2024届清华大学强基计划数学学科笔试试题（附答案）

2024届清华大学强基计划数学学科笔试试题1．已知，则________．2．已知，则下列选项中正确的有（）A．B．C．D．3．某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点．已知向左转了100次，则可能向右转了（）次。A．96B．98C．104D．1024．在平面直角坐标系内，，A（2，1），若的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为________．5．已知，．下列选项中正确的有（）A．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立B．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立C．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立D．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立6．已知，，下列选项中正确的有（）．A．B．C．D．7．正整数，且，，满足这样条件的（a，b，c）的组数为（）．A．60B．90C．75D．868．从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有（）．A．进行4次这样的操作回到A的概率为B．进行2次这样的操作回到A的概率为C．进行4次这样的操作回到A的概率为D．进行2次这样的操作回到A的概率为9．圆周上，，…，七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公告点的概率是（）．A．B．C．D．10．，，…是一个1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一个大于（），则满足的排列的总数为________．11．直线l：，p，Q，，下列选项中正确的有（）．A．若，则l与射线PQ相交B．若，则l与射线PQ平行C．若，则l与射线PQ垂直D．若x存在，则Q在l上12．在中，，，P在内部，延长BP交AC于Q，且，则（）．A．B．C．D．13．几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下：张三：甲是第4名；李四：乙不是第2或第4名；王五：丙排在乙前面；刘六：丁是第1名已知只有一个人说假话，下列正确的是（）．A．丙是第1名B．丁是第2名C．乙是第3名D．甲是第4名14．________．15．已知，，使得的解的组数有（）组．16．点集，则由S中的点可组成________个不同的三角形．17．已知，，下列选项中正确的有（）．A．B．C．是等比数列D．18．已知复数，，则n的最小值为________．19．已知一个正四面体边长为，P点满足，考虑，下列说法正确的有（）．A．最小值为B．最大值为C．最小值为D．最大值为20．已知（a，b，），则的最大值、最小值分别为________．21．已知在（0，2）上三个不等实根，则的可能取值为________．22．四面体中，，，，求CA与VB所成弦角的取值范围________．23．已知，下列选项中正确的有（）．A．两根，，且B．两根，则C．任意，函数都有最小值D．任意，使得函数有最大值24．是在[0，1]上的连续函数，设，则（）A．B．C．D．25．双曲线，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，．，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为________．26．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B两点，l过B且与抛物线在A处的切线平行，l交抛物线与另一点D，交y轴于E点，则下列选项中正确的有（）．A．B．C．面积的最小值为16D．27．所有极值点依次为，，…，则________．28．，，有零点，则的最小值为________．试题解析1．【正确答案】，∵∴∴∴∴∴∴∴∴，，或，∴，，或，考虑周期性，只需要检验，，，，，，经检验：，，，都符合，，，不符合，∴，2．【正确答案】ACDa为方程的解，b为方程的解，其中与lnx互为反函数，关于直线对称，函数也关于直线对称，所以点（a，），（b，lnb）关于直线对称∴，∴，∴，但，不能取等号，∴，C选项正确∵，∴，∴，A选项正确，B选项错误，另外，D选项正确3．【正确答案】AC总体的路线形成一个多边形，如果出发点在多边形的边上，左转、右转的次数差一定是4的倍数，如果出发点在多边形的顶点上，左转、右转的次数差一定奇数，因此只有AC有可能．下面两图的路线分别对应右转96次和104次的情形：4．【正确答案】65设M，直线OA的方程为，即设，则，，代入并化简得当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；当时，，，有5个整点；根据对称性，当时，也分别有5个整点．∴共有65个整点．5．【正确答案】BCD若，则正负交替，BD选项正确；若，则存在正整数N，使时，，∴，A选项错误，C选项正确．6．【正确答案】AD，显然单调递增，当时，∴∴∴∴又因为∴，A选项正确∴，C选项错误∵∴∴，B选项错误∵∴∴，D选项错误7．【正确答案】D∵，∴，，成等差数列设，，通分后为，，，其中；则，，，，，∴当k为奇数时，，；当k为偶数时，，，；（1）当k为奇数时，设则①若，则，∴∴，2，3，4，5，6取，，，2，…，16；取，，，2，…，6；取，，，2，3；取，，，2；取，，；取，，m=1；共种②若，则，∴∴，2，3，4，考虑到，从而，2，4取，，，2，3，4，5；取，，，2；取，，；共种③若，则，∴∴，2，3，取，，，2；取，，；取，，；共种④若，则，∴∴，2，取，，；取，，；共2种⑤若，则∴，∴，∴∴，矛盾（2）当k为偶数时，设则①若，则，∴∴，2，3，4，5，6，7，8，考虑到，从而，3，5，7取，，，2，…，16；取，，，2，…，5；取，，，2；取，，共种②若，则，∴∴，2，3，4，5，6，7，考虑到，从而，3，5，7取，，，2，…，6；取，，，2；取，，；取，，共种③若，则，∴∴，2，3，4，5，考虑到，从而，5取，，，2，3；取，，；共种④若，则，∴∴，2，3，4，考虑到，从而，3取，，，2；取，，；共种⑤若，则，∴∴，∴，12取，，；取，，；共2种综上所述，（a，b，c）共有组8．【正确答案】D每次操作有3种不同的路线，2次操作，有种路线，其中有3条可以回到A点，因此进行2次这样的操作回到A点的概率为；4次操作，有种路线，如下图所示，设第n次操作后恰好走到A点的方法数为，由对称性可知第n次操作后恰好走到B，C，D三点的方法数相同，设为，恰好走到E，F，G三点的方法数也相同，设为，设第n次操作后恰好走到H点的方法数为，则，，由此算出，∴，∴进行4次这样的操作回到A点的概率为，AC选项都错．9．【正确答案】共条线段，选出两条有种方法，任意四个点对应两组不相交的线段，有组，因此，任选两条线段，它们无公共点的概率为．10．【正确答案】若，考虑（），必有可知从第i项开始，数列开始递增；再考虑前面的项，若，说明此情况下数列在第1项到第i项递减．若，则将原来的i改为同理考虑即可．由以上分析可知，该数列只有三种情况，单调递减，单调递增，先减后增故排列总数为．11．【正确答案】ABC．可理解为P，Q两点到直线距离之比；说明两点在直线同侧，说明两点在直线异侧，故可知ABC正确．12．【正确答案】D．如下图由题可知AP为平分线，故；；于是化简可得，于是或（舍）故13．【正确答案】ABCD分类讨论即可若张三说假话，则丁第1名，因为乙不是第2或第4名，于是乙只能是第3名，又因为丙排在乙前面，于是丙只能为第2名，推出甲为第4名，与张三说假话矛盾！若李四说假话，则丁第1名，甲第4名，因为丙排在乙前面，故丙第2名，乙第3名，与李四说假话矛盾！若王五说假话，则丁第1名，甲第4名，因为乙不是第2或第4名，所以故丙第3名，乙第2名，这与王五说假话矛盾！若刘六说假话，则甲第4名，结合乙不是第2或第4名与丙排在乙前面可知乙只能为第3名，故丙为第1或2名，但丁不为第1名，故丙第1名，丁第2名综上，选ABCD．14．【正确答案】这是一个强基考烂了的裂项于是于是．15．【正确答案】18由条件整除而，故下面分三种情况讨论：情形一：；这时，矛盾；情形二：，这时a，b应具有，，k是正整数的形式，显然满足条件；情形三：，这时由，则，进而或2，当时，则条件为正整数，57能被整除，可知或57，进而可知或49，解得或（49，1）；当时，由（）为正整数，可知，此时，矛盾；综上，所有解为，（49，1）或（k是正整数）再结合，可知型的数有16组故一共有18组．16．【正确答案】1056总共有种，如图三点共线（红色）有8组四点共线有9组（图中蓝色加上5条竖线）五点共线有4组于是一共能组成．17．【正确答案】ABD由题可知，利用不动点方法求得，，于是可求得．故，于是单调递增且有极限，故．18．【正确答案】3不妨设由题可知①，可知满足条件即n最小值为3（验证可知小于3不满足）．②，验证可知满足（验证可知小于3不满足）．综上可知．19．【正确答案】BC设AB中点为M，则由，知，且．设和的夹角为θ，有所以最大值为，最小值为．选BC．20．【正确答案】无最大值，最小值为2显然没有最大值．若a，b，c中没有0，则由均值有．同理可得，．有．若a，b，c中有0，则至多有一个0，不妨设，此时所求．综上，最小值为2，当，时取等．21．【正确答案】区间（，0）上的所有实数设则，设，，，则，∴，∴∴22．【正确答案】如图，取P，Q分别为VC，AB的中点．由中线长公式可知．在中，，当A，B重合时取等．过B作于H，设，则，即，得．所以．当A，B，V，C共面时取等．取BC中点M，则，，所以所求的角即为，于是由知，于是．23．【正确答案】BC，在区间（，2）上，，单调递增，在区间（2，）上，，单调递减，，，，∴的大致图象如下图所示：∴有两根，则，B选项正确，并不是关于直线对称，因此A选项错误．从图象可以判断，C选项错正确，D选项错误．24．【正确答案】A取，则有恒等于1，则CD选项错误．取，则，，则B选项错误．由绝对值不等式，，A正确．25．【正确答案】由垂径定理，，结合，知．所以，进