（应用数学专业论文）具有随机扰动的食饵捕食者系统及其参数的极大似然估计.pdf

摘要 经过一个世纪的发展，生物数学模型的研究得到了广泛的应用在二十一世纪，有 关生物数学的研究显得越发重要，生物数学与其他学科的交叉领域将成为主要的研究对 象与确定性生物数学模型相比较，在现实生活中种群生态系统经常会遇到环境白噪声 的干扰，运用随机微分方程理论研究环境白噪声的存在是否影响种群生态系统所研究取 得的原有结果已受到广泛的关注此外，随着随机微分方程在生物数学等应用学科中的 广泛应用，利用统计学方法研究随机微分方程中的参数估计问题已成为一个非常重要的 课题 本文讨论了具有随机扰动的两种群l o t h v o i t e r r a 食饵，捕食者系统 f 出1 ( t ) 。石l ( 。) m 一z 1 ( t ) 一蛐z 2 ( ) ) 出十口l d b l ( 吼 1d z 2 ( t ) = z 2 ( ) ( 一r 2 + 2 l z l ( t ) 一n 2 2 2 2 ( t ) ) d + 盯2 d b 2 ( t ) 】 其中n ，啦。以 o ，( i ，j = 1 ，2 ) ，毋l ( t ) 和岛( t ) 是相互独立的标准布朗运动本文给出 了随机微分方程存在唯一正解，且解在有限时间内不爆破此外，我们还研究了解的持 久性和均值意义下的全局渐近稳定性 在实际应用中，随机l o t k a - v o l t e r r a 系统中的增长率，死亡率及白噪声的强度等参数 一般是未知的利用统计学方法研究有限离散观测数据对随机生物数学模型中的参数进 行估计已成为一个新的研究课题本文在最后一节给出了系统参数的极大似然估计 本文由两章构成第一章简述了问题产生的历史背景，本文的主要工作以及本文中 主要定理证明所使用的工具在第二章中，首先利用m a 0 【1 l 】研究方程( 1 1 2 ) 正解的存在 唯一性，它是后面研究的基础；进一步，研究了解在r 车中是如何变化的并给出了方程的 解位于两个随机微分方程的正解之间其次，通过变量代换，构造l y a p u n o v 函数，由半 鞅收敛定理得到解的随机持久性，并且进一步具体给出了解的范围；接着，研究了解的 渐近稳定性，指出在均值意义下趋于某一值；最后，由于模型中的参数一般是未知的， 鉴于此给出了参数。玎，以和n ( i ，j = 1 ，2 ) 的极大似然估计，并给出了模拟，表明估计值 与真实值比较符合 关键词：布朗运动，伊藤公式，随机扰动的l o t k a - v o l t e ”a 食饵一捕食者系统，存在性 唯一性，持久性，全局渐近稳定性，极大似然估计 a b s t r a c t t h er e 8 e a r c ho fm a t h e h l a i c a lb i o l o g ym o d e lh a 8g 。t h ee x e e n s i v ea p p l i c a t i o nt h r o u g h t h ed e v e i o p i n e n to fae e n t u r 弘t h es t u d ya b o u tm a t h e m a t i c a lb i o l o g yb e c o m em o r ea n d m o r ei m p o r t a n ti nt h e2 1 t hc e n t u r y t h ei n t e r s e c t a n td o m a i nw i ub er e s e a r c h e dm a i n l y b 贰w e 髓m a 毛h e m a 毫i e 越b i o l o g ya n do t h e rs 硅b j e e t s ，g o m p a r e dw i t h 疆ed e 毛e r m i n a t em a t h e m a t i c a lb i o l o g ym o d e l ，s p e c i e se c o l o g y8 y 8 t e m sa r eo f t e ns u b j e c tt oe n v i r o n m e n t a ln o i s e 1 t 拯i m p o r 髓tt od i 8 e o v e rw 囊e 疆e r 强ep e s e 矬e 耩s 珏囊n o i s e 鑫| 灸e 据法e s er e s 乜i 据t h a tw e h 舯eo b t a i n e db ya p p l y i n gt h es t o c h a s t i cd i 肫r e n t i a le q u a t i o n m o r e o v e r ，t h ee s t i m a “n g o ft h ep a r a m e t e r sb ya p p l y i n gs t a t i s t i c a lf n e t h o d sw i l lb e c o f n ea 建i 琳p o r t 巍n td i s s e 毽s s i o 珏 w i t ha p p l y i n gs t o c h a 8 t i cd i 疗e r e n t i a le q u a t i o ne x t e n s i v e l yi nt h em a t h e m a t i c a lb i 0 1 0 9 y t h i sp a p e rd i 8 c u s s e sar a n d o m i z e d2 一s p e c i e sl o t k a v b l t e r r am t l t u a n s l l ls y s t e m w h e r er l 岛“，盯 o ( i ，j 粼l ，2 ) ，a m d 最( t ) a r ei n d e p e n d e n t8 t a n d a r db r o w n i a nr n o t i o n s ： i 然l ，2 w 毫s l o w 魄a 乇斑ep o s 拖i v es o 毡沁娃t h e 躺8 0 c i a 乞e ds t o c h a 8 t i cd i 簌宅r e n t i a le q u a _ t i o nd o e sn o te x p l o d et oi n f i n i t yi na6 n i t et i m e i na d d i t i o n ，t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ， p 辐i s 专e 珏e ea 珏dg l o b 蠢8 s y m 菸。t i e8 t 曲i 嚣锣濂m e 糕醴t h ep o s i t i v e8 0 l 毪t i o n s 疆t h es y s t e m a z es t u d i e d i 珏g e n e r 8 王，t h e 寥o w 饿r a 乇e ，如城hr a t e 氇n dt h es 毛r e 珏g 魄o fw h i 拖鞋。强e 强魄e 帮s t e m a r eu n k n o w n m a k i n gu s eo fs t a t i s t i c sm e t h o dt oe 8 t i m a t et h ep a r a m e t e r si nb i 0 1 0 廖y i c a l m o d e l sh a 8b e c o m ean e wr e s e a r c ht o p 主c ti nt b e 】a s ts e c t i o nw eg i v et h em l eo ft h e p a r m e t e r si ns y s t e m t h i sp a p e ri s m p o s e do ft v 吣p a 芷t s i nt h en r s tc h a p t e r ，w ei r 心r o d u c et h eh i s 乞o r i c a l b a c k g r o u 珏do ft 圭l e 爹晤o b l e m sw 圭l i e hw i l lb ei 秘v e s t i g a t e da n dt 董l em a i 散r e s u l t 8o f h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，i ns e c t i o n2 1 ，t h ee x i 8 t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s 8o f p o s i t i v es o l u t i o n s t 8e 辨武i 麟( 1 。l + 2 ) 瓣es 珏d i e dw h i 馥量s 建韩d a m e n 越羲) rt h es 毛王b 键毽e 嫩硅e v e o p 芏珏e 纛t s 。i n s e c t i o n2 2 ，w es h o wt h a tt h es o l u t i o n so fe q ( 1 1 2 ) w i l lr e m a i ni nt h ep o s i t i v ec o n e 置至。 t h i sn i c ep o s i t i v ep r o p e r t yp r o v i d e su sw i t hag r e a to p p 。r t 艟n i t yt od i s e u 8 sh o w t h e8 0 l u t i o n 8v a r yi n 兄至i nm o r ed e t a i i i nt h i ss e c t i o nw 电w i l ls h o vt h a tt h es 0 1 u t i o no f e q ( 1 1 2 ) i sb e t w e e n t h e p o s i t i v es 0 1 u t i o n s o f t 、d i 艳r e n ts t o c h a s t i c d i 珏色r e n “a le q u a t i o n s 。 珏s e e t 沁n2 3 ，w es t u d yt h ep e r s i s t e 强e o ft h es o l u t i o n ，a n dw eg i v ei t sb o u n d e d n e 8 s i n s e c t i o n2 4 ，w eg i v eg l o b a la 8 y m p t o t i cs t a b i l i t yi nm e a no ft h ep o s i t i v es o l u t i o n s a tl a s t ， l l 明翰 吲 鹧 m 盯 + h 如 澎琊 现 洚 q 聪 癣 孤 鼍 q 8 帆 吖 h 琶 心固 地m 如 缟 ，lj、llt s i n c et h ep a r a m e t e r sa r eu s u a l l yu n k n o w n ，s ow eg i v et h em l e so fp a r a m e t e r s s i m u l a t i o n r e s u l t ss h o wt h a tt h ep e r f o r m a n c eo fm l e si sf i tw e l l k e y w o r d s ：b r o w n i a nm o t i o n ；r a n d o m i z e dl o t k a - v o l t e r r ap r e d a t o r p r e ys y s t e m e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s ； p e r s j s t e n c e ； g l o b a l8 t a b i l i t y ； m l e s i i i 独创性声明 本人声髑所呈交的学位论文是本人在导师指导f 进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含冀他人己缀发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 灞遵静材辩。与我一嗣工 筝豹同志对率研究所傲的镁何贡献均已 在论文中作了明确的说明并袭示谢意。 学位论文作者签名：主缝! 堇 日期：迎6 ：! 堕 学位论文蔽校使用授粳书 本学位论文作者窕全了解东北师范大学蠢关保留、使用学位 论文的规定，鼯：东l e 耀范大学有税保密并翔国家有关部f j 域机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被套阅和借阅。本人 授投系j 辉簸大学可疆将学位论文赘全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印溅其它炱制手段保存、汇编 学位谂文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：二i ：i 查焦指导教师签名： 毛逸i 巍 爨 麓：望，薹签翅襄：凝! i 。受丛 学位论文作者毕业后去向； 工作单位： 湔讯地娥： 电话： 由口编： 第一章引言 1 1 问题产生的历史背景 常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用是众所周知的，然而随 着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精确因此，随机因素的影响就不能 轻易的被忽略，于是对某些实际过程的分析也就是有必要从通常的确定性观点转到随机 观点，从而对这些实际系统地描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机微分方 程随机微分方程的研究是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速发展起来 的。文献f l 卜 7 】系统地介绍丁髓机微分方程的基本知识很多年来，随机微分方程广泛 应用于研究生物数学模型，跟确定性生物数学模型相比较，对随机生物数学模型的研究 虽然有二十多年的历史，得到了一些好的结果，然而这方面的结果还是很少( 参见文献 【8 】一【1 5 1 ) 许多文献研究了具有随机扰动的o 女a y “钯r r 。食饵捕食者模型，例如a r n o i d f o r s 亡h e m k e 和s t u 出if 8 ，k h 孵m j n s 蚓rz 和k l e b a j l e rf c f 9 j 以及m a 0f l o j k h a s m i n s k 】1 rz 和k k b a n e rf c 9 】揭示了具有小的随机扰动的l 0 亡k a y 。f 亡e r r n 食饵捕食者系统 在s t r a t 。n o v i c h 意义下解的长久性质文中，用下面的方程描述了食饵捕食者系统： a td t = = ；= 2 ( n 妇) ，口= = 导= ( 一c + ，口j ( o o ，o ，。，b ，c ， o ) ，( ) 其中z = z ( t ) 表示食饵的密度，= ( t ) 表示捕食者的密度，系数。，b ，c ，是正的常数 模型假设食饵在投有被捕食者时的出生率n o ，而捕食者在没有食饵时死亡率c o 惨 见，m b y 1 6 】系统的初始值( z ( o ) ，o ( o ) ) 是正值易知系统( 4 ) 的解曲线在qg 平面是封 闭的解曲线，用首次积分表示为： r ( 马掣) =，g c c l o g ( 1 + 上警兰) + 6 可一n o l o g ( 1 十丑铲) =c o n s t o n t = r 于是对任意的t o ，r ( 。( t ) ，f ( t ) ) = r ( 。( o ) ，v ( o ) ) ，此外r ( z ，f ) 2o 当且仅当z + = ；，= ； 系统( + ) 有两个不动点( o ，o ) 和( z + ，9 4 ) = ( ；，；) ，且在正半平面后一个平衡点是稳定的 考虑食饵的出生率n 和捕食者的死亡率c 分别受强度为，一 和s 2 。i 的两个独立的白噪 声的随机扰动忙 o 是一小参数) ，则( * ) 变为： 声的随机扰动( o 是一小参数) ，则( + ) 变为： ( o o ，甘o a ，b ，c ， o 肛 一 十 口 归 盯 十 脚 h = o 膏 r ，ijfl、 用s t r a t o n o v i c l l 形式可表示为： 重酽= x 8 弘) 弘一6 y 5 ( t ) ) 疵十a l x 。( t ) 。d 曰l ( t ) ， 【矗y 8 ( # ) = y 8 ( t ) ( 一c + ，x ( 站) 出+ e 盯2 y 8 ( ) 。d 魄( 站， i 撼中口l ( ) 和岛( t ) 是独立的布朗运动文中还指出这个随机模型( ”) 适合于初始人口数 黧较廖鲍憾援，藤；舞始入疆较大拜孛不再遥合，虽然越时人疆不灭绝，僵爨数量永逮呈增 长趋势经典的确定型三o 托一矿“t e r r o 模穗用概率的方法得到了新结论，指出当捕食者 和食饵的数量很大时，他们只能_ ；咚存很簸的时期，丽大部分时期彳也f f 中一个的数摄指数 小， 一般形式的食饵一捕食者系统； f痂l ( ) ：= 茹1 ( t ) ( r l n 1 1 2 1 ( t ) 一g 1 2 2 ( 砷) ， ( 1 1 1 ) l 毒2 ) = 嚣2 ( ) ( 一钝+ 8 2 l 茹l ( # ) 一癌2 2 茹2 ( ) ) ， 其中z l ( ) o 是食饵的密度，9 2 ( t ) o 是捕食者的密度，系数心，o “( i ，j = 1 ，2 ) 都是正 黪窘数。设z ) = ( 。l t ) ，。2 ) ；t 蔻方程( 1 。1 1 ) 懿辩，吴舂麓始篷g o ) = ( $ l ( 8 ) ，。2 ( 嘲丁若 且是向量，以7 表示它的转置) 本文考虑新食饵捕食者的出生率n 和捕食者的梦e 亡率c 分别受强发为s 2 ， 秘2 透的秀个独立自噪声的隧枧拢动瓣譬 o 是一小参数) ，测莓擘到 伊藤随机微分方秘； l如l 秘) 燃嚣t 醇 ( r l 一珏l l 冀 ) 一# 1 2 茹2 笱) 战+ 玎l 蘸器l 螃l ， 【d 嚣2 ( t ) = 9 2 ( t ) ( 一r 2 + 。2 1 搿1 0 ) 一批2 2 茁2 ( t ) ) d t + 仃2 d 职2 ( t ) 】， ( 1 1 2 ) 这里z ( t ) 一( 。l ，茹2 ( 印) t 其有初缎z ( o ) = ( z 1 ( o ) ，髫2 ( o ) ) 7 艇方程( 1 1 2 ) 的解，n ，o 灯是 正的常数，b l 朔b 2 ( t ) 是定义程完备概率空间( q ， 五) e o ，p ) 上的两个独立的标 准帮朗运渤，流 咒 t ，o 满足通常条箨，鄂递：噌右连续虽焉包含所有静p - 零灏繁 对任意给定的初值，随机微分方程存在唯一的垒局解( 即有限时间不爆破) ；此时，通常 簧求方程静系数瀵蹩线牲璞长条黪秘是酃毛 p s 商i g 条终参受a r 黼l d 滔秘i e d m 糖冯) 。 然而方程( 1 1 2 ) 的系数只满足局部l i p s c h i t z 条件但不满足线性增长条件，因而方程( 1 1 2 ) 的鳃有可熊在有暇时闽蠹产生爆破。最近，m ”等人在文黻f l l l 审揭示了垮境自噪声可 以抑制潜柱的入甜爆破这一重要粤实这使得研究自噪声对食诲一捕食者模型会有怎样 的影响变褥非常有意义本文将给出方程( 1 1 2 ) 存在唯一的全局躲，且解在有限时间不 瀑渡。魏矜，还给瘫了解酶倍诤。然焉，农入西袭力系统中，仅蠢解静存在唯一谯还不 够，更希臻得到解的持久性和全局渐近稳您性，因为这意眯着种群长期共存本文将给 爨在一定条绎。f 薅楚潦久黪，曼在垮篷意义下全爨激近稳定。 文中给出，系统( 1 ，1 2 ) 在正部r 车= ( r 2 ，执 o ，江l ，2 ) 存在解进一步，若满 足 。跨糍 等，蛐蚴 咖 粼麓苏瓣搴l 掺久，藏农缘簸惑义下熬鼍：矿一。 ，。，蕤申 。沁型娶圃! ! 也主趟， 4 8 l l 铆2 十8 1 2 砚l 。：。黧! f ：! 二i 曼i ! 二! ! i i 翟主i 鏖! 辞l l 球2 2 + 8 1 2 癌2 l 农燕器疲藤中，薅掇l 。t 孙v o l 材r a 系统审貔增长豢，死亡枣及囊猱声貔强度等参数 一般麓来辩懿，融瞧鼹阪大镁然馋诗方法褥醚了参数。，馥秘毪( 1 ，j l ，2 ) 粒臻嚣( 参 怒【l 鞣【搪巍劳绘窭了援狻，凌骥绩诗壤与真安爨毙较符合， l ，2 奎受z 佟 零文鏊纛疆究嚣擎参器酗t 耘a v o 魏e r r & 食绥一虢食者系绫受蠢曝声挠渤露是露蒸纛凑建 经系绫瓣一黧魏藤巍鼹部移纛漆一豫定褒，褥翻系绞 ld 嚣l 砖= l 蛰f ( r l 嚣l l 岔l ( ) 一8 1 2 。2 ( o ) ) 斑+ 秽l 蓐嚣l ( ) l ， 【妇2 ( ) 嚣茹2 0 ) 强一r 2 + 如2 l 露l 移一吐船茹2 8 ) ) 瘦+ 玎2 芷8 2 麓， 强i ，2 窍在筠郝解，然嚣秘攥类钕溅。鲞鞋l 鹣方法 奄逡y 婶馘驰羲数涯鹱了方摇( 1 + 1 2 ) 戆熬燕 众羼襻霞瓣，避一步磷究鳃纛趱中怒魏偿交织熊，给穗了方糕f l 。1 2 ) 戆麓像予躜个爨 褫黢方程戆缀黪之瓣接饕避遘交爨我凑，转逑毛粥p u v 瓣数，嚣惫溪l 。3 ? 孽饕囊了翳 戆薅缀撩久羧，邃霹予个囊躲系统怒嚣鬻鸯慧义黪，势菇避一疹绩诗了薅瓣器德惫镶 系绫( 1 。l + 1 ) 农一定条镑下毒京念鼹稳定瓣乎燕点，本文瞧褥究了黪懿濒透稳定魏，搭到 鬃程麓纛意义下憝予一纛，与璇定髓系缓戆带鬻患跑较蠢一令灏移，送楚嚣鬻会理豹 娥瑶，零文绘蹴了襄缀参数瓣缀丈镁熬旗诗，势绘感壤羧，可以纛建 爨实德与镑诗蕊稳 会褥较好 瓯3 预姑知谖 设( q ， 五 煳，固是完餐豹穰搴察惩，必蠢液 氕渤滚蹩逶豢条穆，帮荤诵遽壤 蠢逡缀，疑焉镪金积纛秘零溜祭+ 浚嚣 2 ) 一嚣l 固，器。渤) 下，t # 爨定义纛这拿糍 率空阏上搬终椽准鸯麓逶韵设粕楚 菇 霹涎鹣稳豹薅飘亵璧瀵怒露f * 誉 。+ 设 夕：起+ 。露g ：x 露十啼“”都是器o r e l 霹溅瓣考虑伊耱形式戆g 缨逡壤微 分方糕 菇嵇) 一，茹( 螃，缸酪+ 9 ( 嚣螃，) 姻棼，os 。， 1 3 。1 ) 疑鸯秘壤若( o ) 一。o 。这令方程簿徐予燕下熬薅钒辍努方撩： 以，e 茹嵇) 蒜鞠+ f 歹 茹和；，s ) d s + f 寥( 茗0 ) ，s ；建器s ) ，osl o f l + 3 2 ) ，#j u 3 质 定义l ，3 1 盼1 趣称簸黪蘧撬避程 。( t ) e t o ，使得 l ，( 。，t ) ivj 9 ( 茹，t ) isc ( 1 + i 茹1 ) ，v ( 嚣，r ，r + 则具有视媲条件( o ) = 现彤的随枧微分方程 d 茁( t ) = ，( z ( t ) ，t ) d t + 9 ( 搿( t ) ，t ) d 茸( t ) ， 移在唯一述续懿垒届解z ( ) 8 鹣。) ) ，瑟艇，怼予每令p o ，有 届 s u pl ( s z o ) p 】 o 辑= l ，2 ，) ，葭襻蚀，暂舻置 吲v 有不等式 i 歹f 茹，幻一，( 弘母| v 玲f ，幻一事弘t ) 始| 。一暑 4 成立则具有初始条件z ( o ) = z o _ r “的随机微分方程 如( t ) = ，( z ( ) ，t ) d t + 9 ( z ( t ) ，) d b ( t ) 存在唯一连续的局部解z ( t ) ( t o ，) ) ，是爆破时间 定理1 3 3 吼伊藤公式) 设。( t ) 0 o ) 是方程( 1 3 1 ) 的解，y g 2 ，1 ( 珥；r ) 则 v ( 。( t ) ，t ) 仍是一伊藤过程，具有随机微分： d y ( z ( t ) ，) = k ( z ( ) ，t ) + k 如( t ) ，t ) ，( t ) + r n c e ( 9 t ( t ) k 。( z ( t ) ，t ) 9 ( t ) ) d t + k ( z ( t ) ，t ) 9 ( t ) d 日( t ) n 此式称为伊藤公式 定理1 3 4 叫h 6 l d e r 不等式) 设f ，1 是概率空间( n ，芦，p ) 上的可测函数，实数n 口满 足1 p ，g o 。和l p 十1 g = 1 ，则 e 峰q l ( e 1 p l f 尸) ( e 1 ，叮i r ) ( 1 3 4 ) 如果e ， o 对任意给定的 初值( 0 ) = 0 0 ，方程( 1 3 5 ) 存在唯一的全局连续解v ( t ) ，有表达式： 删= 而蒜羔纛， 定理1 3 7 【7 】设a ( ) 和u ( t ) ( 亡o ) 是两连续的五适应的递增过程，且a ( o ) = u ( o ) = oa s ；m ( t ) 是一实值连续的局部鞅，且m ( o ) = oa s ；是一非负的蜀可测随机变量， 且联 。定义： r ( t ) = + a 0 ) 一u ( t ) + m ( t )0 o ) 5 若x ( t ) 非负，则 觐且 。 c 溉x ( t ) o 。 n t 堍秽渤 。) 8 8 其中b c 势8 s i 是密p 嚣n d ) = o 特别地，若又有 出怒a ( t ) 。) a 1 8 ，则对几乎所有的u n 有 怒x t ，“) 。，蕊f 绶u ) 。， 一。 恕耐( 。，稚) o ，o 玎 o ( i ，j = 1 ，2 ) ，则方程( 1 1 2 ) 存在唯一的正解。( t ) 避 证明：显然，系统( 1 1 2 ) 的系数是局部l i p s c h i t z 连续的，则对任意给定的初值z o 避， 方程存在唯一的局部解。( t ) ，t 【0 ，) ，其中是爆破时间( 参见a r n o l d ，1 9 7 2 或i e d m a n ， 1 9 7 6 ) 那么要证明这个解是全局存在的，只需证明= o oa s 设 o 足够大使得 z 1 ( o ) 和z 2 ( o ) 均落在区间【击，0 】中对，定义停时 1 7 k = i n f t o ，t ；) ：j i l ，2 ) ，z ；( ) 隹( 圭，詹) ) ， n 特别地，令i n f 0 = o o ( o 表示空集) 显然，当- o 。时，亿单调递增令= l i 。o 。， 则a - s 于是，若能证明= 。a s ，那么= o 。a s ，也就有。( ) 艘换句 话说，此定理证明的归结为证明= 。a s 如若不然，则存在常数t o 和e ( o ，1 ) 使得 p 丁s t ) 又由的定义知存在整数女1 女o ，当女1 时 p t ( 2 1 1 ) 定义g 2 函数y ：只茔- r + 显然当 o 时 y ( z ) = n 2 l ( z 1 1 一l o g 茁1 ) + n 1 2 ( 霉2 1 一l o g z 2 ) u 一1 一l o g “0 7 崮憩即可翔函数y ( 。) 是嚣受载凌伊藤公式霹每霉 d y ( 口( t ) ) 桊0 2 1 ( 1 一茹f 1 ) 茁1 f ( r l 一口1 1 茹1 一0 1 2 搿2 ) d t + 玎l d b l ( t ) 】十 口2 1 d d t + n 1 2 ( 1 茹i 1 ) 蒜2 【f 一您。2 l 茁l 一龅2 芏2 知酪+ c r 2 童8 2 ( 茚】+ 8 1 2 f 出 = 【( ；0 2 l 盯 + ；a 1 2 西一n n 2 l + r 2 0 1 2 ) + ( n n 2 l + n 1 1 口2 l 0 1 2 。2 1 ) 茁1 + ( 一7 王2 + 。1 2 堪2 l + n 1 2 g 2 2 ) 善2 一。l l 吐2 l 嚣! 一n 1 2 8 2 2 茹拳d t 十盯l 口2 l ( 茁l 一1 ) d 廖l ( t ) + 仃j 0 1 2 ( 尘2 1 ) d 嚣2 ( t ) ：f 0 ) d t + 寸1 0 2 l ( 嚣l 1 ) 吐8 l ( ) 十啦n t 2 ( 0 2 一1 ) 吐8 2 ( 亡) 显然可觅f ( $ ) 有上界，设为耳 o 于是有 d y f $ 1 ) ) 拦积+ 嚷铆】( 。lf t ) 一1 ) d b lf $ ) + 砚趣( f t ) 一1 ) 基磁( 臻 将上式两端从。到 t 积分得： ( 孵d 矿) f 椰黜+ 榔刚2 1 ) 一l 硒( d + 啦蔽蜊一1 ) d 勒( 强 j 0 j 00 + 、 龄于。擘 ) 聩，对上式两端取勰望缛 廖y 0 ( t ) ) y ( 卫o ) ) 十e ( 张 ? ) y ( 茹o ) + 脬t ( 2 1 2 ) 港墨疆及下西，“蟊f ，) ”表示，瓣数学期鎏，) 令= t ) 似h ) ，则( 2 i 1 ) 式可写成，p ( 吼) ，对每个u ，由停时的定 义知。l 瓯。) 秘。2 女，u ；孛楚步毒个潢足：逝溆，# ) = 液 ) ，扶薅y 魄，。) ) 零小予 m i n 0 2 1 ( 一1 1 0 9 ) ) ，口1 2 一1 l o g ( 女) ) ， ( ；一t l o g ( b 靴( ；一t 岫s 枷 子遐从( 2 1 2 ) 式又有 1 ，扛( o ) ) + f 冒f l 辄( 0 ) y 忙( ，u ) ) 】 芝l 廷i 鞋 8 2 l 是l l o g ( 露) ) ，8 1 2 ( 凳一l l 。g 是) ， 蚴( ；一t 一- 0 9 ( ；) ，。以；一，一，。s ( ；) ) ) 其中1 m 表示n 的特征蛹数令- + o o 有 o 。 扩( 2 。+ x ? = 。，矛j 嚣。 因此= 。oa s 定理2 i 1 证毕 注2 1 1 定理2 1 1 表明当没有随机扰动的两种群的食饵捕食者系统( 1 1 1 ) 存在唯 一的全局磁鼹时，不管白噪声的强度以0 一l ，2 ) 有多大，舆有随机扰动的食饵一捕食者 系统( 1 1 2 ) 也存在唯一的众局正解 8 2 2 解的估计 定理2 11 指出方程( 1 1 2 ) 的解位于r 车中，下面进一步研究解在r 中是如何变化 的在本节给出了方程( 1 1 2 ) 的解位于两个随机微分方程的正解之间 定理2 2 1 设( ) 聩是方程( 1 1 2 ) 以z ( o ) 磷为初值的解，则( t ) 具有如下性质 其中哦( t ) 和。( t ) 0 = 1 ，2 ) 分别是如下随机微分方程的解： d 西l ( t ) = 圣l ( ) f ( r i a 1 1 圣l ( t ) ) d z + 盯1 d b l ( t ) ，西l ( o ) = 。1 ( o ) ； d 圣2 0 ) = 圣2 ( t ) 【( 一r 2 + 2 l 圣l o ) 一口2 2 圣2 ( t ) ) d t 十盯2 d b 2 ( t ) 】，垂2 ( o ) = z 2 ( o ) ； d 庐1 ( ) = i ( ) f ( r 1 一n 1 2 垂2 ( t ) 一口工l l ( ) ) d + 盯i d b i ( f ) ，1 ( o ) = z 1 ( o ) ； d 2 ( t ) = 2 ( t ) 【( 一r 2 一n 2 2 2 ( t ) ) d + 盯2 d b 2 ( t ) 】，咖2 ( o ) = 。2 ( o ) 注22 1 由定理1 3 6 显然可得， 垂_ l ( 小“知卜m 毋( c ) 【高+ 小l e ( 7 t 一瓤侧悯； 町) ：= e 孙卜删旷c 州洲5 【赤+ 0 2 z 1 一孰硎s ) - 一胁 珊卜e ( 知) t - 硎叶0 1 2 肭啪5 赤怕。胪”籼唰卅一片蚓州 ； 矾叭“孙酬【赤+ 小z e ( _ 一籼唰s ) d s 证明：由定理2 1 1 可知，方程( 1 1 。2 ) 的解叫d 是唯一存在的令州) 2 者，则有 由“= 一茜如“砷+ 茜( 如“) 2 2 一高_ 0 1 l 。1 ( ) 一0 1 2 2 2 ( ) ) 出+ j l 岫( t ) + 鑫出 一【( 南一o - - 一。鬻础+ 南扭m ) 】+ 蔫出 2 _ n ) 州讣+ 0 1 2 裂础咱州州剐t ) 酬归；r 1 ) 毗一l 姻m ) 眦) 小1 1 + 0 1 2 器) 扼 ( 2 驯 从而线性随机微分方程( 2 2 1 ) 的解为： 州归e e ( 知岫1 拈小) 赤+ 胁，怕。瑞) e 胎1 一籼佃帅) d s 】( 2 2 2 ) 由上式可得 掣1 ( t ) 旺 = ： 圣f 1 ( t ) 又由定理1 3 6 ，可知垂1 ( ) o o ) 是方程 d 垂1 0 ) = 西1 ( t ) 【( r l 一。1 1 垂l ) ) d z + 盯l d b l ( t ) 唯一连续的全局正解所以， g l ( t ) 垂l ( ) 相同地，令2 ( t ) = i 南，由伊藤公式得 于是有 ( 2 2 3 ) ( 22 4 ) 蚓归；托) 出咱d 踟) 脚) 小。咱l 搿) 批 ( 2 2 5 ) = ：虼1 ( t ) 类似可知2 ( t ) 是方程 如。咱- 器) e ( 一一籼删】 f 。蚴e ( - r 2 一譬) m 。蹦s ) d 硝 ( 2 2 6 d 2 0 ) = 妒2 ( t ) 【( 一r 2 一n 2 2 毋2 ( t ) ) d t + 。 d 现( ) 】 唯一连续的全局正解所以 茁2 ( t ) 庐2 ( t ) 将西l ( t ) 代入( 2 2 5 ) 式，考虑如下方程 d 雪2 ( t ) = ( 砖+ r 2 ) d z 一仃2 d b 2 ( t ) 】雪2 ( t ) + ( 0 2 2 一0 2 l 中l ( t ) 雷2 ( t ) ) d t ( 2 2 7 ) 即， d 雪2 ( t ) = 【( 口；+ r 2 一0 2 l 西l ( t ) ) d t 一盯2 d b 2 ( t ) 】仍( t ) + n 2 2 d 从而有 酬一2 晰胁冲 赤托zp ”孙2 剐矿胁s = ： 由i 1 ( t ) 易见，f 2 ( t ) 口2 ( t ) ，即有 z 2 ( t ) 兰西2 ( t ) 如 舢 善捌 扣巩酬雾 哪 + + 赤赤 吖 叶 丘。蟹。 = 一 + 十 赤去 b 日 n n 靠于立。 | | 一 综合( 2 2 7 ) 可得 咖2 ( t ) z 2 西2 ( ) 将圣2 ( ) 代入( 2 2 1 ) 式，考虑如下方程 d 雪1 ( f ) = ( d 一r 1 ) d t 一盯1 d b l ( 亡) 】雪1 ( ) + ( 1 l + 口1 2 雪2 ( t ) 雪1 ( t ) ) d t 从而有 雪1 ( f ) 搴) m - b ，( s ) 佃z 片m z ( r ) 打d s l 于是有。1 ( t ) 咖l ( t ) 综合( 2 2 4 ) 就有 妒l ( t ) z 1 ( t ) 圣1 ( t ) 同样的方法可证得西2 ( t ) ，l ( ) 和妒2 ( t ) 是相对应的随机微分方程唯一连续的正解 定理2 2 1 证毕 2 3 持久性 在人口动力系统中，持久性的意思是每一个生物种群不会灭绝，这对于研究生态平 衡是非常重要的自然地，在随机人口动力系统中，是指种群以概率l 不灭绝为更精 确的表述，给出如下定义 定义2 3 1 任意给定的初值z o 避，称随机微分方程( 1 1 2 ) 以概率1 持久，是指方程 的解。( t ) 具有如下的性质： 0 等，n t - n z z 。，。n z 时，方程的解以概率 l 持久 嚣篡= ：羞篡 仁。， 设( 。：，z ；) 是方程 i7 1 一；i 2 一n 1 1 1 一n 1 2 2 2 = 。 ( 2 3 2 ) l r 。一；霞+ 。：，z 。一。：。z ：。 “。 ，厶高 如 屯 c 1 0 罅即 | l 爿 的解，即 甜；：型：! = 迪堕! ! 趟， 8 l l 也2 2 + 锨2 矗2 l 。知型：! = 逮) 二型塑l 堕 。 n i l n 2 2 + n 1 2 0 2 1 予怒方程( 2 + 3 可敬写为 ld 1 0 9 l ( t ) 】= 一a l l ( 。1 ( ) 卫：) 一0 1 2 ( 岱2 ( 亡) 一$ ；) 】d + 盯l d b l 0 ) ， ( 2 + 3 1 + ) ig l o g # 2 ) 】一i 8 2 i ( 。f ) 。；) 一8 2 2 。2 弘) 一g ；j 兹+ 。t 瀚2 9 ) 宠淫囊3 l 假设方程( 1 1 1 2 ) 的系数满怒2 r t 一 ，芸i 凑 篆，。t - n ：z n ，。蚴，则 方程的群渡穰率l 持久更精确箍说，对任意给淹的初落鬈o r 军，方程的解。鳓有如下 榷质t 。 o ，粥存在6 l ，6 2 0 满足 6 l ：旦塑主坐生， 8