平行四边形bb1c1c中，deab，efbc，de平面abc，ef平面abc.又deefe，平面def平面abc.答案：平行6.如图是一几何体的平面展开图，其中abcd为正方形，e，f，g，h分别为pa，pd，pc，pb的中点在此几何体中，给出下面四个结论：平面efgh平面abcd；直线pa平面bdg；直线ef平面pbc；直线ef平面bdg.其中正确的序号是_解析：作出立体图形，可知平面efgh平面abcd；pa平面bdg；efhg，所以ef平面pbc；直线ef与平面bdg不平行答案：7.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，s是b1d1的中点，e，f，g分别是bc，dc和sc的中点求证：平面efg平面bdd1b1.证明：如图所示，连接sb，sd，f，g分别是dc，sc的中点，fgsd.又sd平面bdd1b1，fg平面bdd1b1，fg平面bdd1b1.同理可证eg平面bdd1b1，又eg平面efg，fg平面efg，egfgg，平面efg平面bdd1b1.8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥pabcd，点e在pd上，且peed21，在棱pc上是否存在一点f，使bf平面aec？若存在，请证明你的结论，并说出点f的位置；若不存在，请说明理由解：当f是棱pc的中点时，bf平面aec.证明如下：取pe的中点m，连接fm，则fmce.因为fm平面aec，ec平面aec，所以fm平面aec.由empeed，得e为md的中点，连接bm，bd，设bdaco，则o为bd的中点连接oe，则bmoe.因为bm平面aec，oe平面aec，所以bm平面aec.又因为fm平面bfm，bm平面bfm，fmbmm，所以平面bfm平面aec，所以平面bfm内的任何直线与平面aec均没有公共点又bf平面bfm，所以bf与平面aec没有公共点，所以bf平面aec.22.3&2.2.4直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质预习课本p5861，思考并完成以下问题1线面平行的性质定理是什么？ 2面面平行的性质定理是什么？ 3面面平行还有哪些性质？ 1直线与平面平行的性质(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(2)图形语言：(3)符号语言：ab.点睛定理中有三个条件：直线a和平面平行，即a；直线a在平面内，即a；平面，相交，即b.三个条件缺一不可2平面与平面平行的性质(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(2)图形语言：(3)符号语言：ab.点睛(1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线a平面，直线a直线b，则直线b平面()(2)若直线a平面，则直线a与平面内任意一条直线都无公共点()(3)若，则平面内有无数条互相平行的直线平行于平面()答案：(1)(2)(3)2梯形abcd中，abcd，ab平面，cd平面，则直线cd与平面内的直线的位置关系只能是()a平行b平行或异面c平行或相交 d异面或相交解析：选b由题意，cd，则平面内的直线与cd可能平行，也可能异面3过正方体abcda1b1c1d1的顶点a1，c1，b的平面与底面abcd所在的平面的交线为l，则l与a1c1的位置关系是_解析：由于平面abcd平面a1b1c1d1，平面a1b1c1d1平面a1c1ba1c1，平面abcd平面a1c1bl，所以la1c1.答案：平行线面平行性质的应用典例如图，p是平行四边形abcd所在平面外的一点，m是pc的中点，在dm上取一点g，过点g和ap作平面，交平面bdm于gh.求证：apgh.证明如图，连接ac，交bd于点o，连接mo.四边形abcd是平行四边形，点o是ac的中点又点m是pc的中点，apom.又ap平面bdm，om平面bdm，ap平面bdm.平面pahg平面bdmgh，ap平面pahg，apgh.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论活学活用如图所示，已知两条异面直线ab与cd，平面mnpq与ab，cd都平行，且点m，n，p，q依次在线段ac，bc，bd，ad上，求证：四边形mnpq是平行四边形证明：ab平面mnpq，且过ab的平面abc交平面mnpq于mn，abmn.又过ab的平面abd交平面mnpq于pq，abpq，mnpq.同理可证npmq.四边形mnpq为平行四边形.面面平行性质的应用典例如图所示，已知三棱柱abcabc中，d是bc的中点，d是bc的中点，设平面adb平面abca，平面adc平面abcb，判断直线a，b的位置关系，并证明解直线a，b的位置关系是平行平面abc平面abc，平面adb平面abca，平面adb平面abcad，ada，同理可得adb.又d是bc的中点，d是bc的中点，dd綊bb，而bb綊aa，dd綊aa，四边形aadd为平行四边形，adad，因此ab.利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由定理得出结论活学活用如图，平面平面，ab，cd是两异面直线，且a，c，b，c，m，n分别在线段ab，cd上，且.求证：mn.证明：如图，过点a作aecd，aee，连接be，在平面abe内作mpbe，mp交ae于p，连接np，de，则.，.平面平面，平面acdeed，平面acdeac，aced，pned.pn，ed，pn.pmbe，pm，be，pm.又pmpnp，平面pmn平面.mn平面pmn，mn.平行关系的综合应用典例在正方体abcda1b1c1d1中，如图(1)求证：平面ab1d1平面c1bd；(2)试找出体对角线a1c与平面ab1d1和平面c1bd的交点e，f，并证明：a1eeffc.证明(1)因为在正方体abcda1b1c1d1中，ad綊b1c1，所以四边形ab1c1d是平行四边形，所以ab1c1d.又因为c1d平面c1bd，ab1平面c1bd.所以ab1平面c1bd.同理b1d1平面c1bd.又因为ab1b1d1b1，ab1平面ab1d1，b1d1平面ab1d1，所以平面ab1d1平面c1bd.(2)如图，连接a1c1交b1d1于点o1，连接ao1与a1c交于点e.又因为ao1平面ab1d1，所以点e也在平面ab1d1内，所以点e就是a1c与平面ab1d1的交点；连接ac交bd于o，连接c1o与a1c交于点f，则点f就是a1c与平面c1bd的交点下面证明a1eeffc.因为平面a1c1c平面ab1d1eo1，平面a1c1c平面c1bdc1f，平面ab1d1平面c1bd，所以eo1c1f.在a1c1f中，o1是a1c1的中点，所以e是a1f的中点，即a1eef；同理可证ofae，所以f是ce的中点，即cffe，所以a1eeffc.(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化转化思想是解决这类问题的最有效的方法活学活用如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点n在bd上，点m在b1c上，且cmdn.求证：mn平面aa1b1b.证明：如图，作mpbb1交bc于点p，连接np，mpbb1，.bdb1c，dncm，b1mbn，npcdab.np平面aa1b1b，ab平面aa1b1b，np平面aa1b1b.mpbb1，mp平面aa1b1b，bb1平面aa1b1b，mp平面aa1b1b.又mp平面mnp，np平面mnp，mpnpp，平面mnp平面aa1b1b.mn平面mnp，mn平面aa1b1b.层级一学业水平达标1若直线l平面，则过l作一组平面与相交，记所得的交线分别为a，b，c，那么这些交线的位置关系为()a都平行b都相交且一定交于同一点c都相交但不一定交于同一点d都平行或交于同一点解析：选a因为直线l平面，所以根据直线与平面平行的性质知la，lb，lc，所以abc，故选a.2.如图，已知s为四边形abcd外一点，g，h分别为sb，bd上的点，若gh平面scd，则()aghsabghsdcghscd以上均有可能解析：选b因为gh平面scd，gh平面sbd，平面sbd平面scdsd，所以ghsd，显然gh与sa，sc均不平行，故选b.3在空间四边形abcd中，e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da上的点，当bd平面efgh时，下列结论中正确的是()ae，f，g，h一定是各边的中点bg，h一定是cd，da的中点cbeeabffc，且dhhadggcdaeebahhd，且bffcdggc解析：选d由于bd平面efgh，由线面平行的性质定理，有bdeh，bdfg，则aeebahhd，且bffcdggc.4已知a，b，c为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，现给出四个命题：；a； a.其中正确的命题是()a bc d解析：选c与有可能相交；正确；有可能a；有可能a.故选c.5已知平面平面，p是，外一点，过点p的直线m与，分别交于a，c两点，过点p的直线n与，分别交于b，d两点，且pa6，ac9，pd8，则bd的长为()a16 b24或c14 d20解析：选b由得abcd.分两种情况：若点p在，的同侧，则，pb，bd；若点p在，之间，则有，pb16，bd24.6.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，ab2，点e为ad的中点，点f在cd上若ef平面ab1c，则线段ef的长度等于_解析：在正方体abcda1b1c1d1中，ab2，ac2.又e为ad的中点，ef平面ab1c，ef平面adc，平面adc平面ab1cac，efac，f为dc的中点，efac.答案：7过三棱柱abca1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有_条解析：记ac，bc，a1c1，b1c1的中点分别为e，f，e1，f1，则直线ef，e1f1，ee1，ff1，e1f，ef1均与平面abb1a1平行，故符合题意的直线共有6条答案：68已知a，b表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题：若a，b，且ab，则；若a，b相交且都在，外，a，b，则；若a，a，则；若a，a，b，则ab.其中正确命题的序号是_解析：错误，与也可能相交；正确，设a，b确定的平面为，依题意，得，故；错误，与也可能相交；正确，由线面平行的性质定理可知答案：9.如图，s是平行四边形abcd所在平面外一点，m，n分别是sa，bd上的点，且，求证：mn平面sbc.证明：在ab上取一点p，使，连接mp，np，则mpsb.sb平面sbc，mp平面sbc，mp平面sbc.又，npad.adbc，npbc.又bc平面sbc，np平面sbc，np平面sbc.又mpnpp，平面mnp平面sbc，而mn平面mnp，mn平面sbc.10.如图所示，四边形abcd是矩形，p平面abcd，过bc作平面bcfe交ap于点e，交dp于点f，求证：四边形bcfe为梯形证明：四边形abcd是矩形，bcad.ad平面apd，bc平面apd，bc平面apd.又平面bcfe平面apdef，bcef，adef.又e，f是apd边上的点，efad，efbc.四边形bcfe是梯形层级二应试能力达标1已知平面，直线a，b，c，若a，b，c，abc，且a，b，c，则平面与的位置关系是()a平行b相交c平行或相交 d以上都不对解析：选c由题意可知，平面内不一定有两条相交直线与平面平行，所以平面与有可能平行，也有可能相交2已知直线a平面，直线b平面，则()aab ba与b异面ca与b相交 da与b无公共点解析：选d由题意可知直线a与平面无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点3已知平面平面，a，b，则直线a，b的位置关系是()a平行 b相交c异面 d平行或异面解析：选d平面平面，平面与平面没有公共点a，b，