（基础数学专业论文）关于调和映射和双调和映射性质的研究.pdf

摘要 众所周知，拟共形映射是共形映射的推广，调和映射是解析函数 的推广，而双调和映射又是调和映射的推广本文主要研究调和映射 和双调和映射的有关性质全文具体安排如下 在第一章中，我们主要介绍研究问题的背景和主要结果 在第二章中，借助三( ，) ，我们证明了双调和映射的l a n d a u 常数 和b l o c k 常数的存在性，其中l = z 昙一；罢，f 表示具有形式 0 2 o z f ( z ) = 盯g ( z ) + k ( z ) 0 z i 1 ) 的双调和映射，这里g 和k 都是调和映 射 在第三章中，我们的主要目的是获得一类双调和映射的s c h w a r z 引 理利用所得结果，我们把m m a t e l j e v i c ，m a r e n o v i c 和 v m a n o j l o v i c 关于调和映射的相应结果推广到了双调和映射中同 时，我们还讨论了具有如下形式的双调和映射f ( z ) = 五盯( z ) + 五( z ) 的全凸性，其中是调和映射，五和五均为复常数 第四章主要研究调和函数的b l o c h 空间并得到有关调和口一b l o c h 空间和调和一b l o c k 空间的一个结果 在最后一章中，我们主要介绍极小曲面与调和映射之间的联系 及著名的极小曲面曲率猜测 关键词：调和映射，双调和映射，s c h w a r z 引理，l a n d a u 常数，调和 b l o c h 空间 a b s t r a c t i ti sk n o w nt h a tq u a s i c o n f o r m a l m a p p i n g sa r eg e n e r a li z a t i o n s o fc o n f o r m a lm a p p i n g s a l s oh a r m o n i cm a p p i n g sa r eg e n e r a li z a t i o n so fa n a l y t i cf u n c t i o n s ，a n db i h a r m o n i cm a p p i n g sa r e g e n e r a li z a t i o n so fh a r m o n i cm a p p i n g s t h em a i na i mo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st od i s c u s ss o m ep r o p e r t i e s o fh a r m o n i cm a p p i n g sa n db i h a r m o n i cm a p p i n g s i ti sa r r a n g e d a sf o l l o w s i nc h a p t e rl ，w ep r o vi d es o m eb a c k g r o u n d sa b o u to u rr e s e a r c h a n ds t a t e m e n t so fo u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w es h o wt h ee x i s t e n c eo fl a n d a u sa n db l o c h s c o n s t a n t sf o rb i h a r m o n i cm a p p i n g sw i t ht h ea i do f ( f ) ，w h e r e = z 兰一；导a n d b e l o n g s t ot h ec l a s so fb i h a r m o n i c c | z d z m a p p i n g so ft h ef o r mf o ) = h 2 g o ) + k ( z ) 0 z l 1 ) ，w h e r ega n dk a r eh a r m o n i c i nc h a p t e r3 ，o u rm a i na i mi st oo b t a i nt h es c h w a r zl e m m af o r c e r t a i nb i h a r m o n i cm a p p i n g s b yu s i n gt h eo b t a i n e dr e s u l t s ， w eg e n e r a l i z em m a t e l j e v i c ，m a r e n o v i ca n dv m a n o j l o v i c s c o r r e s p o n d i n gr e s u l to fh a r m o n i cm a p p i n g st ot h ec a s eo f h i h a r m o n i cm a p p i n g s a l s ow ei n v e s t i g a t et h ec o n v e x i t yo f b i h a r m o n i cm a p p i n g s f ( z ) = a , i z l 2 ( z ) + 如( z ) ，w h e r e a r e h a r m o n i cm a p p i n g s ，a n d a n d 如a r ec o n s t a n t s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h eh a r m o n i cb l o c hs p a c ea n do b t a i n ar e s u l to n 。c b l o c hs p a c e sa n d b b l o c hs p a c e s i nt h el a s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ef u n d a m e n t a lr e l a t i o n s h i p b e t w e e nh a r m o n i cm a p p i n g sa n dm i n i m a ls u r f a c e s ，a n ds t a t ea f a m o u sc o n j e c t u r ea b o u tt h ec u r v a t u r e so fmini m a ls u r f a c e s k e yw o r d s ：h a r m o n i cm a p p i n g ，b i h a r m o n i cm a p p i n g ，s c h w a r z l e m m a ，l a n d a u sc o n s t a n t ，h a r m o n i cb l o c hs p a c e 湖南师范大学学位论文原创性声明 4 2 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 7 气朴 1 引 月 ， 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：聆勺钥、日期：劢7 年 6 月f 日 导师签名：。记下山机日期：埽年占月f 日 i 关1 二调和映射和双调和映射性质的研究 成 1 绪论 本章介绍研究问题的背景和得到的主要结果此章由以下五节构 1 1 双调和映射和双调和映射的研究背景 平面内的复值调和映射的实部和虚部都是调和的，但其实部和虚 部不一定满足c a u c h y - r i e m a n n 方程，因此平面复值调和映射是解析函 数的推广虽然平面复值调和映射是解析函数的一种自然推广，但是 平面复值调和映射的研究起源于微分几何学中参数极小曲面的研究 对平面复值调和映射的系统研究起步较晚，直到二十世纪八十年代中 期才引起广大数学工作者的极大关注代表作之一是j a m e sc h m i e 和 t e r r ys h e i l s m a l l 在1 9 8 4 年发表的一篇论文( 见【1 1 ) 他们在文中给出了 许多关于单叶调和映射和共形映射经典问题的类比结果，并提出了许 多关于单叶调和映射类似于共形映射的基本问题，其中有些问题直到 现在尚未解决经过二十多年的发展，调和映射已发展成为复分析中 的一个热门研究领域调和映射与拟共形映射、拟正则映射有着密切 的联系( 见【2 ，3 ，4 ，5 ，6 1 ) 它在流体动力学、数学物理方程和图象处理 等方面有着广泛的应用，同时也是微分几何学中研究极小曲面的有力 工具( 见【7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 1 ) 双调和映射是定义在复平面内的某个子域的 具有四次连续微分且它被l a p l a c e 算子作用后是调和的复值映射从 定义知，双调和映射是调和映射的推广，而双调和映射的研究起源于 物理学中的流体动力学、弹性力学等对复偏微分方程问题的研究，它 在工程力学和生物学有着许多重要应用详见文【1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 】双调和 映射的研究是最近几年才兴起的，相关方面的研究结果还比较少在 研究平面调和映射的同时，不少作者涉到了相应的高维调和映射( 见 【1 6 ，1 7 ，1 8 ，19 】，但是到目前为止这方面的研究还处于初期阶段特别是 对相应的高维双调和映射的研究还几乎没有本文主要是研究平面调 硕士学位论文 和映射和双调和映射的一些基本性质以及它们之间的关系，并在第三 章给出了高维双调和映射的一些初步结果最后一章主要介绍调和映 射和极小曲面之间的联系及著名的极小曲面曲率猜测 1 2 调和映射和双调和映射的l a n d a u 定理 经典的l a n d a u 定理证明了对于单位圆盘内任意具有正规化条件 ，( o ) = ，( 0 ) 一1 = 0 且i ，( z ) i 0 使得，在啡内单叶且f ( d p ) 包含一个半经为m z 的单叶圆 盘近年来许多作者研究了平面调和映射的l a n d a u 定理( 见 2 0 ，2 1 ，2 2 ， 2 3 1 ) 和平面双调和映射的l a n d a u 定理( 见【2 4 】) 陈怀惠等在文【2 0 】中 最先研究了平面调和映射的l a n d a u 定理，他们的主要结果如下： 定理c g h x ( 2 0 ，定理2 】) 设，是单位圆盘d 内的调和映射且满足，( o ) = j s ( o ) 一1 = 0 和l ，l m 则 ( 1 ) ，在单位圆盘d 舶单叶，其中 p o = 丽7 1 - 3 ( m - - - 鹏茅去6 8 5 ) ； ( 2 ) ，( d p , ，) 包含一个单叶圆盘d 其中 一 7 r7 r 4 t o 。丽伽2 5 1 2 r a m 3 。 定理c o n 2 ( 2 0 ，定理3 】) 设，是单位圆盘d 内的调和映射且满足f ( 0 ) = 厶( o ) = l ( o ) 一1 = 0 和i ，( z ) i m 贝l j ( 1 ) ，在单位圆盘单叶，其中 7 r 2 伽2 丽； ( 2 ) ，( ，) 包含一个单叶圆盘d 鼹i 其中 岛= 百p o = 嘉 关于调和映射和双调和映射性质的研究 3 z a b d u l h a d i 和y a b um u h a n n a 在【2 4 1 中研究了平面双调和映射 的l a n d a u 定理，主要结果如下： 定理a a l ( 【2 4 ，定理1 】) 设f = i z l 2 g 十k 是定义在d 内的双调和映射， 其中g 和k 都是d 中的调和映射且满足正规化条件f ( 0 ) = k ( 0 ) = 0 ， 九( o ) = l ，l g l m ，l k i m 则存在常数0 船 1 使得f 在l z l 内 内是单叶的特别地肪满足 面7 1 嘞s m 一2 m ( 禹+ 南一1 ) = 。 且f ( d 邝) 包含一单叶圆盘d 如，其中 恐= 筹一幽1 - p a 定理a a 2 ( 2 4 ，定理2 】) 设g 是定义在d 内的调和映射且满足正规化条 件g ( o ) = 0 ，j c ( 0 ) = 1 ，i g ( z ) i m 则存在常数0 p 4 1 使得f = i z l 2 g 在圆盘 p 4 内是单叶的，其中纵是方程 南一等1p 4 ( 南1p a ) 2 1 ) = 。 4 m一( 一 。 的解，并且f ( d p 4 ) 包含一单叶圆盘d r ，其中 耻舞一鬻 定义1 2 1c 1 类复值微分算子定义如下： ， a a l2 z 瓦一z 历 我们应用调和映射的s c h w a r z 引理和系数估计，在文 2 0 ，2 4 】的基 础上继续研究了两类特殊平面双调和映射的l a n d a u 定理我们的主 要结果如下： 定理2 2 1 设f = l z l 2 g + k 是d 内的双调和映射且f 满足正规化条 硕士学位论文 件f ( o ) = k ( o ) = 0 ，j k ( o ) = 1 ，其中g 和k 都是d 内的调和映射如 果i g l m 且i i m ，则存在常数p ( 0 p 1 ) 使得l ( f ) 在d p 内是 单叶的，其中p 满足如下方程 l 4 m 器1 一篙一警c t 滞一o ， ( 一p ) 2( 1 一p ) 3 7 r 2 1 。一 ( 1 一p ) 3 v 其中仇l 6 0 5 9 是函数 2 - i x 2 + f 昙矿a r c t a n x ，( 。 z 1 )z ( 1 一舻) 7 。7 的最小值，取得最小值时z 0 5 8 8 而且l ( f ) ( 珥) 包含一个单d t - 盘 d r 其中 耻“南一番一7 1 6 m c t a n 司 定理2 2 3 设f = l z l 2 g 是d 内的双调和映射且g 满足正规化条件 a ( o ) = 0 ，j g ( o ) = l ，其中g 是d 内的调和映射如果l g i m ，则存在 常数( 0 p 1 ) 使得l ( f ) 在珥内是单叶的，则存在常数p ( 0 p 1 ) 使得l ( f ) 在啦内是单叶的，其中p 满足如下方程 面7 r 一万4 8 m r c t a n j d 一嵩= 0 ，面一万m l 盯眦觚j d 一研刮， 其中m 。和定理2 2 1 中的m 。相同，而且l ( f ) ( 珥) 包含一单叶圆盘d 鼢 此处 耻矿 南一万1 6 m c t a n 司 1 3 一类双调和映射的几何性质 定义1 3 1 ：对于n 2 ，定义 关于调和映射和双调和映射性质的研究 尸【纠( z ) = 7p 扛，毒) 咖恁) 曲( ) ，z b 诧， _ ，s ”一i 其中尸( ，f ) = 群是定义在单位球舻上的p o i s o n 核，d c r 是单位球 面上的正规化曲面测度，砂：s 肛1 _ r n 是连续映射 m a r e n o v i 6 ，v k o j i 5 和m m a t e l j e v i 5 在文【2 5 】中证明了如下结果： 定理m k m 假设咖：s 舻1hr n 满足l i p s c h i t z 条件：对，7 s 铲1 ， l 砂( 专) 一砂( ，7 ) l l l 一卵l 并且它的调和扩张u = p m ：妒hr n 是k - 拟正则的则对z ，掣b n ， u ( x ) 一缸( ! ，) l c ，i x y l ， 其中一仅与，k 和n 有关 最近，m m a t e l j e v i t ! ，m a r e n o v i d 和v m a n o j l o v i d 改进定理m k m 成 如下形式( 见【1 8 】) 定理m a m 设h ：矿hr n 在肿中调和并在矿上连续则对于任意 的z b n 和s 一上的切向量t ，如下条件是等价的： ( a ) i ( z ) 一h c u ) i m l * 一豇i ，z ，y s “一1 ( b ) l ) t l m ， 其中t - = 另外，如果h 是k 拟正则映射，则对于任意的z 矽有 i 7 ( z ) i k m 我们利用构造的方法把上叙结果推广到了双调和映射情形，主要结果 如下 定理3 2 5 设f 是定义在b n 内且在矿上连续的具有四次连续微分的 函数并满足f ( z l ，x 2 ，z 。) = a l i x l 2 g ( z l ，x 2 ，) 十a 2 g ( x l ，z 2 ，z 。) ， 其中g 是调和映射且入l ，a 2 是实常数并满足a t + a ：0 若f ：彭。hr n ， 则对于任意的z b n 和s ? 以上的切向量t ，如下条件等价： ( e ) i f ( z ) 一f ( 秒) ism i z y l ，z ，y s n 一1 硕士学位论文 ( f ) i g 托) t i m ，其中r = m 如果g 还是k - 拟正则映射，则对于任意 的z b 札有 ( g ) l g ) i 丙k 丙m 定义3 3 1 定义在单位圆盘上的调和映射，是全凸的当且仅当厂把每 一个圆周= r 1 都一一的映成凸曲线 对于平面情形：我们还有如下结果： 定理3 3 2 设f = h + 可是d 内局部单叶保向的调和映射，其中h 和g 是解析的则f ( z ) = 入。i z l 2 f ( z ) + ) t 2 f ( z ) 是全凸的当且仅当f ( z ) 是全凸 的，其中入l 十a 2 0 1 4 调和映射的b l o c h 空间 类似于解析函数的b l o c h 范数，定义调和映射的b l o c h 范数如下 定义4 1 1 设f = h + 可是定义在d 内的调和映射，其中h 和g 是d 内 的解析( 全纯) 函数我们称 l i f l l h o = s u p ( 1 一i z l 2 ) ( i h i + i g p i ) + i 厂( o ) l o o z e d 为厂的调和b l o c h 范数( 记作h b f ) ，其中，为调和b l o c h 函数 定义4 1 2 在定义4 1 1 的假设条件下，我们称 l i f l l h b a = s u p ( 1 一i z l 2 ) ( 1 i + 1 9 ，i ) + i 厂( o ) i o o z e d 为，的调和q b l o c h 范数( 记作h b ) ，其中，为调和q b l o c h 函数 显然调和b l o c h 范数是解析函数b l o c h 范数的推广，即当定义4 1 1 中 g 三0 时就是解析函数的b l o c h 范数的定义 陈怀惠等在文【2 7 】中得到如下定理： 定理c g 设p 1 且asp 则。是从1 3 。到召芦的有界算子；若q p 时，q 没有下界 类似于定理c g ，关于调和映射，我们得到如下结果： 定理4 2 1 设卢1 且a ，则日岛是h b q 到日的有界算子若 o l p ，则算子h q 没有下界 关于调和映射和双调和映射性质的研究 调和映射与极小曲面的联系 定义5 1 7 一个曲面如果它每一点处的平均曲率h = 0 ，则称其为极小 曲面非参数极小曲面称为极小图在等温参数坐标下，极小曲面的高 斯曲率( 【3 2 ，h 8 4 】) k 一揣 下面是著名的极小曲面曲率猜测 猜测5 2 1 如果极小曲面s 的平面投影是单位圆盘到单位圆盘的调和 同胚映射，则此曲面在原点的高斯曲率满足不等式 l k i 着， 其中莽8 是最好的界 硕士学位论文 2 两类双调和映射的l a n d a u 定理 2 1 引言 定义在复平面c 内某个子域d 的二次连续可微复值函数厂= u + i v 是调和的当且仅当，满足l a p l a c e 方程厂= 0 ，其中表示l a p l a c e 算 子 = 4 去 定义在复平面c 内某个子域d 的四次连续可微复值函数f = u + i v 是双调和的当且仅当f 满足双l a p l a c e 方程a ( a f ) = 0 双调和函数的 研究产生于某些物理问题，特别是流体动力学和弹性问题它在工程 力学和生物学有着许多重要应用详见文【1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 由文【2 4 ，2 8 ，2 9 】 知，如果dcc 是单连通域，则复值函数f 是双调和的当且仅当f 有 如下表示： f = i z l 2 g + k ， 其中g 和k 都是复值调和映射又由文【2 0 ，2 4 ，2 8 ，2 9 】知，g 和k 有如 下表示： g = 9 1 + 9 2 和 k = k l - fk s ， 其中9 l ，9 2 ，尼l 和也是d 中的解析函数，的j a c o b ij r 定义如下： j r = l f z l 2 一i 厶1 2 我们引进如下两个记号： = l i f , l l 厶l i ，a s = l 丘i + l 厶1 由定义知：如果以0 ，则j r = a s a s 在文 2 9 】中，作者引进了如 下c - 类复值微分算子： l = z 夏0 一乏嘉， 关于调和映射和双调和映射性质的班究 显然，是一复线性算子且满足通常的乘积运算法则如下： l ( a f + b g ) = a l ( f ) + b l ( g ) 和 l ( 1 9 ) = f l ( g ) + g l ( f ) ， 其中a ，b 和，9 分别是复常数和c 1 函数另外算子l 具有许多有趣 的性质例如：算子三保调和和双调和性它的更多相关性质可参见 文f 冽本文引进如下记号： d ，= z c ：i z l ， ，d = d 1 2 2 双调和映射的l a n d a u 定理 z a b d u l h a d i 等在【2 9 】中得到如下结果 定理a a ( 【2 9 ，推论l ( 3 ) 】) 设f 是d 中的单叶双调和映射如果f 是凸 的且l ( f ) 是单叶的，则l ( f ) 是星形的 从定理a 月知，l ( f ) 的性质非常类似于解析函数z f 协) 的性质，例 如：若f 是单叶双调和的：则f 是星形的当且仅当r e ( l ( f ) ( z ) f ( z ) ) 0 另外在文【2 9 】中作者还给了一个关于凸函数的类似刻画 经典的l a n d a u 定理证明了对于单位圆盘内任意具有正规化条件 f ( o ) = ，( o ) 一1 = 0 且l ，( z ) i 0 使得，在d p 单叶且厂( 哦) 包含一个半经为m 矿的圆盘近 年来，许多作者研究了平面调和映射的l a n d a u 定理( 见 2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 】) 和平面双调和映射的l a n d a u 定理( 见【1 】) 从定理a a 知，研究l ( f ) 的 l a n d a u 定理是非常有意义的，其中f 属于某类双调和映射对此问题， 我们的主要结果如下： 定理2 2 1 设f = f z l 2 g + k 是d 内的双调和映射且f 满足正规化条 件f ( 0 ) = k ( 0 ) = 0 ，厶( o ) = 1 ，其中g 和k 都是d 内的调和映射如 1 0 硕士学位论文 果i g i m 且i k i m ，则存在常数p ( o p 1 ) 使得三( f ) 在d p 内是 单叶的，其中p 满足如下方程 7 r 6 m r4 m p s 1 6 m 4 m p 一4 m 一研一研一万m l 龇p 一碲2 o ， 其中m l 6 0 5 9 是函数 2 一z 2 + 垒爿r p t 矗nz _ = 7 l 二万一，( 0 z 1 ) z f l x 2 1 、7 的最小值取得最小值时z 0 5 8 8 而且l ( f ) ( d p ) 包含一个单叶圆盘 d r l ，其中 肛吖南一尚一等m a r c t 叫 注记2 2 2l ( f ) 不保有界性 我们的下一个结果给出的是当k = 0 时l ( f ) 的l a n d a u 定理而且 此结果不同于定理2 2 1 这是因为当k = 0 时，j a c o b ig k ( o ) = 0 因此 我们必须用假设如( o ) = 1 来代替 定理2 2 3 设f = l z l 2 g 是d 内的双调和映射且g 满足正规化条件 g ( o ) = 0 ，j g ( o ) = 1 ，其中g 是d 内的调和映射如果i g l m ，则存在 常数p ( 0 p 1 ) 使得l ( f ) 在啡内是单叶的，则存在常数p ( 0 p 1 ) 使得l ( f ) 在巩内是单叶的，其中p 满足如下方程 砑7 r 一等a r c t a n m lc t a n p 一嵩一o ，砑一万盯一而。o ， 其中m 和定理2 2 1 中的t r t 。相同而且l ( f ) ( 珥) 包含一圆盘d 飓，其 中 r 2 = p 3 南一等m 。a r c t a n 川 现用p l 和化分别表示定理2 2 1 和定理2 2 3 中的p 表格2 1 的左 边，我们分别取不同的m ，得到与之对应的不同的p 。和r 。这些值都 是用m a t h e m a t i c a 软件得到的 注记2 2 4 定理2 2 1 和2 2 3 中的p 和r 均不是最好的估计 关于调和映射和双调和映射性质的研究 1 1 m p l r lm 船r a 1 1 5 0 4 3 9 2 5 41 2 5 9 9 7 1 5 0 6 2 9 7 5 0 01 7 7 4 7 5 4 3 1 4 0 3 7 3 4 9 30 7 7 9 1 3 9 1 4 0 5 5 8 3 4 3 91 2 0 4 1 0 1 8 1 3 0 2 8 5 3 4 4 0 3 8 2 3 1 3 0 4 5 5 8 18 90 7 0 3 4 3 9 0 1 2 0 1 7 0 4 8 30 1 1 9 2 0 1 2 0 3 0 5 3 3 2 70 3 0 4 4 3 2 9 10 0 5 2 7 6 0 30 0 1 3 7 9 1 910 1 1 1 1 9 2 20 0 5 6 4 1 5 8 20 0 1 3 9 4 3 90 0 0 1 6 4 5 0 120 0 3 1 3 5 0 20 0 0 8 1 2 5 4 3 0 0 0 6 2 6 1 4 10 0 0 0 4 8 2 4 1 330 0 1 4 2 6 7 10 0 0 2 4 7 8 5 表2 1 表格的左栏和右栏分别是对应的定理2 2 1 和定理a a l 我们现用m a t h e m a t i c a 软件给出一些计算数据来比较我们的结果 ( 定理2 2 1 和定理2 2 3 ) 和文【2 4 】中相对应的两个结果它们分别是表 格2 1 和表格2 2 文【2 4 1 中对应的两个结果如下： 定理a a l ( 【2 4 ，定理l 】) 设f = i z l 2 g + k 是定义在d 内的双调和映射， 其中g 和k 都是d 中的调和映射且满足正规化条件f ( o ) = k ( o ) = o ， 如( o ) = 1 ，i g i m ，i k i m 则存在常数0 内 1 使得f 在z 船 内是单叶的特别地船满足 南- 2 p a m - 2 m ( 禹+ 南一1 ) = 。 且f ( d m ) 包含一单叶圆盘d r 3 ，其中 忍= 筹一警 这个定理中的估计也不是最好的 定理a a ：( 【2 4 ，定理2 】) 设g 是定义在d 内的调和映射且满足正规化条 件c ( o ) = 0 ，如( o ) = 1 ，i g ( z ) l m 则存在常数0 p a 1 使得f = i z l 2 g 在圆盘i z i p 4 内是单叶的m 是方程 而7 r 一等一2 m ( 南一1 ) = 。 1 2 硕士学位论文 m 仇r 2 m p 4 r 4 1 5 0 4 7 5 0 2 30 3 2 7 5 3 9 1 5 0 6 3 1 9 7 2 30 8 1 7 8 1 4 3 1 4 0 3 5 2 1 1 20 1 0 0 8 5 3 1 4 0 5 4 6 8 4 2 90 4 1 5 0 6 6 4 1 3 0 2 1 3 2 8 40 0 1 6 1 8 4 1 3 0 4 2 6 8 9 0 20 1 4 4 6 6 7 9 1 2 0 0 9 7 8 70 0 0 1 0 2 3 3 5 1 2 0 2 6 4 8 4 2 90 0 2 2 4 8 7 7 1 0 0 2 4 8 3 8 88 2 9 7 6 4 1 0 6 1 0 0 8 7 4 8 8 60 0 0 0 3 9 7 5 2 0 0 0 6 2 3 2 0 26 5 4 1 5 2x1 0 8 2 0 0 2 3 8 1 3 93 9 8 5 5 9 7 8x1 0 6 3 0 0 0 2 7 7 1 6 23 8 4 5 0 2x1 0 9 30 0 1 0 7 6 1 62 4 4 9 3 9 4 4x1 0 7 表2 2 表格的左栏和右栏分别是对应的定理2 2 2 和定理a a 2 的解，并且f ( 毗) 包含一单叶圆盘d 风，其中 风= 焉一鬻 这个定理的估计亦不是最好的 在给出定理2 2 1 和定理2 2 3 的证明之前，先介绍一些引理，它们 对定理的证明起着重要的作用 引理c x ( 2 0 ，2 3 ，3 0 1 ) 设，是d 内的调和映射并满足，( o ) = 0 及，( d ) c d 对于任意的z d ，则有 荆要错群， 且 i 北) i 晏a r c t a n 扣 引理c x 中的第二个不等式是h e i n z ( 见【3 0 ，l e m m a ) 得到的由引 理c x 和h e i n z 引理，我们有如下推论： 推论2 2 5 设，是d 内的调和映射并满足，( o ) = 0 及f ( d ) = d 则有 以i l ( o ) l 十i ，( o ) l ；， 其中c 是绝对正常数 关 二调和映射和双调和映射性质的研究 1 3 在文【3 1 1 中，h a l l 证明了c 的最大上界是器如下是文【2 3 】中关于 调和映射系数估计的一个结果 引理x z 设f = h + 虿是d 内的调和映射且m z ) = 函a n z n ，夕( z ) = 函b n z n ，l ，( z ) i m 对于n 1 ， l i ，i k l m 上式等号成立当且仅当f o ( z ) = m z “或f l ( z ) = m 由引理x z ，可以立即得到如下推论： 推论2 2 6 设，= h + 歹是d 内具有礼次连续微分的调和映射如果 危( z ) = 是。n n z n ，g ( z ) = n o c ：。b z “，l ，( z ) lsm ，则对于任意的几1 和 z d 有， l 筹i5 剥貉，i 万o f i 剥箝 如下两个引理是显然的 引理2 2 7 设m 和q 是两个正实常数则函数 f ( x ) = 6 m f ( x 南+ 4 m 南+ 等q a r c t a n x + 4 m 南若研若可+ 等矗 在【0 ，l 】内是连续的且严格单调递增的并满足，( o ) = 0 及l i r a 。f ( x ) = 引理2 2 8 设m 和q 是两个正实常数则函数 出) = 警口a r c t a n z + 4 m 南 在 0 ，1 j 内是连续的且严格单调递增的并满足g ( o ) - 0 及l i m 一。g ( x ) = 定理2 2 1 的证明：设f = l z l 2 g + k 因为l 是线性的且l ( i z l 2 ) = 0 ， 所以对于任意的z d 可假定h ：= l ( f ) = i z l 2 l ( g ) + l ( k ) ，其中g ( z ) = 9 l + 甄= 。o o = 0 n n 扩+ 函5 ，且k ( z ) = 老l + 瓦= 墨l c n z n + 甚l 瓦旁 则 见= 2 1 2 1 2 g ：- 4 - l z l 2 z g ：z 一- 5 2 g i 十托+ z 琏： 1 4 硕七学位论文 且 飓= - 2 1 2 1 2 g i 一阡- g i i - bz 2 g ：一琏一乏琏i 易知如( o ) = 如( o ) = 1 因为g 和k 是d 内的调和映射，由引理x z 知：对于任意的n 1 有， i o n i ，j k l ，l c nj ，i d n i m 特别地， i n n l + i b n i 2 m 和ic ，l i - t - i d 。i 冬2 m 定义 p ( z ) = 2 - + - 节4 _ a r j c t a n f x - 一x 2 ( 。 z 1 ) 则存在r o ，( 0 r 0 0 对于1 2 1 p 中任意两个不同的点z 。，z 2 ， l ( f ) 在圆盘d p 内单叶 最后，采用相同的方法我们考虑对于任意的z 满足= p ，有下列 不等式成立 h ( z ) l = il z l 2 ( z g ：一7 g i ) + ( z 眨一乏飓) f i z k ：( o ) 一i 琏( o ) i _ i z ( 也一尬( o ) ) 一乏( 飑一飓( o ) ) 一2 ( z g ：一- 2 g i ) i p 南一篙一等t a n 司咄 定理2 2 1 证毕口 定理2 2 3 的证明：设g 是定义在d 内的调和映射则我们可假设 对于任意的z d 有，g ( z ) = 9 1 ( z ) + 厕，其中9 x ( z ) = 甚la n 扩，9 2 ( z ) = 甚lb z n ，且j g ( o ) = i o - 1 2 一i b l l 2 = 1 ，由g 的假设和引理c x 知， a g ( o ) i 4 m 令日( z ) = l ( f ) = l z l 2 l ( g ) 贝4 且 见= 2 1 2 1 2 g 。一尹g + z 阡g ： 飓= - 2 1 2 1 2 g - + z 2 g ：一乏h 2 g 历 固定p 且p 满足0 h 刊( z 1 2 d 9 南一万4 8 m t a n p 一器 由引理2 2 8 知，在( o ，1 ) 中存在唯一的p 满足如下方程 l 4 m 等t a n p 一嵩一o 一一万m 眦。锄p 一而2 0 这意味着h ( z 1 ) 日( z 2 ) 且疗( z ) 在 p 内单叶 而且对于任意的z 满足h = p 有， i h ( z ) i = i l ( i z l 2 g ) i f i z l 2 ( z o o ( o ) 一虿g 荨( o ) ) i ii z f 2 z ( g ：一g ：( o ) ) 一乏( g 手一g 乏( o ) ) 1 i 2 p 3 7 r 孑一万1 6 3 i m a r e t a n 司= 砬 定理2 2 3 证毕 口 1 8 硕士学位论文 一类双调和映射的几何性质 3 。1 引言 在本章中，我们用b = 妒和s = 酽- 1 分别表示r 孔中的单位球和 单位球面特别地：我们用d 和t 分别代替b 2 和s 1 平面调和映射 f ( z ) 是定义在域dcc 内的复值调和函数，其中2 = z + i y 若d 是单 连通的，则y ( z ) 有如下标准分解： ，= h + 虿， 其中h 和9 在d 内是解析( 全纯) 的定义在域dcc 中的具有四次 连续微分的复值函数f 是双调和的当且仅当a f 是调和的，即f 满足 双调和方程a ( a f ) = 0 ，其中是l a p l a c e 算子并有 = 4 彘：= 暴+ 嘉 双调和映射的研究产生于某些物理问题，特别是流体动力学和弹 性问题它在工程力学和生物学有着许多重要应用详见文【1 2 ，1 3 ，1 4 ， 1 5 】由文【2 8 ，2 9 】知，如果dcc 是单连通域，则复值函数f 是双调和 的当且仅当f 有如下表示； f = l z l 2 g - t - k ， 其中g 和k 都是复值调和映射又由文【2 0 ，2 4 ，2 8 ，2 9 ，3 2 】知，g 和k 有如下表示： g29 1 十9 2 和 k = 忌i + 如， 其中g l ，9 2 ，k l 和k 2 是d 中的解析函数，的j a c o b ig s 定义如下： g s = i 丘1 2 一蚓2 关于调和映射和双调和映射性质的研究 1 9 我f f y l 进如下两个记号： a f = f f 丘i i ，_ i i ，a s = i 丘i + f 厶| 由定义知：如果以0 ，则以= ) 。s a f m a r e n o v i 6 ，v k o j i 6 和m m a t e l j e v i 6 在文 2 5 】中证明了如下结果： 定理a k m 假设西：s ”1h 础满足l i p s c h i t z 条件 i ( 善