（通信与信息系统专业论文）微波加热caosio2体系材料的数值模拟研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 中文摘要 微波加热技术是利用微波这一特殊波段所具有的一些特性以及它与被加热 介质耦合来产生热量，即利用介质损耗使材料整体加热至所需温度。它具有加 热速度快、加热均匀、高效、易控制、安全环保等优点。但是在实际的应用过 程中，对于微波加热体，尤其是固体加热样品温度变化的测量存在着一定的困 难。这主要是因为温度测量装置要么会干扰电磁场，要么会干扰温度场。因此， 用数值计算的方法来较为准确地寻找微波加热体温度变化规律成为一个很有意 义的研究方向。 在现代微波电磁场工程中，各种数值计算方法发挥着越来越重要的作用。 其中，时域有限差分算法( f i n i t e d i f f e r e n c et u n e d o m a i nm e t h o d ，简称f d t d 法) 是2 0 世纪6 0 年代中期发展起来的一种十分有效的电磁场数值计算方法， 它的本质是将微分形式的时域m a x w e l l 旋度方程转化为差分方程来数值求解电 磁场。目前，f d t d 法的应用己经遍及许多科学领域。 本文实验部分采用微波对c a o 一$ i o z 体系材料进行了加热，微波加热系统 的微波源频率为2 4 5 0 m h z ，使用的功率为l k w 。材料的温度变化采用日本产的 u l t i m a x - 2 0 红外辐射高温计测定。对于材料样品平均温度的测量，结合微波 加热过程的一些特点，采用液体量热测温方法，该温度测量方法的原理是热传 递和能量守恒，具有操作简便、结果可靠的特点。这些测量结果可用作对于微 波加热体温度场理论计算结果进行对比的重要依据。 有限差分法求解微波加热体温度变化规律的要点是：首先选择合理形式的 热传导微分方程，将计算节点放置在y e e 元胞中心，从而将热传导方程离散化 而得到关于温度的差分方程组。在求解所得到的差分方程组时，还要考虑定解 条件，包括：初始条件和边界条件。同样为了保证数值的稳定性，对于时间步 长也有相应要求，当然这个要求远低于f 口r d 法对时间步长的要求，所以这个 问题自然得到了解决。 本文将利用m a x w e l l 方程组与热传导方程( f o u r i e r 方程) 来计算微波加热 过程中一种特殊材料的温度随时间的变化规律。并将材料温度变化的理论计算 结果与有关的实验测量结果进行对比，从而验证了本文所提出的数值计算模型 的可行性和可靠性。 关键词：微波加热。微波加热模型，数值计算 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t b ym i c r o w a v e ( 姗) h e a t i n gt e c h n i q u ei sm e a n tt og e n e r a t eh e a tt h r o u g h c o u p l i n gb e t w e e nm w a n dc o r r e s p o n d i n gm e s ai e t oh e a tm a t e r i a l si n t ot h e r e q u i r e dt e m p e r a t u r eb yd i e l e c t r i cl o s s m wh e a t i n gt e c h n i q u eh a st h ea d v a n t a g 嚣 o fr a p i d h e a t i n g , e v e nh e a t i n g , h i g h e f f i c i e n c y , e a s yt oc o n t r o l , s a f e t y a n d e n v i r o n m e n t a l p r o t e c t i o ne t c i nf l sa c t u a la p p l i c a t i o n , t h e r er f ea l w a y saf e w d i f f i c u l t i e sf o rt e m p e r a t u r em e a s u r e m e n to fm w h e a t i n gb o d y , e s p e c i a l l yf o rs o l i d m a t e r i a l s , b e c a u s et e m p e r a t u r e - m e a s u r e ds e i k q o rw o u l di n e v i t a b l yi n t e r f e r e n c eo i l e i t h e rm w e l e c t r o m a g n e t i cf i e l do rt e m p e r a t u r ef i e l d , s o m e h o w t h e r e f o r e i ti s m e a n i n g f u lt up u r s u et e m p e r a t u r ev s t i m ed u r i n gh e a t i n g , m o r ee x a c t l y i nm o d e r n e n g i n e e r i n gm we l e c t r o m a g n e t i cf i e l d , v a r i o u sn u m e r i c a l c o m p u t a t i o n m e t h o d s p l a y m o r e a n dm o r e i m p o r t a n tr o l e ，i n w h i c ht h e f i n i t e - d i f f e r e n c et t m e d o m a mm e t h o d ( f d t dm e t h o d ) i sav e r ye f f e c t i v e n u m e r i c a lc o m p u t a t i o nm e t h o dt h a th a sb e e nd e v e l o p i n gs i n c em i d - 1 9 6 0 s n cc o r e o ff d t dm e t h o di sh o wt oc o n v e r tt h em a x w e l ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n t od i f f e r e n c e e q u a t i o n si no r d e rt os o l v ee l e c 仃o m a g n e t i cf i e l d , n u m e r i c a l l y s of a r , t h ef d t d m e t h o dh a sf o u n di t sa p p l i c a t i o n si nm a n ys c i e n t i f i cf i e l d s i nt h ee x p e r i m e n t s ，t h em a t e r i a ls a m p l e si nt h e c a o 一盛d 2s y s t e mw e r eh e a t e d w i t hm wa p p r a n t u s w h i c hh a s2 4 5 0m h zi f r e q e n c ya n dl k wi np o w e r t h e t e m p e r a t u r em e a s u r e m e n t s o fs a m p l es u r f a c ew e r ec a r r i e d o u tw i t ham o d e l u l t i m a x - 2 0i n f r a r e dp y r o m e t e rm a d ei nj a p a n t h e t e m p e r a t u r em e a s u r e m e n t so f s a m p l eb o d ya r et a k e nw i t ham e t h o do fl i q u i dc a l o r i ct e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t a c c o r d i n gt oc h a r a c t e r so fm wh e a t i n g , t h i st e m p e r a t u r e m e a s u 心m e n tm e t h o di s b a s e do nh e a t t r a n s m i s s i o na n de n e m yc o n s e r v a t i o n t h i sm e t h o di se a s yt oo p e r a t e a n dh a sm o l ec r e d i b l em e a s u r e m e n tr e s u l t s t h em e a s u n b m e n lr e s u l t sm a yb et a k e n 鹤c o m p a r i s o nb e t w e e nt h e o r e t i c a lc o m p u t a t i o n a lr e s u l t sa n de x p e r i m e n t a lr e s u l t s n e k e y n o t e so fh o wt os o l v et e m p e r a t u r eo fm e d i ah e a t e da l o n gt i m eh e a t e da r e a sf o l l o w s f i r s t l y , as u i t a b l ef o r mo fh e a t - c o n d u c t i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sc h o s e n t h e n t h eh e a t - c o n d u c t i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sc o n v e r t c di n t oas e r i e sd i f f e r e n c e e q u a t i o n sa b o u tt e m p e r a t u r eb yp u t t i n gt h eg r i dj o i n to nt h ec e n t e ro fy c ec e l l h 武汉理工大学硕士学位论文 m e n t i o n e da b o v e i ns o l v i n gt h e s ed i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，s o m e , d e f i n i t ec o n d i t i o n s ， i n c l u d i n gi n i t i a lc o n d i t i o n sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a r er e q u i 亿dt ob ed e t e r m i n e d b e s i d e s ，f o rg u a r a n t e e i n gn u m e r i c a ls t a b i l i t y , t h e r ei sat i m ei n t e r n a l s h o w e v e r , b e 4 2 a u s et h i sr e s t r i c t i o ni sm u c hl o o s e rt h a nt h er e q u k e m e n t si nf d t dm e t h o d , t h i s p r o b l e mi ss o l v e sn a t u r a l l y i nt h i st h e s i s ，t h ec o r r e s p o n d i n gm we l e c t r i cf i e l d sa n dt e m p e r a t u r ev s t i m ea r e c o m p u t e db yc o m p u t i n gt h em a x w e l l sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dh e a t c o n d u c t i o n d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( f o u r i e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) f o ras p e c i a lm a t e r i a l t h e c o m p u t a t i o nr e s u l t sa cc o m p a r e dw i t he x p e r i m e n t a lr e s u l t si no r d e rt os h o wt h e f e a s i b i l i t ya n dr e l i a b i l i t yo fn u m e r i c a lc o m p u t a t i o na b o v em o d e l s k e y w o r d ：m i c r o w a v e - h e a t i n g , m i c r o w a v e - h e a t i n gm o d e l , n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n m 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名：熏箜 日期： 圆。l f 生 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部内容，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名：熏箜导师签名：2 蜀建 日期：囫：z 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 微波概述 第1 章引言 1 1 1 微波在电磁波中的位置 微波是目前应用最为广泛的电磁波波段。微波波段的低频端与无 线电波的高频端( 波长为l m ，频率为3 0 0 m h z ) 相毗邻；其高频端则 与红外线的低频端( 波长为l m m ，频率为3 0 0 g h z ) 相衔接，具体如 图1 - 1 所示。 k - 介电j 嘛蝴障一 - t3 x 1 0 a o !：3 x 咿伽对 电l 。) 髓瓣 图1 - i 微波在电磁波谱中的位置1 1 j 按照波长的长短，微波通常分为分米波、厘米波和毫米波。在本 文的研究中所应用的微波位于厘米波段，其频率为2 4 5 g h z ，波长为 1 2 2 4 c m 。 1 1 2 微波的传输特点 微波在传输方面有以下一些特点【2 3 1 ： ( 1 ) 似光性 由于微波的波长很短，所以它具有类似于光波的一些特性：在 自由空间中是横电波，并以光速沿直线传播；在不同物质的分界面 上，会发生反射与折射：如果分界面的线性尺寸与微波波长是可以 武汉理工大学硕士学位论文 比拟的，则会有干涉与衍射现象；遵守波动的基本规律，例如c 一可、 多普勒效应和惠更斯原理等规律。 ( 2 ) 穿透性 微波可以深入到某些物质的内部，并和分子、原子相互作用，这 时物质将会吸收微波能量从而升高其自身的温度。 ( 3 ) 高频电磁场规律 由于微波的频率很高、振荡周期很短，因此使得微波波长可以与 传输系统的几何尺寸相比拟。这样，在低频普通无线电波中所建立的 一些电路理论对微波场就不再适用，因为这时还必须考虑在低频时不 起主要作用的一些高频效应，所以对于微波场来说，应该采用有关电 磁场的理论来研究微波的各种特性。 1 1 3 微波加热的特点 微波加热是基于材料本身的介质损耗而发热。它与传统外部加热 方式有着本质的区别【4 5 1 ，综合起来说，其特点有以下几点： ( 1 ) 快速加热、均匀加热 介质对微波的吸收特性表现为微波能够深入到介质内部，透入到 介质内部的微波能量被介质吸收并转换成热能从而实现对介质进行整 体加热，这样就在介质内形成温度梯度很小的加热温度场。所以微波 加热的升温速度快，加热也较为均匀。 ( 2 ) 节能性 微波的快速加热、均匀加热也体现为该加热方法的节能效果，即 它有着较高的能量转换效率。 ( 3 ) 选择性加热 介电性质不同的介质对微波能量的吸收能力不同，从而可以实现 对不同介质的有选择性加热。 ( 4 ) 易控性 微波加热时，一旦微波源启动且介质处于谐振状态则介质就开始 受热；而当微波一旦停止时，加热过程就会立刻停止，即表现为该加 热方式的热惯性小。利用其热惯性小的特点，就可以很方便地通过调 2 武汉理工大学硕士学位论文 节微波输出功率使介质加热状态进行相应的无滞后改变，这非常有利 于微波加热自动控制的实现。 1 2 微波加热的原理及应用 1 2 1 微波加热的原理 微波加热不同于传统的常规加热方式，常规加热属于外部加热， 外界热源首先加热介质表面，热量再从表面向介质内部传递，即被加 热介质内部的温度场梯度方向是由内向外。这种加热方式的加热效率 较低，加热时间较长。而微波加热是在电磁场中通过介质耗散来加热 材料，这是一个介质内部的加热过程，即被加热材料的温度场梯度方 向是由外向内。 微波对物质的加热过程与物质内部分子的极化有着密切的关系。 按照其分子是否有极性，物质可以分为两类：一类由极性分子组成， 另一类由非极性分子组成。以微波这种高频电磁波的形式对由极性分 子组成的物质施加能量的时候，这种物质由于介电极化效应而被加热。 微波引起的热效应来自于电场施加给物质中带电粒子的能量，如果物 质中的带电粒子可以在电场中自由移动，那么会产生电流：然而，对 于由极性分子组成的物质，由于电荷载体被束缚在一定的范围内，则 在有微波作用的情况下，它们的分子将会发生振动而尽量与电场的取 向一致，于是就产生了介电极化。在微波电磁场的作用下，物质中微 观粒子可产生4 种类型的介电极化：电子极化( 原子核周围电子的重 新排布) 、原子极化( 分子内原子的重新排布) 、取向极化( 分子永久 偶极的重新取向) 和空间电荷极化( 自由电荷的重新排布) 。在这4 种 极化中，与微波频率相比，前两种极化要快得多，所以不会产生微波 加热，而后两种极化与微波振动有相似的频率，在快速振动的微波场 中，分子的偶极振动会尽可能同电磁场的振动相匹配，而分子偶极振 动又往往滞后于微波场，物质分子吸收微波电磁能后进行每秒数十亿 次的高速振动，这样就会导致分子之间的摩擦从而产生热能。由于微 波对介质的加热是从介质分子出发的，所以微波加热属于“体内加热”。 从数学的角度来说，介质吸收微波能的程度可以用介质损耗角d 3 武汉理工大学硕士学位论文 的正切值增6 来描述，t 9 6 等于介电损耗因子”与介电系数之比。和 e ”分别构成介质复介电系数的实部与虚部。介质吸收微波能的能力随 培6 的增大而增大，即微波吸收能力与e ”成正比。 虽然微波可对介质内部直接加热，但进入内部的深度都是有限的， 微波进入样品内部的能力常用半功率穿透深度d 1 ，：( 即微波功率减弱到 表面处1 2 时所对应的距离) 来描述。d | ，：与微波波长a 成正比，与样 品相对介电系数的平方根及增6 成反比。一般来说，d 】，：与微波波长 处于同一个数量级。 1 2 2 微波加热技术的应用 作为一门在2 0 世纪中期才发展起来的新技术，在科学家们发现微 波能会导致热效应后，有不少人对微波加热方面的课题进行了不断的 探索、实验和研究。我国在2 0 世纪7 0 年代初开始研究微波加热技术。 首先是在连续波磁控管的研制工作取得了较大进展，特别是大功率磁 控管的研制成功，从而为微波加热技术的工业应用提供了先决条件。 其后，微波能作为一种非通讯用的能源在各个领域的应用中开辟了很 多崭新的分支，取得了广泛的应用范围。 1 3 与微波加热相关计算方法的概述 由于微波场是一种特殊的电磁场，所以微波场的计算属于高频电 磁场计算的范畴。进行复杂高频电磁系统的分析计算与综合以及高频 电磁场与复杂目标相互作用的分析与计算，都成为现代技术发展的重 要课题。当然，解决所有电磁场问题的理想要求是：求得满足实际条 件的m a x w e l l 方程的全部精确解答。然而，由于数学过程的复杂性， 只有一些相对简单的问题才有可能求得严格的解析解。 自2 0 世纪6 0 年代以来，伴随着计算机技术的发展，将复杂的电 磁场问题通过计算机进行数值模拟计算成为可能。为此诞生了一门解 决复杂电磁场理论与工程问题的应用学科，被称为：计算电磁学。微 波场的数值计算就属于计算电磁场的内容。 对于微波电磁场的数值计算，目前主流的数值方法可以分为两大 4 武汉理工大学硕士学位论文 类垆j ：频域计算方法和时域计算方法。颏域计算的具体方法包括矩量 法( m o m 法) 、有限元法( f e m 法) 、频域有限差分法( f d f d 法) 等。 其中矩量法是运用最为广泛的一种方法，从理论上来讲，这种计算方 法适用于任意形状和非均匀性问题，但是，该计算方法却可能导致行 数、列数都非常大的矩阵，而且可能是病态矩阵，因此其使用范围受 到了限制。有限元法1 7 】需要使用微分方程式的变分形式，这也并不是 对所有问题都能办到的。时域计算方法中最重要的计算方法是时域有 限差分法，简称为f d t d ( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ) 法。 这是一种保持m a x w e l l 旋度方程中的时间变量，不需经过任何变换而 直接在时域和空间域中求其数值解的方法。它在每一网格反复地运行 由m a x w e l l 旋度方程直接转换而来的有限差分格式，从而实现在计算 机的数值空间中对电磁波的传播以及电磁波与物体的作用进行数值计 算模拟。 根据本文中样品加热过程的特点，在计算微波电磁场时，决定选 用时域有限差分法( f d t d ) 。该计算方法的基本思想是由k s y e e 于 1 9 6 6 年在分析金属圆柱的电磁散射时提出的i s 】。此后，随着计算机技 术的发展，关于f d t d 方法的应用和研究成果不断出现，尤其在最近 几十年来得到很大发展。目前，该计算方法已经成为当前计算电磁学 领域最热门的方法之一1 9 - 2 0 1 。 1 3 1f d t d 法的特点 作为一种电磁场的数值计算方法，f d t d 法的特点在于： ( 1 ) 直接时域计算 f d t d 法直接将含有时间变量的m a x w e l l 旋度微分方程在y e e 网 格空间中转化为差分方程。在这种差分格式中，每个网格点上的电场 ( 或磁场) 分量仅与它相邻网格点上的磁场( 或电场) 分量以及上一 时间步该网格点上的场值有关。在每一时间步计算网格空间各点的电 场分量和磁场分量，随着时间步的推进，就能直接模拟计算电磁波的 传播过程及其与物体的相互作用过程。 ( 2 ) 广泛的适用性 由于在网格空间中的电场和磁场都是被交叉放置的，而在f d t d 5 武汉理工大学硕士学位论文 法计算中，用差分格式代替了微分，这就使得介质交界面上的边界条 件能够自然得到满足，从而为模拟计算复杂的结构提供了极大的方便 ( 3 ) 计算程序的通用性 由于该方法是直接从m a x w e l l 微分方程出发，因此f d t d 法的原 理简单直观，计算程序有很强的通用性，如果需要也适合于进行并行 计算。 ( 4 ) 节约存储时间和空间 在三维f d t d 法中每个网格电场和磁场的六个分量以及上一时间 步的值是必须存储的，此外还有描述各网格电磁性质的参数以及吸收 边界条件的有关参量。这些参量一般与空间网格总数n 成正比。由于 每个网格的电磁场都按同样的差分格式计算，所以，就所需要的主要 计算时间而言，也是与n 成正比的。相比之下，用矩量法进行数值计 算所需的存储空间与( 3 n ) 2 成正比，所需的c p u 时间与( 3 n ) 2 一( 3 n ) 3 成正比。所以f d t d 法可以大大提高计算效率和内存使用效率。 1 3 2f o t d 法的应用 正是由于f d t d 法具有上述优点。使它在电磁学的几乎所有领域 都获得了广泛的应用。这其中主要包括：在目标电磁散射特性和雷 达截面计算研究中的应用；在天线辐射特性计算中的应用；在电 子封装和电磁兼容分析中的应用；在微波电路和光路时域分析中的 应用；在核电磁脉冲传播和散射中的应用；在微波器件和导行波 结构研究中的应用；在周期结构分析中的应用。 1 4 微波加热数值模拟计算的研究现状 在微波加热的实际应用中，有些介质因其微观不均匀性和介质的 介电损耗随温度的上升而急剧上升，当然，对于某些材料也有可能会 导致微波加热过程中的局部过热和热失控。这种局部过热和热失控用 一般的测温方法是很难测出的，这是因为由于局部过热或局部热失控 不仅与宏观的电磁场、温度分布直接有关，而且有时是发生在介质的 极小区域内，一方面温度传感器无法测量到如此小的区域，另方面， 6 武汉理工大学硕士学位论文 温度传感器的介入本身就会影响到这个区域的介质连续性，从而对该 区域的电磁、温度分布产生扰动。因此，用一个合理的数学模型来研 究整个加热过程中发生的温度变化，即用数值计算方法模拟计算出微 波反应物中的温度变化规律就成为微波加热中一项很有意义的工作。 用数学模型进行数值计算来模拟微波加热过程是分析加热腔内电 磁场分布和温度分布 2 1 2 8 j 的有效方式，所以，微波加热的数值模拟计 算在微波加热的许多领域都有应用。 1 5 本文的内容简介 本文是对微波加热一种具有特殊用途材料的过程进行数值模拟计 算研究，所采用的研究方法是f d t d 法( 对于电磁场) 和前向差分法 ( 对于温度场) ，并且结合了具体的实验研究。本文的内容包括以下几 个方面： 第1 章：对本文的研究背景和意义进行综述 第2 章：介绍f d t d 法的基本原理。 第3 章：论述本文中的实验研究工作和相关的实验研究结果。 第4 章：建立相关的数学模型，包括：被加热体的电磁场模型和 温度场模型，并进行有关的数值计算。 第5 章：总结本文的工作，并对将来的相关研究工作提出一些设 想。 7 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章时域有限差分法基本原理 时域有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ) 简称 f d t d 法。f d t d 法最早由美国人k s y e e 在1 9 6 6 年提出。随着其应 用范围的不断扩大和应用效果的不断提高，f d t d 算法本身也一直在 不断地改进和补充 2 9 3 4 】，近些年来对其的研究也在迅速发展。 f d t d 法以y e e 元胞为空间电磁场的离散单元，将麦克斯韦 ( m a x w e l l ) 微分方程组转化为差分方程组。该方法表述简明而且具有 广泛的适用性，也易于实现，因而在工程电磁学的各个领域备受重视。 2 1m a x w e | i 方程的微分形式 m a x w e l l 微分方程组是支配宏观电磁场的一组基本方程， 两个旋度方程和两个散度方程组成。对于任意媒质，m a x w e l l 时域的微分形式为： m a x w e l l 方程组的两个旋度方程： v x 讯加一丢配f ) _ l v x 霄( ，f ) 一b ( r ，f ) + 歹 m a x w e l l 方程组的两个散度方程： v b ( r ，f ) - 0 v o ( r ，f ) - o - h ( r ，f ) 对于各向同性线性介质来说，其本构关系为： d e e ，b = 肛h ，j = o e ，j ；a m h 其中，豆为电场强度，单位为v m ； 8 它是由 方程在 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 武汉理工大学硕士学位论文 厅为磁场强度，单位为a m ； 西为电通密度，单位为c m 2 ； 后为磁通密度，单位为w b m 2 ； 为介电系数，单位为f m ； z 为磁导系数，单位为h m ； g r 为电导率，单位为s m ； 仃。为导磁率，单位为q m 。 真空中：盯1 0 ，o r1 0 ，f i o - 8 8 5 x 1 0 “f m ，1 1 鳓1 4 j r x l 0 7 h m 2 2y e e 元胞 在f d t d 法中，首先把计算域离散化，所采用的离散方法是y e e 网格划分法，这种方法将直角坐标系中电场和磁场的各个分量在空间 中分离，使得入射场和边界条件的设置变得简单。 1 ，j + l ，” z 佳， i i y j 图2 - 1 直角坐标系中的y e e 元胞的划分及场量分布p 副 在直角坐标系下的y e e 元胞如图2 - 1 所示。从该图可以看出，电 场分量都位于长方体网格的棱边中心且平行于棱边，磁场分量都位于 长方体网格的面中心且垂直于该面。当然，电场和磁场的位置是相对 的，完全可以在图2 - 1 中将它们的位置互换。y e e 网格的特点是：电、 磁场分量的取样节点在空间和时间上采取交替排布，任何一个电( 磁) 场分量都被其垂直面上的四个磁( 电) 场分量所包围，使得电场分量 和磁场分量在空间上整体相差半个网格步长。这其实也暗示了：在时 9 武汉理工大学硕士学位论文 问步长上，电场分量和磁场分量也应该相差半个时间步长，任一网格 点上的电( 磁) 场分量只与它上一个时间步的值及四周环绕它的磁( 电) 场分量有关。 这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉第感应定律和安培 环路定律的自然结构，而且这种电磁场各分量的空间相对位置也适合 于m a x w e l l 微分方程的差分计算，所以能够恰当地描述电磁场的传播 特性。此外，电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时间间隔彼此 相差半个时间步长，使m a x w e l l 微分方程离散以后构成显式差分方程， 从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行复杂的矩阵求逆运算。因 此，根据给定相应电磁问题的初始值及边界条件，利用f d t d 法就可 以在时间轴上逐步推进地求得以后各个时刻的空间电磁场。在这种电 磁场的配置下，当空间出现介质突变面时，也可以使突变面上各个场 分量的连续性条件自然得到满足，因而也为一些复杂结构体的电磁场 计算问题带来很大方便。 2 3m a x w e | l 旋度方程的有限差分处理 仕且用坐杯系中，m a x w e l l 儇万力程删艇厦力程口j 以化刀以r6 个标量方程 3 5 1 ： 冬三( 孕一譬一匮) ( 2 - 6 a ) 出、a ，以 堡寻( 譬一譬一晦) (26b)otf 把缸 堡。三( 堡o h , 哆) ( 2 6 c ) o t、o x a y 坠一三冬一誓+ 以) ( 2 6 d ) o t正l 、却把 堡。一 謦一鲁+ + 吒(2-6。)ot “、拓缸 ” 武汉理工大学硕士学位论文 譬：一三冬一譬+ 吒h ：) ( 2 - 6 f ) 珊“、妇却 这六个偏微分方程是f d t d 法的基础，它们构成了完整的三维电 磁场的情形。当然在实际情况中，被研究模型往往会遇到沿一个轴向 或两个轴向不变化的特殊情形。这时，上述方程在一定程度上可以得 到很大程度的简化。 将麦克斯韦六个标量方程( 2 - 6 a ) 一( 2 - 6 f ) 中场分量对空间坐标 和时间坐标的偏导数用有限差分式来表示，其基本做法是：将计算空 间沿三个坐标轴向上按y c e 元胞划分网格，并将每个节点进行编号， 具体为： o ，k ) o 缸，a y ，k a z ) ( 2 - 7 ) 其中，缸、缈和& 分别为网格沿x ，y ，z 坐标方向的空间步长，i 、 j 、k 均为整数。 令f ( x ，y ，z ，f ) 代表电场或磁场在直角坐标系中的某一分量，在任意 时间和空间域中的离散可表示为： ， ，) ，z ，t ) 一，o 缸，缈，k a z ，竹址) ，。( f ，k ) ( 2 - 8 ) 其中，缸为时间步长，n 代表n a t 时刻，n 为整数。 然后，用中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，这 种差分式具有二阶精度，其表示式为： 笪垡! 型! i ! ：! ：垫! ! ：! ：! ：趋竺( 2 - 9 a ) 缸 l ，n a x 笪垒：型竺立：! ! ：堂! ：趋 妙 l ，脚 缈 ( 2 9 b ) ( 2 9 c ) 武汉理工大学硕士学位论文 业a 剖t 。 i 。j上 ：垡! ! ：1 2 = ：垡! ! ：墨2 ( 2 - 9 d ) a t 则电磁场的六个标量方程( 2 - 6 a ) 一( 2 - 6 f ) 在三维直角坐标系中 可离散为： 黜+ - ；, i , k ) - c a - z ： i + 扣胭攀, j 型1 掣1 , 1 堕1 型1 1 堕：堕二堕：趋：毛( 2 - 1 0 a ) az 。 e；。，+三，七，ce；。，+三，七，+c口。!：!：!：!：；：!_=：；2：掣 ! 堕：乏垒：趁：n 】( 2 - 1 0 b ) 缸 e：。，七+圭，c爿e；a，七+争+c口。!：!j!：!：；：掣 羔坠基掣巫：立，( 2 - 1 0 c ) v 日：+；a，+三，t+主)。cph：(f，+三，七+三)一c口|!：!掣 一坐! ：过竺：竺竺塑】( 2 - 1 0 d ) az 武汉理工大学硕士学位论文 日：。+三，七+三)cp日；。+三，七+三)一cq【!_=：i：!：!掣 一竺：坐：兰：竺竺：乞( 2 - 1 0 e ) 缸 。 ：弓。+三，+三，七)cp日：(j+三，+三，七)一cq【；!：!：!：；：掣 1 一坐 舯俐。莲 2 e 一竺盘兰业，( 2 - 1 0 f ) v 。 a t ( 2 - 1 1 a ) ，c b 上-。( 2 - l l b ) 1 + o a t 2 e 1 一坐! c p 。忑2 , ( 2 1 1 c ) ，c q l 2 , ( 2 1 l d ) 以上就是用f d t d 法计算电磁场的时域有限差分方程组。由各个 电、磁场分量的差分公式可以看出：每一个网格上的电( 磁) 场分量 其新的迭代值仅依赖于该节点前一时间步的值以及其四周邻近节点的 磁( 电) 场分量前半个时间步的值。这样也就正确地反映了电磁场的 波动特性。 2 4f d t d 法解的稳定性 f d t d 法数值解的稳定性是指确定时域离散间隔步长时所需要满 足的条件。其不稳定性是由于从m a x w e l l 旋度方程离散后得到的有限 差分方程组的解不能收敛于原方程的解析解而造成的。f d t d 法数值 等至舡 一“ 武汉理工大学硕士学位论文 解是否稳定主要取决于时间步长址与空间步长( 缸、缈、z ) 的关系。 由相关推导可以得到f d t d 法三维计算过程的数值稳定性条件为： a ts 1 ( 2 1 2 ) 式( 2 - 1 2 ) 又称为c o u r a n t 稳定性条件，式中c 毒二为介质中的光速。 _ f l 若采用均匀立方体的y e e 氏网格，即空间步长取a x a y - & 一6 ， 则数值稳定性条件( 2 1 2 ) 可简化为： a t 主乓( 2 1 3 ) c 4 3 对于弹维的情况( - 1 ，2 ，3 ) ，数值稳定性条件就变为： f 乓( 2 1 4 ) c , l n 2 5f d t d 法的数值色散特性 如果电磁波所在空间的媒质特征与频率有关，则电磁波的传播速 度也将是频率的函数，这种现象称为色散。由于f d t d 差分方程只是 m a x w e l l 旋度方程的一种近似，在数值模拟计算电磁波在y e e 网格中 传递时，电磁波的相速度可能不再等于光速，而是与波长、传播方向 以及变量离散化有关，在非色散媒质空间也会出现色散现象，这种非 物理的色散现象被称为：数值色散。数值色散会导致脉冲波形的破坏， 出现因变量离散化所导致的各向异性及虚假的折射等现象。 实际计算中，为了保证一定的精度，通常y c c 元胞的边长取值需 要被限制于i j s ： 6 a 1 2( 2 1 5 ) 其中，6 为y e e 网格的边长，a 为电磁波的波长。 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 2 6 激励源的类型和设置 用f d t d 法模拟电磁波在计算空间的传输，还有一个十分重要的 问题就是激励源的选择。f d t d 法的基本出发点就是离散m a x w e l l 方 程，在时间上模拟波源在空间中传播的情况以获得空间各点的场值分 布，进而得到其它电磁场参量。为了在已知结构中激励出需要的模式， 就要选择合适的激励源。 从源的时变特点看主要有两大类：一类是随时间周期变化的时谐 源。另一类是对时间呈冲击函数形式的波源，后者时变源包括矩形脉 冲、高斯脉冲、上升余弦形脉冲和核电磁脉冲等形式。 在选择激励源中，我们遵循下面的原则： 激励源应与所求解的场的波形保持最大近似性； 激励脉冲的频率范围应该覆盖所求解电磁波的工作频率范围。 在谐振腔系统的激励设置中还包含一个需要注意的问题：激励源 的频谱分量应尽量不包含截止频率以下的分量。若包含低于截止频率 以下的分量，它们会在源区附近产生不传播的电抗特性场。当关闭强 迫激励源，换成标准f d t d 差分公式时，这些寄生场分量会发生瞬变。 当这种瞬变的频谱中有高于截止频率的部分时，它们就会在谐振腔系 统中传播，“污染”系统中的场数据。 对于以下将要进行的微波加热模型的数值模拟计算，本文选择的 是单一频率( c w c o n s t a n tw a v e ) 的正弦波激励源，如式( 2 - 1 6 ) 所示： 局( f ) 昂s i n ( o 瞳) t 2 0 ( 2 - 1 6 ) 作了以上设置以后，只要在程序中赋予入射波的电磁场分布，通 过f d t d 迭代推进过程，即可在计算区域建立入射波，得到在已知频 率下所计算的时域响应。 2 7f d t d 法的吸收边界条件 由f d t d 算法的基本原理可知：用此法求解电磁场问题时，假定 问题空间是无限大的，即所谓的“开放”系统。于是，对于辐射、散 武汉理工大学硕士学位论文 射等这类开放问题，所需要的网格空间将成为无限大的。而在采用 f d t d 法计算时，所取研究空间越大，需要的计算机存储量也就越大， 计算时间也就越长。由于任何计算机的存储空间总是有限的，实际上 不可能模拟无限大的空间，因此必然要把计算网格在某处截断，使之 成为有限的。网格截断后，如果不进行合理的处理，必然会在截断处 引起非物理的电磁反射，这将与实际问题不符，造成计算误差。另一 方面，由f d t d 所采用的差分格式可知：中心差分形式的f d t d 由于 需要截断边界外场的信息用于边界网格点上场的计算，故也需要适用 于截断边界网格点处计算的算法。因此一种行之有效的解决方法就是 在计算区域的截断边界上设置吸收边界条件( a b s o r b i n gb o u n d a r y c o n d i t i o n ) ，而在吸收边界的外层，电磁场为零，类似于开域空间内无 限远处的电磁场。 近年来应用较为广泛，吸收边界条件有m u r 吸收边界条件和完全 匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，简称为：p m l1 吸收边界条件等，它 们各有优缺点：m u r 一阶吸收边界适用于单向波传输，二阶吸收边界 尽管比一阶边界有所改善，但入射角度对吸收效果影响很大，且会有 一些反射；完全匹配( p m l ) 层边界条件可吸收任意入射角、任何频率、 任意偏振态的入射电磁波，且反射非常小，同时与m u r 吸收边界条件 相比具有更高的计算精度，其实用性更强，但是它占用的存储空间和 c p u 时间都较多，且算法较复杂。对于m u r 吸收边界，在计算中只需 要处理边界附近的层或两层网格；而对p m l 吸收边界，需要处理的 网格层数是3 9 个，且层内也需要进行迭代，交叉区域处理复杂。这 些都对计算机的速度和容量提出了较高要求。考虑到需要较高的执行 效率，本文采用m u r 吸收边界条件。 对于f d t d 计算中m u r 吸收边界条件，有以下两点需要特别说明： ( 1 ) 三维一阶m u r 吸收边界条件的f d t d 形式 相对于一阶、二阶近似的吸收边界条件，m u r 引入了一种简单有 效的差分数值算法。利用这种吸收边界条件来截断f d t d 的仿真区域， 其总体反射在1 一5 之间。具体为：根据三维y e e 元胞在图2 - 1 中 电场节点和磁场节点的排布，f d t d 吸收边界界面上只有电场分量的 切向分量和磁场分量的法向分量，于是应用差分计算可得到一阶m u r 武汉理工大学硕士学位论文 吸收边界条件在三维情况的表示形式为： ，“儡) - ，“( 9 - 0 ) + ：c 而a t - 6 【厂“慨)