（应用数学专业论文）几类生态学反应扩散模型的分析.pdf

p r o p e r t i e so fs o m er e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m s c o m i n gf r o mb i o l o g i c a lp o p u l a t i o nd y n a m i c s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o s o u t h e a s tu n i v e r s i t y f o rt h ea c a d e m i cd e g r e eo fm a s t e ro fs c i e n c e b y s h a oc u i s u p e r v i s e db y a s s o c i a t ep r o f e s s o rc h e n 溉n y a n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s o u t h e a s tu n i v e r s i t y j a n u a r y2 0 1 0 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 研究生签名： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所。国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理 研究生签名；导师签名：日期：迸旦：! ：兰圹 摘要 利用偏微分方程研究生物种群动力学，已成为非线性偏微分方程研究领域中的一个重 要研究方向本文主要分析了几类描述生物种群动力学的反应扩散方程组，包括平衡解的 存在性，唯性，渐近性，稳定性，初边值问题解的大时间性质( 耗散性，持久性，非负常 数解的稳定性) 等 第一章是前言部分，介绍了本文相关工作的背景和发展状况 第二章考虑了一类双线性s i s ( s u s c e p t i b l e - i n f e c t e d s u s c e p t i b l e ) 传染病模型的反应扩散组 的平衡态问题，给出了平衡解的存在性，唯性，渐近性及其全局稳定性通过一基本再 生数冗o ，给出如果7 b 1 ，则无病平衡解 不稳定且存在地方病平衡解，并讨论了在某些特殊情形下平衡解的渐近性和全局稳定性 第三章介绍了一类齐次n c u m a n n 边界条件下两物种竞争同一种食饵的捕食模型的反 应扩散方程组及其对应的平衡态问题，其功能响应函数分别是h o u i n g - i i 型和b e d d i n g t o n - d c a n g c l i s 型主要研究了其解的耗散性，持久性，半平凡解的稳定性以及其对应的平衡态 问题的非常数正解的不存在性和在一维情形下某半平凡解处的分歧 第四章给出了一类带有s i g m o i d a l 型响应函数的捕食模型平衡解的存在性首先给出 了正解的先验估计，进而，分别借助于能量方法和拓扑度理论得出了因参数的变化而引起 的非常数正解的不存在性和存在性结果 关键词：反应扩散模型；非常数正平衡解；存在性；唯一性；稳定性 a b s t r a c t 一 一 t h ed y n a m i c so fb i o l o g i c a lm o d e l sh a v er e c e i v e di n t e n s i v es t u d y , a n di th a sb c c na ni m p o r t a n t a s p e c ti nt h ef i e l do fn o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，t h em a i na i mi s t od i s c u s ss o m er e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m sc o m i n gf t o mb i o l o g i c a lp o p u l a t i o nd y n a m i c s t h e e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r ，t h es t a b i l i t yo ft h es t e a d y - s t a t e sa n dt h el a r g e t i m eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o ni n c l u d i n gd i s s i p a t i o n ，p e r s i s t e n c ea n ds t a b i l i t ya r es t u d i e d i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r ya b o u tt h er e l a t e dw o r ka r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，w ep r e s e n tab i l i n e a r - d e p e n d e n ts i se p i d e m i cr e a c t i o n - d i f f u s i o nm o d e lu n d e r h e t e r o g e n o u se n v i r o n m e n ta n da r ec o n c e r n e dw i t ht h ea s s o c i a t e ds t e a d y - s t a t ep r o b l e m t h e e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra n dt h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h es t e a d y s t a t e sa r e g i v e n b yi n t r o d u c i n gab a s i cr e p r o d u c t i o nn u m b e r7 ，i tt u r n so u tt h a ti f 1 b c s i d c s ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra n d t h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h es t e a d y - s t a t e ss o l u t i o n sa r ed i s c u s s e di ns o m es p e c i a lc o n d i t i o n s i nc h a p t e r3 ，ap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ht w oc o n s u m e r sa n do n er e s o u r c eu n d e rt h eh o m o - g e n e o n sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o ni sc o n s i d e r e d t w oc o n s u m e r sw i t hh o l l i n g - i if u n c t i o n a l r e s p o n s ea n db c d d i n g t o n - d e a n g c l i sf u n c t i o n a lr e s p o n s ec o m p e t ef o rt h eo n er e s o u r c e w es t u d y t h eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n si n c l u d i n gd i s s i p a t i o n ，p e s i s t e n c e ，s t a b i l i t ya n dt h en o n e x i s t e n c eo ft h e n o n c o n t a n tp o s i t i v es t e a d ys o l u t i o n m o v e o v e r ，i no n ed i m e n s i o nw ea l s oc o n s i d e rt h eb i f u r c a t i o n o ft h es e m i - t r i v i a ls o l u t i o n i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es t e a d y - s t a t e so fap r e d a t o r - p r e ys y s t e m w i t hs i g m o i d a lf u n c t i o n a lr e s p o n s e f i r s t ，ap r i o r ie s t i m a t e so fp o s i t i v es t e a d y - s t a t e ss o l u t i o n si s g i v e n ，a n dt h e nw es t u d yt h en o n - e x i s t e n c e ，e x i s t e n c eo fn o n c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n sa ss o m e p a r a m e t e r sa r ev a r i e db yu s i n gt h ee n e r g ym e t h o d sa n dt h et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y , r e s p e c t i v e l y k e y - w o r d s ：r e a c t i o n - d i f f u s i o nm o d e l ；n o n - c o n s t a n tp o s i t i v es t e e l ys o l u t i o n s ；e x i s t e n c e ； u n i q u e n e s s ；s t a b i l i t y 目录 前言 相关生物数学微分方程的建模与发展概况 本文的主要工作 一类双线性s i s 反应扩散模型的分析 模型的背景与问题的提出 无病平衡解的存在性，唯一性，稳定性。 e e 的存在性，唯一性 e e 关于参数的渐近性 平衡解的全局稳定性 带有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 型和h o l l i n g o i i 型捕食模型的定性分析 模型的背景与问题的提出 初边值问题解的大时间性质 非常数正解的不存在性 全局分歧 带有s i g m o i d a l 响应函数捕食模型平衡解的存在性 模型的建立与问题的提出 耗散性。持久性 正解的先验估计 非常数正解的不存在性 非常数正解的存在性 参考文献 硕士期间完成论文列表 l l 5 9 9加m拍褐 弱髂四札勰 盯盯盯2穹钒 能 弱 幸u 地 章舭勉躺驰拍 漳姐弛鹋弘 障u 化船“蛎 妣妣 斗眦妣娜泓蛳 尊m 辩娜泓 醇洳妣娜泓洳 曝 第 第 第 第 致 第一章前言 生物数学是生物学与数学之间的边缘学科它以数学方法研究和解决生物学问题，并 对与生物学有关的数学方法进行理论研究，定量地描述生命物质运动的过程，将生物现象 抽象为微分方程组，通过对微分方程组的理论研究，预测、解释一些生物现象反应扩散 方程的数学模型在生物学中亦广为应用，它与生理学、生态学、群体遗传学、医学中的流 行病学和药理学等研究有较密切的关系本文重点研究了几类描述生物种群动力学的反应 扩散方程组，包括平衡解的存在性，唯性，稳定性，渐近性，初边值问题解的大时间性 质( 耗散性，持久性，非负常数解的稳定性) 等 1 1相关生物数学微分方程的建模与发展概况 为了更好地理解本文中出现的生物数学微分方程模型，我们简要介绍与本文所讨论的 模型有密切关系的生物数学微分方程建模的发展过程 先考虑一个物种的情形设u 是种群a 的分布密度，则种群的增长符合m a l t h u s 方 程，即等= a u ，其中n 是内禀增长率，但当种群密度增大时，每个个体的食物的平均分配 必然减少，则a 的增长模型是 i - _ i t b t $ = a u ( 1 一芒) ，通常写成等= u ( a 一阮) ，( 1 1 1 ) a t ；尼“l 其中a ( 1 一兰) 是增长率，与u 有关，k 是整个系统的承受能力，模型( 1 1 1 ) 称为l o g i s t i c 厅 模型 在自然界中任何一种物种都不是孤立存在的，它总要同其它物种发生这样或那样的关 系，物种之间的相互作用关系对于整个生物界的生存和发展是极为重要的，它不仅影响每 一个物种的生存，而且还把各个物种连接为复杂的生命之网，决定着群落和生态系统的稳定 性，不同种群之间存在着一种相互依赖，相互制约的生存方式生态学中把生物分成：个体 种群一群落生物圈( 或生态圈) 的层次两物种在一个共同的自然环境中生存，它们之间的 相互作用大致有：( i ) 捕食者与被捕食者( p r e d a t o r - p r e y ) ；( i i ) 两种群相互竞争( c o m p c t i t i v e ) ； ( i i i ) 两种群互惠互利( m u t u a l i s t i co rc o m m c n s a l ) ；( i v ) 寄生虫与寄主( h o s t p a r a s i t e ) 捕食关 系和传染病的流行是近年来数学界与生态学界研究的主要课题，捕食者相互作用关系的研 究和对传染病的预测与控制具有重要的理论意义和应用价值 传染病是由病菌，细菌和真菌等病原微体或原虫，蠕虫等寄生虫感染人或其它生物体 后所产生且能在人群或相关生物种群中引起流行的疾病传染病历来就是危害人类健康的 大敌，历史上它一次又一次的流行给人类生存和国计民生带来了巨大的灾难早在1 7 6 0 年 d b e r n o u l l i 就曾用数学研究过天花的传播f 1 】，但确定性传染病模型的研究始于2 0 世纪， 1 9 0 6 年h a m e r 为了理解麻疹的反复流行，构造并分析了一个离散时间模型【2 】1 9 1 1 年r o s s 利用微分方程模型对疟疾在蚊子和人群之间传播的动态行为进行了研究1 9 2 6 年k e r m a c k 和m c k e n d r i c k 构造了著名的s i r 仓室模型，即针对某类传染病将该地区的人群分为三类 1 2 东南大学硕士学位论文 ( 即三个仓室) ：易感染者( 记为s ( ) ) ，染病者( 记为，( t ) ) ，移出者( 记为r ( ) ) 假设环境的总 人口保持为一个常数，其建立的模型为 d i s ：一l b s l l一= 一1 出 。 面d i = 6 s i 一 f l 辈：7 j 一= 1 f 出 ” ( 1 1 2 ) 其中p ，y 分别为比例系数，如果令= 兰s ( o ) ，则当 1 时疾病流行，当 1 时疾病流行而导致地方病产生，当 7 b 0 ，d 0 分别表示反应系数和扩散系数 1 9 7 6 年h h e t h c o t e 建立了个在两个 斑块之间迁移的传染病模型 6 】，但后继的研究工作却很少见 最近a l l e n 等人在【7 】中考虑了人口栖息在连续空间上的标准发生率的s i s 反应扩散 模型 瓦0 s = d s a 雪一晶+ 7 丘z f t , t 0 ， ( 1 1 4 ) 第一章前言 3 瓦o l = c i f ，+ 器“z 咄洲， ( 1 1 5 ) 其中君( z ，t ) ，i ( x ，t ) 分别表示在z 处t 时易得病者和被感染病者的密度，d s ，d x 分别为对应 的扩散系数，卢( z ) 和7 ( z ) 是q 上正的h 6 1 d e r 连续函数分别代表z 处疾病的传播率和恢 复率 另外还假设环境是封闭的，易得病者与被染病者在边界上没有流量，即 芸：要：o ，z 锄，t o ( 1 1 6 ) 丽2 丽2 o ，z 优2 ，t o 【l l 6 ) 作者给出了平衡态下解的存在性，唯性和稳定性对此s i s 反应扩散模塑，a l l e n 等人 在【8 1 中同样讨论了人口栖息在离散地块上的情形之后r p e n g 等人在【9 ，1 0 中讨论了 此模型在某些特殊情形下平衡解的渐进性和全局稳定性在实际生活中，捕食行为的过程 中也会伴随着疾病的发生，早在1 9 9 9 年j c h a t t o p a d h y a y 等人在【5 】中就研究了捕食者， 被捕食者，疾病三物种交互发生的常微分模型 2 0 0 1 年文献【1 1 】研究r 具有双线性和标 准发生率的s i s 和s i r 四种捕食模型，其中捕食者不仅通过种内接触感染，而且通过吞食 染病食饵传染 相对于传染病模型，捕食模型在具有扩散项的偏微分方程动力系统方面的研究较完整 些上个世纪二十年代微分方程理论第一次在生物科学中得到了应用，l o t k a 和v o l t e r r a 两位学者运用动力学方法建立了经典的l o t k a - v o l t e r r a 模型 这里，s 表示猎物的死亡率，优称为响应函数，表示单个猎物在单位时间内捕捉到的食 物的个数m 是转化率，即猎物得到食物后繁殖后代的能力因此m 侧可以看成猎物的 出生率尽管该模型应用广泛，却存在着明显的不合理之处，因为当t 很大时，一个猎物 一天不可能也不需要捕捉这么多( c u 个) 食物1 9 6 5 年，h o u i n g 1 2 1 在实验基础上，对著 名的l o t k a - v o l t e r r a 模型加以改进，对不同类型的物种提出了三种不同的功能性反应函数 妒( z ) ，分别为h o l l i n gi 型 fb z ，o z n ， 妒( z ) = 口 【b ， z 口； h o u i n gi i 型 妒( z ) = 而a x ； h o u i n gi i i 型 妒( z ) = 羔， 甜 吼 一 溉 u 仃 6 h 山 卧 口 一 以 心 | i = 砒一如如一出 ，i_j【i_【 4 壅堕盔堂塑主堂篁堡塞 特别是h o l l i n gi i 型功能性反应，许多学者都进行了深入的研究【1 3 ，1 4 ，1 5 具有h o l l i n g 功 能反映的捕食与被捕食系统通常表示为 仇ut：=u。(。a2l一-幻blu，)+-后p妒(t心li)，vn, 但是食饵依赖型功能性反应并没有考虑到捕食者的干预，因此在现实世界中会遇到很多的 问题考虑到这些因素，从传统的食饵依赖型模型出发，1 9 8 9 年a r d i t i 和g i n z b u r g 【1 6 】第 一次提出了比例依赖型捕食者一食饵模型，即捕食者对食饵的功能性反应是捕食者种群和 食饵种群的密度比值的函数，模型的形式为 ，面d x 一( n - 卟鼎 l 面d y = 小d + 面f 石x ) 虽然与食饵依赖型模型相比较而言，比例依赖型模型描述的动力学行为更为复杂和丰富， 但是当捕食者种群和食饵种群的密度很小时，功能性反应会有奇性出现作为对比例依赖 型模型的改进，b e d d i n g t o n 1 7 1 和d e a n g e l i se ta 1 1 8 】分别提出了b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功 能性反应( f 竺年一) 自从l o t a k 和v o e l t r a 建立了经典的捕食模型以来，生态数学模型 有了许多发展，几十年来，国内外许多应用数学学者和生物学学者一直在从事这方面的研 究工作人们不但考虑密度分布均匀的生态数学模型，即常微分方程动力系统，而且考虑 密度在空间分布不均匀的生物数学模型，即具有扩散的偏微分方程动力系统并且取得了 许多有意义的成果【1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，4 7 】 反应扩散方程组的初边值问题解的大时间性质，与它的平衡解( 态) 问题有密切关系 该平衡解问题就是对应的椭圆型方程组的边值问题椭圆型方程组正解的存在性，有时也 称为共存问题研究椭圆方程组的齐次n e u m a n n 边值问题解的存在性的主要方法有上、 下解方法，锥上的拓扑度理论以及分支理论等 解的持久性、耗散性以及非负常数解的稳定性，是常微分方程研究生物数学的重要内 容对于偏微分方程来讲，虽然不能期望像常微分方程那样得到比较完整的结果，但也有 不少这方面的相关论文发表【2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 】文献【2 7 1 研究了具有b c d d i n g t o n - d c a n g e l i s 响 应函数及齐次n e u m a n n 边界条件的捕食模型的初边值问题 o u o t o v o t 1 叫一熹 ( 志一后) ， z q ，t 0 ， z q ， 0 ， 未= 关= o ， z 觚t o ， u ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ，0 ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 ，0 ，z q 第一章前言 给出了此问题的解的耗散性，持久性，非负常数解的稳定性，非常数正平衡解的存在性， 以及正解的存在性与唯一性 f 2 8 】对一类具有时滞和b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 反应函数的捕 食一食饵模型的分支解和稳定性进行了分析，更多关于b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 响应函数的 研究可参见【1 7 ，2 9 ，3 0 】 自然界中复杂的生态关系使得数学的方法和结果被越来越多地应用于生态学，种群生 态学即是迄今数学在生态学中应用最为广泛深入，发展最为系统成熟的分支，所涉及的数 学内容包括线性代数，微分方程，积分方程，差分方程，泛函微分方程，动力系统，随机 过程，统计方法及算子半群理论等 1 2 本文的主要工作 为了研究传染病的传播规律和人群流动对传染病扩散的影响，第二章主要考虑了一类 非均匀空间下疾病发生的双线性s i s 反应扩散模型 及其对应的平衡态问题 鬃：幽雪一卢君，+ ，y 丘 z q ， o ， 塞。之拿，+ p 雪，一7 丘 z q 。 o 。2 1 ， 篆= 篆_ 0 ， z 锄p o ， 、 ( 雪( z ，o ) + j ( z ，o ) ) 出= n j 1 一d s 雪= 一卢雪j = + 7 ， 一d 。i a l = 1 3 1 1 j ， 娑：掣：o ，i 一2 _ 2 u ， d no n 上( 雪+ 驰= 给出了( 1 2 2 ) 解的存在性，唯一性及其渐近性和稳定性对于( 1 2 2 ) 有以下结果成立 假定( a i ) ，( a 2 ) 成立，在q 上总人口不变，即固定 定理2 2 1d f e ( ，0 ) 存在，唯一且在q 上雪三n o 定义基本再生数_ s u p 矗粉筹：妒h t ( 吼妒0 ) 0 则 定理2 2 2 如果n o l ，则d f e 不稳定 定理2 3 1 设 1 ，则( 2 1 4 ) 有非负解( 雪，a 其中雪，j c 2 ( q ) ，在q 上，0 ，另 外当d l 2 d s 时，此解唯一且( 雪，j ) = ( k s , 兰) ，其中詹如( 2 3 2 ) 所述，童j 在q 上均为 正 5 221 、 g 化 甜 z z z 6 东南大学硕士学位论文 而后考虑了在某些特殊情形下e e 的渐近性，为了使得( 雪，j ) 存在，我们假定7 珀 1 定理2 4 1 设( 卢0 7 ) 血 0 ，则 - ，n ( a ) 当由= 幽一。时邝阳_ ( 0 一丛产，逊产) 右e f ij = 一致成立 ( b ) 当d z = d s _ o o 时，在c 2 ( 矗) 中( 雪，) _ ( n o 一 厶( z y o 一7 ) 如正2 ( z y o 一7 ) 血 正lp d z 厶p d z 令j 一= 伽q ：0 0 为了讨论，一，我们假设下列条件成立： ( a 3 ) 日。是有限个c 1 曲面的集合( 如果m = 1 ，则是有限个点集) 定理2 4 5 如果( a 3 ) 成立，则有下列结论成立 ( a ) 百：j 一 ( b ) j 一矿是非空开集且测度为正 ( c ) j ( z ) c 2 ( j 一) ，d ，+ ，( p 0 一一y ) = 0 ，z j 一 定理2 4 6 设( a 3 ) 成立且m = l ，则当d s 一0 时，i ，一日一i 一0 定理2 4 7 让d s o o ，则在c 2 ( f i ) 中 ( s ，i ) _ ( d ，n n w 。 正2 ( d ，+ w + ) d x 正2 ( d i + w ) d x ) ：= ( s + + ，) ， 其中t d 是( 2 4 4 ) 的唯一正解 tf 定理2 5 1 设d z = d s ，则如果0 p 出 7 d x ，那么e e 是全局渐近稳定的；如果 ， - ，n，n 0 p 出s 7 d x ，那么d f e 是全局渐近稳定的 j nj n 1 定理2 5 2 如果7 b o ， u 2 t - - d 2 t 1 2 = 讹( 1 一瓦u 2 ) + 器， z 叽t o ， u 3 t d 3 a u 3 = r 3 札3 ( 1 一面u 3 ) + 百丽e u l t t 3 ，z q ，t o ， ( 1 2 3 ) 鲁：娑：娑：u 一， z 铀，t u 一，- 2 - 2 - 2 ， z t 们， ， 们l( ，n们0 讹仕，0 ) = 讹。佃) 0 ，i = 1 ，2 ，3 z q 书露研究了其解的耗散性，持久性，半平凡解的稳定性以及其对应的平衡态问题的非常数 正解的不存在性和在一维情形下半平凡解处的分歧本章主要结果如下 定理3 2 1 如果( u l ，u 2 ，t t 3 ) 是( 3 1 2 ) 的解，则 u a ( x e + r 2 e + r 3 ( 1 2 4 ) 因此，对于任意的。 0 ，矩阵 0 ，l + 。1 【0 ，l + 0 + 专】 0 ，l + e 0 + _ 7 e 3 l 是( 3 1 2 ) 在畔 中的吸引区域 定理3 2 2 如果n ( 1 + 二) + a ( 1 + 兰) d d 时，存在d o 使得问题( 3 t 3 1 ) 在如 d 时不存在非常数正 解 定理3 4 1 假设对任意的正整数k ，当k j 时，有d p d p ) ，则( 本，驴) 是分歧点 且存在6 0 和一个c 1 函数类( d l ，( ( s ) ，妒( s ) ，x ( s ) ) ) ：( 一最6 ) _ r e o ，使得d l ( o ) = 群， ( o ) = 妒( o ) = x ( o ) = 0 当i s l 8 0 z q t 0 ( 1 2 5 ) z 0 f 1 t 0 u ( x ，0 ) = 铷( z ) ，0 ，v ( x ，0 ) = 铷( z ) ，0 ， z q ， hli薹m s u p pn m a x 让u 。( x z ，, t 幻) 0 ， o ，1 + e o 】【o ，b r + 0 1 是( 4 1 1 ) 在r 至中的吸引区域 定理4 2 2 记仃：b 一( 1 + a + b ) r ，如果( 尘) ；+ 型三旦 d x ， 使得当d 2 d 时，问题( 4 3 1 ) 不存在非常数正解 定理4 5 1 假设0 a 1 ，( 2 0 + s ) r 0 如果存在 s 1 使得了j o ( 儿，地+ 1 ) 且d r s = 釜1 m ) 是奇数，d l 0 固定，那么存在正常数d ，使 得( 4 3 1 ) 在d 2 d 时至少存在一个非常数正解 第二章一类双线性s i s 反应扩散模型的分析 2 1模型的背景与问题的提出 为了了解空间环境的结构分布和个体移动对疾病的存在和灭绝的影响，本章在原有的 常微分模型( 1 1 3 ) 的基础上，添加了对空间的扩散项，研究了连续空间下双线性的s i s 反 应扩散模型 rd s 亨- g 1 面2 i 孵 l - 一o n 2 d s a s 一声s ，+ 1 f ， z q ，t 0 ， d l a i + 卢雪，一，y 丘z q ，t 0 ， ( 2 1 1 ) 五o i ：0 ， z o f f ，t 0 拶n 其中q 是j p 中的有界区域( m 1 ) ，o f f ( m 1 ) 光滑，雪( 飘) ，( z ，t ) 分别表示在z 处t 时刻易得病者和被感染者的分布密度，如，d ，分别为对应的扩散系数，n 表示q 上的单 位外法向假设病人一旦与易得病者接触就有一定的感染力，p ( z ) 为比例系数，y ( z ) 为 恢复率齐次n e u m a n n 边界条件表示环境是封闭的，易得病者与被染病者在边界上没有 流量，进一步我们又假设染病个体的初始值是正数，即 ( a 1 ) 及z ，0 ) d x 0 ，雪0 ，0 ) 0 ，i ( x ，0 ) 0 ， z q ，n 由最大值原理知，当z q ，t ( 0 ，联) 时，雪( z ，t ) ，取z ，t ) 0 ，其中舣是( 2 1 1 ) 的 解的最大存在区间再由最大值原理知，雪( z ，t ) ，反z ，t ) 在qx ( 0 ，腻) 上有界，从而 眦= o o 且对所有的时间( 2 1 1 ) 存在唯一的古典解雪，令 n = ( 雪( z ，0 ) + i 一( x ，o ) ) 血 ( 2 1 2 ) 是在q 上，t = 0 时的总个体量，则由( 2 1 1 ) 得 瓦0 上( 雪+ d 出= 上( d s s + d l f ) d x = 厶：未( d s s 瑚d _ 0 从而总人口数是常数，即 n = ( 雪( z ，t ) + 取z ，) ) d z ，vt 0 ( 2 1 3 ) 于是惦( ，t ) l l l ( n ) ，l i i ( ，t ) l l t ( n ) 在f 0 ，o o ) 上有界，由此i i s ( ，t ) h l o o ( n ) ，i l i ( ，圳p ( n ) 在 【0 ，o o ) 上有界 3 1 】， 我们记n o = 丽i v ，下面主要考虑o p ( z ) 一，y ( z ) 在q 上变号，即 ( a 2 ) h 一= z i n o p ( x ) ，y ( z ) 毋 9 1 0 东南大学硕士学位论文 利用连续性知h o = 扛l 0 p ( z ) = ，y ( z ) ) 0 本章总假定( a 1 ) 和( a 2 ) 成立 本章主要讨论( 2 1 1 ) 的平衡解，因此我们主要考虑下列椭圆型方程组 - d s a s = 一p s j + ，y j ， 一d l a i = 8 i 一1 1 ， 塑：丝：oo 一= 一= no n 。 | 媾+ ) d x = n 其中雪，j 分别表示在平衡态下易得病者和染病者的分布密度，是固定的常数表示总人 l ：1 由问题的实际意义，我们只考虑( 2 1 4 ) 的非负解( 雪，) 为方便起上，我们约定：若对 于任意的z q 都有，( z ) = 0 ，则称此解为无病平衡解( 即d f e ) ，记为( ，o ) ；若存在x 0 q ， 使得，( z o ) 0 ，则称此解为地方病平衡解( 即e e ) ，记为( 雪，n 2 2无病平衡解的存在性，唯一性，稳定性 假定( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，在q 上总人口不变，即固定 定理2 2 1d f e ( 雪，0 ) 存在，唯一且在q 上雪三n o 证明：由( 2 1 4 ) 可得( 0 ，0 ) 是一d f e ，设( 亏，0 ) 是任一d f e ，利用( 2 1 4 ) 且，= 0 ，可知在 q 上雪：0 ，由于在0 f l 上苍o s ：0 ，从而由最大值原理知，雪兰常数再由( 2 1 4 ) 的最后 n 一个方程知当z q 时，兰n o ，即解唯一 为了得到d f e 的稳定性，我们考虑( 2 1 4 ) 在( 雪，0 ) 处的线性化特征问题 d s a d p 一( p v o 一7 ) 妒+ 入= 0 ， d i a 妒+ ( z n o 一，y ) 妒+ a 砂= 0 ， 凳= 箬- o ， 上( + 州z = 。 如果( 入，妒) 是( 2 2 1 ) 第二个式子的解且在q 上妒0 ，那么由方程左边的算子是自共轭的 可以得到a 是实的，并且存在最小特征值”，其对应的特征函数矿是正的，而与其他特 征值对应的特征函数在q 内变号【3 2 】显然( ，矿) 满足 ld l a 妒+ ( p o 一一y ) 妒+ 入+ 妒= 0 ， z q ， 1 娑- 0 z 哦 删 4l2 、 哦 纯 孤 z z z 22 2 哦 俄孤 z z z 第二章一类双线性s i s 反应扩散模型的分析 由特征值变分刻化知 r = i n f l d i i v q o l 2 + ( ，y 一卢0 ) 妒2 】d z ：妒w 1 , 2 ( q ) ，j 厶妒2 d z = 1 ) ( 2 2 3 ) l z 且 ，妒幸均是d j 的可微函数【3 3 】 为了后面证明的需要先给出以下几个命题 命题2 2 1 ( h a r n a c k 不等式) ( 阻，3 5 】) 设t l ，1 ，2 ( q ) f 3c 1 ( q ) 是在q 上带有齐次 n e u m a n n 边界条件的方程a w ( z ) + c ( z ) 叫( z ) = o 的非负弱解，其中c l p ( s ) - ) ，p 筹，则存 在正常数c = c ( 1 l c l l p ，p ，q ) 使得 m a x w c r a i n t l ， n q 命题2 2 2 ( 【3 6 】) 让p i 表示下列线性化问题的主特征值 j ，一6 a o + m 6 ( z ) 妒= p 妒，z q ， l 豢一o ， z 锄， 其中占 0 是常数，设当z q 时，m 6 是h 6 1 d e r 连续函数，当艿一0 时，m 6 ( x ) 在q 上 一致收敛到r e ( x ) ，则 u m 肛i = m i n m ( x ) 三m 。 6 - - , 0 z n 命题2 2 3 ( z o ，3 3 ，3 7 ，3 8 ，3 9 】) 设d 是一个正常数，口( z ) ，6 ( z ) 是壳上的连续函数，且 当z q 时，b ( x ) 0 ，则半线性椭圆方程 j d t 正= 【口( z ) 一6 ( z ) 川t 正， z q ， 、关= o ， z 锄， 有唯一的正解霞当且仅当a ( x ) d x 0 如果豆存在，则对于反应扩散方程 j q fu t - d t = 【口 ) 一6 ( z ) t | 】牡，z q ， o ， 嘉- 0 z 锄po ， 【u ( x ，o ) = t 0 ( z ) o ，o 且连续， 五是全局渐近稳定的；如果豇不存在，0 是全局渐近稳定的另外当d _ 0 时， 一致收删等；当d o o 时，矗在c 2 ( 收敛到揣 ( 2 2 。4 ) ( 2 2 5 ) 豇在q 上 1 l 东南大学硕士学位论文 引理2 2 1 关于”= ”( d z ) 以下成立 ( a ) ”是d l 0 的严格单调递增函数 ( b ) 当d l + 0 时，a + m i n 7 一芦 b ) ：z q 0 有” 0 成立 ( e ) 若o f o ( h f o7 d ：r ，则”( d f ) = 0 有唯一正根嘶，另外若d l 0 证明：( a ) 在( 2 2 3 ) 中，显然”关于d ，单增，下面证明严格单增 事实上在( 2 2 2 ) 两边关于d f 微分可得 妒+ d z a 0 , + ) 7 + ( o 一7 ) ( 妒+ ) + ( a + ) 砂+ 入( 妒) 7 = 0 ， z q ， ( 2 2 6 ) 在硼上掣= o ，在( 2 2 2 ) 两边同乘以( 矿) ，( 2 2 6 ) 两边同乘以矿