（一般力学与力学基础专业论文）刚柔混合多体系统动力学通用仿真软件cadamb的扩展.pdf

上海交通大学硕士学位论文 刚一柔混合多体系统动力学通用仿真软件c a d a m b 的扩展 i ；= = ! j e = = - ，_ 摘要 本文对刚一柔混合多体系统动力学通用仿真软件c a d a m b 进行了完 善，主要将基于零次近似耦合动力学模型的c a d a m b 扩展到基于一次 近似耦合动力学模型。 建立在小变形基础上的一次近似耦合动力学模型的必要性和重要 性已有学者的理论、仿真计算和实验对照的证明，但基本以考虑单个 柔性构件为主，还没有适应多个刚柔混合系统或柔性系统的动力学通 用仿真软件。原c a d a m b 是柔性多体系统通用仿真软件，针对单个柔 性构件和柔性多体系统的仿真都是基于零次近似耦合动力学模型。 本文从力学基本原理出发，针对大范围运动为单个柔性构件，建 立了较零次近似更精确的一次近似耦合动力学模型。在此基础上利用 基于一次近似耦合动力学模型的单向递推组建方法将耦合动力学理 论推广到刚一柔混合多体系统。并根据上述理论对刚一柔混合多体系统 动力学通用仿真软件c a d a m b 进行了扩展。 关键词：刚一柔混合多体系牙面力学，c a d a m b 7 ，零次逾似，一次近似， 单向递推组集 上海交通大学硕士学位论文 b r a n c ho u to n c a d a m b ，c o m p u t e r a i d e d d y n a m i ca n a l y s i s o f m u l t i - b o d y a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ne n l a r g e s u s i n gs c o p e o fc a d a m ba n de x t e n d st h i s s o f t w a r et os u i tf o ro n eo r d e r c o u p l i n gd y n a m i c m o d e lt h e o r yo f r i g i d - f l e x i b l ec o u p l i n gm u l t i - b o d ys y s t e m s t h en e e da n d s i g n i f i c a n c eo f o n eo r d e r a p p r o x i m a t ed y n a m i c m o d e l h a sb e e n p r o v e db ym a n y s c h o l a r sf r o m t h e o r e t i c a l ，c o m p u t i n go r e x p e r i m e n t a lw a y s h o w e v e r ，t h e ym o s t l yg r o u n do nas i n g l ef l e x i b l e b o d y a n db a s e do nf o r w a r dr e c u r s i v ef o r m u l a t i o no fz e r oo r d e r a p p r o x i m a t ed y n a m i cm o d e lw h e nc o u p l i n gd y n a m i cf o r m u l a t i o no f m u l t i - b o d ys y s t e m w a sf o r m e d a n df o r m e rc a d a m bi sb a s e do nz e r o o r d e r a p p r o x i m a t ed y n a m i c m o d e lw h e ni ts i m u l a t e ss i n g l ef l e x i b l es i n g l e b o d y o r m u l t i b o d y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h eo n eo r d e r r i g i d f l e x i b l ec o u p l i n gd y n a m i c m o d e l ，w h i c h t a k e st h ec o u p l i n gb e t w e e n l a r g eo v e r a l lm o t i o n s a n d d e f o r m a t i o nm o t i o ni n t oa c c o u n tw i t h l a r g eo v e r a l lm o t i o n sb e i n gf r e e ， a n do fc o u r s ew h i c hi sm o r ea c c u r a t et h a nt h ez e r oo r d e r m o d e l ，i s e s t a b l i s h e db a s e do nm e c h a n i c a l p r i n c i p l e sa n da d a p t s t ob e a m s ，b o a r d s a n do t h e rt h r e ed i m e n s i o nb o d i e sw i t hl i t t l ed e f o r m a t i o n t h e n ，a c c o r d i n g i i 上海交通大学硕士学位论文 t of o r w a r dr e c u r s i v ef o r m u l a t i o n ，t h er i g i d - f l e x i b l ec o u p l i n gd y n a m i c s t h e o r yi sa l s oe x t e n d e d t ot h ef l e x i b l em u l t i b o d ys y s t e m s b e f o r e - m e n t i o n e dt h e o r yh a sb e e nr e a l i z e dc o r r e s p o n d i n g l yo n c a d a m b k e y w o r d s ：r i g i d f l e x i b l ec o u p l i n gs y s t e m ，c a d a m b ，z e r oo r d e r ， o n e o r d e r ，c o u p l i n gd y n a m i c ，f o r w a r d r e c u r s i v ef o r m u l a t i o n i i i 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：弘。? 年j 月 日 塞= 童丝丝 第一章绪论 1 1 本文研究的工程背景及其意义 目前，工程中复杂机械系统的部分构件已采用轻质柔性材料，系统的运行 速度加快，运行精度的要求越来越高，系统的动力学性态越来越复杂，部件作 刚体假设的多刚体系统动力学已无法解释系统复杂的动力学性态，因此必须同 时考虑部件大范围运动和构件本身的变形，这类系统称为柔性多体系统或刚 柔耦合系统。 现代航天器已变为由庞大的多个部件在轨拼装起来的工作站系统，系统中 通常安装有大跨度的太阳帆板和巨型天线，故航天器已为多个刚体和柔性体组 成的系统。随着空间技术的发展，如何准确地预测这些大尺度附件的运动与弹 性变形的耦合对目前力学工作者提出了挑战。 机械臂在空间技术中的应用是当前各国空间技术水平的重要标志。机械臂 的轻质大跨度、载体在空间的浮动是空间机械臂与地面机械臂的重要区别。机 械臂与载体是典型的刚一柔耦合系统。为了使空间机械臂能够满足人们预先规 划的运动和操作要求，设计中必须考虑机械臂各个构件大范围相对运动中的柔 性效应与载体的耦合运动，提出有效的规划控制方案。 汽车工业的发展与柔性多体系统动力学的研究有着密切的关系。车厢、转 向架构成的整车是典型的多体系统。6 0 年代以来多刚体系统动力学成果已成 功地应用于整车的仿真分析与优化。然而，对于高速车辆原有的成果已不适 用，因为在高速的情况下必须考虑车厢的柔性，还应考虑轨线、授电的弓网与 第一章绪论 整车系统的耦合。因此刚一柔耦合的复杂多体系统动力学和控制的研究是高速 机车车辆攻关的重要课题。 综上所述，柔性多体系统动力学研究对高技术、工业现代化和国防技术的 发展具有重要的应用价值。有效和较精确的计算机建模理论和计算方法的研究 成果对提高工程项目的预研、设计与优化的效率，减少重大工程项目的投资风 险等将产生巨大的经济效益。 1 2 柔性多体系统动力学建模理论的研究现状 1 9 8 7 年，k a n e “1 研究了作大范围运动弹性梁模型，首次提出动力刚化的概 念。指出系统在作高速旋转时，传统混合坐标建模方法得到弹性梁的横向变形 j 4 - 趋近于无穷大，这与实际情况是不符合的。为此，k a n e 对弹性梁的变形作 了比较精确的描述，包括了弯曲变形、剪切变形和扭曲变形，得到该系统动力 学模型的正刚度，由于正刚度的存在，而且它随转动角速度的增大而增加，变 形将收敛，与实际情形一致，因此称之为动力刚化现象。k a n e 提出动力刚化 这一问题之后，引起了各国学者的普遍关注，很多学者对这个现象进行了大量 的研究。人们用各种方法来捕捉这一现象，包括非线性有限元法”。4 1 ，附加刚 度法”“。，几何变形约束方法“2 “，变形耦合方法“。2 ，子结构法”。，和有限 段法“”j 等。捕捉的重点是增加的动力刚度项或与其具有相同的性质，但是并 没有从严格的力学原理出发，去研究大范围运动与柔性体小变形运动之间的耦 合机理以及寻找这种耦合效应对柔性多体系统动力学性质的影响。而且以上方 法基于不同的近似方法形式各异，只适用于它们各自比较特殊的情况，因此对 于柔性多体动力学中耦合问题的实质一直存在争议。 第一章绪论 已有学者提出一次近似耦合动力学模型，蒋丽忠。1 ”、刘锦阳。”、朱国强 ”、刘勇”等对柔性多体动力学中耦合问题的实质进行了深入的研究，提出了 耦合变形项是动力刚化现象的本质原因。找出了传统混合坐标方法在建模过程 中套用结构动力学中对构件弹性变形运动的假设而忽略了某些在结构动力学中 对动力学性态影响很小的变形量，而这些变形量一旦与大范围运动相耦合，在 大范围剐体运动为高速时，将对该系统动力学性态产生本质的影响。 学者们对一次近似耦合动力学模型的研究基本以考虑单个柔性构件为主 在建立柔性多体系统刚一柔耦合动力学方程时，是以基于零次近似耦合动力学 模型的单向递推组集方法推导得到的。 1 3 多体系统动力学仿真软件 软件名称建模方法拓扑结构分析方法应用范尉编程语言结果显示适用机型 n u b e m m n - e 方法空间闭环 数值符号车辆f o r t r a ni大型机 s y mn e 方法空间开环符号机器人f o r t r a n cip c 工作蚰 c a m s达朗伯原理空间闭环数值符号车辆、航 f o r t r a n ，c ，时间历程、 i 阿。卜 天、机器p a s c a l动画、频术 人、机械响应 a u t o l e v 约当原理同上数值符号同上 b a s i c时间历程p c d y n o c o m b s约当原理同上数值机械、机器f o r t r a n同上大型机 人 s p a c a r * 约当原理同上同上航天、机器同上时间历程、工作站人 人、机械动画型机 d 1 s c o s * 第一类拉氏法空间开环同上车辆、航天同上时间历程i 司j ： n b o d n e 方法同上同上同上同上同上同l d a d s 十n - e 方法空间闭环同上车辆、航f o 耵r a n c时问历程、p c 工作站 天、机器动画大型机 人、机械 n e i | e u ln e 方法同上数值符号同上f o r t r a h时问历程耐l 二 m e d y n a *n e 方法同上数值车辆、机械l 司上i 司j ：t 作站 a u t o d y n 达朗伯原理同上同上车辆、航i 卅上时间小程、h i 第一章绪论 天、机器频牢响心 人、机械 r o b o t r a n 达朗伯原理空间开环符号 i 司上p a s c a l时问j j j 程、i 司卜 动l i 、频半 响应 s 1 m p a c k 达朗伯原理空间闭环数值同上 f o r t r a n同上工作站 c o m p a 删 约当原理同上同上同上同上时间历程工作站 d y m a c *达朗伯原理平面闭环 数值符号同上同上同上p c 3 r 作站 d y s p a m *达朗伯原理空间闭环同上同上同上时间历程、 同i ： 动l 回 a d a m s 第一类拉氏法同上同上同上 f o r t r a n c时间历程、丁作站人 动画、频率型机 响应 p l e x u s *n e 方法同上 数值同上f o r t r a n同卜i 州i i d a m s * 第一类拉氏法同上数值符号同上同上l 刊卜l 叫： c a d a m b 十约当原理同上 数值刷上f o r t r a n ，v bi 硎p c 丁作站 十适用于柔性多体系统 表卜1多体系统动力学分析软件 t a b l el 一1d y n a m i c sa n a l y s i ss o f t w a r eo fm u l t i b o d ys y s t e m 19 9 0 年出版的m u ltib o d ys y s t e m sh a n d b o o k “”和文献 3 9 、 4 0 对全世 界范围的大型通用仿真软件研制和开发情况进行了详细的介绍，其中的许多软 件已具有对柔性多体系统进行动力学仿真的功能，具体内容如表卜l 所示。随 着多体系统理论和仿真算法的不断发展，这些软件的分析功能在不断地加强 版本也在不断升级，已可以同有限元技术在大型结构分析中的应用相媲美。 目前国内外的多体系统动力学分析软件还存在以下需改进的方面 1 从表卜1 中可以看出，目前已有的分析软件大都是针对多刚体系统开发 的，虽然其中有的软件在后来加入的柔性体分析的模块以解决柔性多体系统动 力学问题，但由于多刚体系统和柔性多体系统在建模和数值算法方面的差别 这些软件仍不能很好地解决柔性多体系统的动力学仿真。 2 目前国内在柔性多体系统动力学建模理论的研究上已较为成熟。但从软件 4 第一章绪论 工程的角度出发，在数值算法、软件实现和软件的可操作性等方面仍需进行大 量的研究。 3 上海交通大学“”开发的面向对象的柔性多体系统动力学通用仿真软件 c a d a m b ( c o m p u t e ra i d e dd y n a m i ca n a l y s i so fm u l t i b o d y ) ，在先进的单向 递推组集建模方法的基础上，采用v i s u a lb a s i c 和面向对象的模块化语言 f o r t r a n g o 开发，可在w i n d o w s 环境下运行，符合当今软件技术发展的趋势。 能对任意拓扑结构的柔性多体系统及刚一柔混合系统进行运动学、正动力学和 逆动力学分析，具有完善的分析功能和良好的使用界面，是对实际的复杂工程 问题进行动力学分析和综合、优化和设计的强有力的工具。经长时间的实际运 用检验，软件系统c a d a m b 的通用性和完善的分析功能，在处理复杂柔性多体 系统的工程问题上已达到了国内外的先进水平。其不足之处在于针对单个柔性 构件和柔性多体系统的仿真都是基于零次近似耦合动力学模型，适应范围有必 要扩展到高次近似耦合动力学。 1 4 本文的主要研究目标及内容 本文主要围绕柔性多体系统动力学仿真通用软件c a d a m b 的扩展进行研 究。对大范围运动为自由的刚一柔耦合动力学系统，建立了较零次近似模型更 精确的高次耦合动力学的模型，用j o u r d a i n 速度变分原理建立了单个柔性构 件的刚一柔耦合动力学方程。在此基础上，根据单向递推组集方法建立了树形 柔性多体系统的程式化的动力学方程，将一次近似耦合动力学理论推广到柔性 多体系统的程式化建模，使c a d a m b 的适应范围由零次近似扩展到一次近似的 第一章绪论 柔性多体系统动力学的仿真研究。 本文的具体研究内容和安排如下 第一章为绪论，本章介绍了柔性多体系统动力学的工程背景、研究意义和 柔性多体系统刚一柔耦合动力学的研究现状，国内外多体系统动力学仿真软件 丌发情况，指出了c a d a m b 的不足，提出了本文的研究目标和内容。 第二章将从连续介质力学理论出发，对大范围运动为自由的刚一柔耦合动 力学系统，建立较零次近似模型更精确的耦合动力学的模型，用j o u r d a i n 速 度变分原理建立柔性梁的刚一柔耦合动力学方程。 第三章将在柔性体的一次近似耦合动力学理论的基础上，用j o u r d a in 速 度变分原理和单向递推组集方法建立树形柔性多体系统的程式化的动力学方 程，将一次近似耦合动力学理论推广到柔性多体系统的程式化建模。 第四章将介绍对c a d a m b 软件扩展的程序实现。本章根据第二章和第三章 的理论实现对c a d a m b 软件的程序扩展，使之克服了基于零次近似理论的柔性 多体系统建模方法的局限性。通过算例检验理论的正确性和程序的通用性。 第五章为全文总结。 第二章单个柔性构件的刚一柔耦合动力学 21 引言 第二章单个柔- | 生构件的刚一柔耦合动力学 柔性多体系统是由多个可变形的柔性构件或刚体相互连接而组成的系统，每个柔 性体在其自身变形的同时还与其邻接的物体存在相对大范围刚体运动，且变形运动 与大范围刚体运动相互耦合。由于这种耦合作用的机理非常复杂，因此先对作大范 围冈0 体运动的单个柔性构件进行研究，探明变形运动与大范围刚体运动的耦合动力 学机理，再推广到柔性多体系统，这个过程是非常必要且可行的。 由于柔性多体系统中的构件绝大部分是梁式或板式构件，因此学者们对柔性多体 系统的刚一柔耦合动力学研究始于作大范围刚体运动弹性梁和板。1 9 8 7 年，k a n e ”j 对 作旋转运动的悬臂梁建立了比较精确的动力学模型，在节点的纵向变形中考虑了横 向变形的耦合项，数值仿真结果表明，在作高速旋转时悬臂梁的横向振动是稳定的， 与零次近似模型的发散结论相反，而且刚度项随着角速度增大，并首次提出了“动 力刚化”的概念。此后，国内外许多学者对非惯性系下作旋转运动的柔性梁和板的 “动力刚化”问题进行了研究o 。3 。5 。2 。“，数值计算结果都表明在高速转动下横向振动 是稳定的。蒋丽忠”。“1 、刘锦阳”、朱国强3 、刘勇”7 3 提出了耦合变形项是动力刚化 现象的本质原因。刘锦阳“”从连续介质力学理论出发，对柔性梁建立较零次近似更 精确的高次耦合动力学模型，在伸长率中保留变形位移偏导数的二次项，导出变形 位移的二次耦合变形量。 c a d a m b 软件针对单个柔性构件建立的动力学方程是基于零次近似耦合动力学模 型，为了解决这一不足，本章在总结借鉴学者们前期的建模理论的基础上，从适应 通用程序以及向三维扩展的需要，用模态法对单个柔性构件进行离散，并基于 j o u r d a i n 速度变分原理导出单个柔性构件的刚一柔耦合动力学方程。 7 第二章单个柔性构件的刚一柔耦合动力学 2 2 变形位移的描述 对于空间一般问题，可以利用应变的一般性定义写出位移和应变的关系式。 现在用拉格朗日观点来定义应变分量。变形前的坐标( x ，y ，z ) 作为自变量，如 果用位移“、“：、“，定义拉格朗日应变分量，于是有 铲誓+ 告 ( 誓) 2 + ( 警) ：+ ( 警) ： 暇z 暇出靠 铲警+ 去【( 誓) 2 + ( 誓) ：+ ( 警) z ( 2 2 1 ) 聊z 删卵计 铲誓+ ( 誓) z + ( 誓) ：+ ( 誓) ， 睨zo zo zo z 在微小位移的情况下，位移和它的偏导数是很小的量，它们的二次以上的项叮 以略去，这就退化为线弹性应变公式： a “加南 铲吉，铲言，岛2 吉 ( 2 2 2 ) ( 2 2 1 ) 式实质上是非线性弹性应变公式，在大位移，小应变的情况下是适用 的。 z h a n gd a j u n 和h u s t o n ”3 “3 为了保留弹性变形耦合的非线性特征，将柔性体的 变形场用广义坐标的二阶小量进行描述 “，= 中。口，+ 口，吼 ( 2 2 3 ) 王建明将在空间作任意大范围运动的矩形板内任一点p 的变形位移用单元结 点位移表示为： t， 、 c “l = n l p 。4 - 亡p ”h l p 。 1 “，= n 2 p 。+ p h 2 p 。 ( 2 2 4 ) “3 = n3 p 。 现作假设如下，用模态法描述单个柔性构件内任点位移且向三维推广，可以写 8 星三童苎全墨竺丝堡! ! 墅：墨塑盒垫垄堂 成如下形式： “，= 电a + f 1a h l a “：= 嘎a + ：a 1 h ：a 。 t ( 2 2 5 ) “，：也。+ ：a ，h ，。 瓦甲“1 、“2 、u 3 分别为沿p l 、 e 2 、岛轴向的位移分量；q 、哑、也分别为对应 “l 、“：、叱的模态函数阵；而h ，、h 2 、h ，为新引入的所谓耦合形函数阵。 将( 2 2 5 ) 式代入( 2 2 1 ) 式右项得： 铲蓑a + - ( a 出h 1 2 + 罢7 罢+ 嚣7 警+ 嚣7 警如 1 西出苏缸 苏缸缸苏” 铲雾a + v 1 ( a 出l l 22 + 詈7 詈+ 詈7 詈+ 詈7 詈 z s ， 一 砂 出 砂却却却却加” “” 岛2 警a + - 1 a 7 ( o 出h32+ 罢7 警+ 警7 警+ 警7 警 j 8 z。xa z a za za z 。e za z 在此，假设应变而非位移是变形广义坐标的线性函数： a 崛池弛 1 = j 。a ，占2 = = ! a ，f 3 = i 土a ( 2 2 7 ) 锻却出 代入e 式芹沩得： 埋t ：一r 堕塑+ 盟7 塑+ 垫7 堡、 既 、缸苏舐敏 苏缸7 孕叫票票+ 票7 票+ 票7 票) 。：。， 砂 、钞砂砂旁砂砂7 7 驾：一f 垫塑+ 焦7 堕+ 塑7 塑、 a z j a za za z 跣&。z 。 对( 2 2 8 ) 式积分，得到h 。、h ：、h ，的显式表达式： 9 第二章单个柔性构件的刚一柔耦合动力学 h：r一芦。塑+堕。盟+塑。亟)i d x “”o 舅c xo xo xo xc 贫 h ，：h 塑。塑+ 亟。塑+ 塑。亟) d x ( 2 2 9 ) 。 札， 咖砂砂砂砂砂 h ，：f 一芦。塑+ 堕。亟+ 竺。堕) d x ? ”a z8 za za z8 za z 。 式中，( x 。，y 。，) 为耦合常值矩阵为零时在坐标系( 浮动基) 中的坐标，( x ， y ，z ) 为p 点在坐标系( 浮动基) 中的坐标。 由于模态阵q ，哑，包是按照结点的划分离散的已知数值阵，h 、h ：、h ，也 可以写成 氐：卜( - 砸z - 。譬+ 拿7 拿+ 拿。譬) 出 靠” o x出d 譬出出出 比= 即等7 詈+ 詈7 等+ 等7 詈胁 氐= 一c 詈警+ 警7 警+ 詈7 詈，出 式中，( ，y 。，z 。) 为耦合常值矩阵日为零时在坐标系( 浮动基) 中的坐标，( x y ，z ，) 为单元f 结点在坐标系( 浮动基) 中的坐标。 则u 可以表示成 = 电a + 土2 a 1 h 。a = 也a + 圭a 7 h 2 a = 也a + = 1a 7 h 3 a 1 0 兰三量皇尘墨些丝堡墼型：墨望盒垫垄堂 2 3 运动学关系 对于由 ，个物体构成的系统，利用集 中质量有限元的方法将变形体 b ，( f _ 1 ) 分割成，个单元。考虑第 k ( k = 1 ，) 个节点，将单元质量m 。集中 到节点上，该节点的矢径为p ? ，末变形时 它处在矢径p 名的位置。定义为绝对参考 基。过b 未变形时的质心c 建立一浮动坐 标系e 。质，l l , c 与节点k 的绝对矢径分别 为r 与一。 图2 - 1 单柔性体的运动学描述 f i g 2 - 1 t h ed e s c r i p t i o no fm o t i o no f s i n g l e f l e x i b l eb o d y 对于第女个单元，由上节推导可知，如该单元的变形采用模态坐标来描述，为了 简化表达式，将表达的各量的下标暂时省略( 下同) ，为了与绝对坐标系下表达式 区别，在浮动坐标系下对表达的各量加上标( 下同) ，有 u= q 幔 吧 ! + 一a 2 l + 一a 2 l + 一a 2 = 倒a + 1 一a 2 1 一a 2 1 一a 2 h h h 式中，o 、h ：、h ：、h ；与口分别为b ，的节点k 的平移模态矢量阵、 耦合模态矢量阵与b 的模态坐标阵。假设保留到j 阶模态，则有 l 一 i j 、一 m r “，a r “1 ，h ：，h ：，h ；r “ 平移模态矢量阵在绝对参考基与浮动坐标系坐标阵分别为 m = ( 钟钟) ( 2 3 1 ) 三方向的平移 ( 2 3 2 ) ( 2 3 4 ) iii阻iij 与 第二章单个柔性构件的刚一柔耦合动力学 m “= ( r 。) ( 2 3 5 ) 后者中m “为常值阵，可由理论解析解或有限元分析得到。 一= 一：+ c a q v + ；a ；i 兰； ，a c z 。e ， ，。：，+ p 。：，+ 。：+ 。a 倒。+ 圭a ：；：! ，。 。，r 女2 r + p = r + p ：+ ( a 倒+ 圭a l ： l a ( 2 3 7 ) 记为浮动坐标系e 相对惯性参考系o 的角速度，则绝对速度和加速度在惯性参考 令 = 一i 。t o + ( a q y 。+ a i i t a t h h ：i ) d j：l ia t h ：i = i i 。击+ ( a 倒。+ b = j1 3 一声a 掣+ + 2 岙r a 倒“+ 1 jj r “( 6 十一 川 1 2 + 量 | 要 h h h aa ) 1j ，i，3 h h h t t t a a a ，l a a ) 1，j ，i，3 h h h t t t a a a l a ，：，3 h h h t t t a a a ，。l a = 2 ( a c f f 第二章单个柔性构件的刚一柔耦合动力学 v = p 7 c o f i r ) r r 忙“。 + 面面p r “1 则绝对速度和加速度在惯性参考基中可写成如下矩阵式 。= b v f ：b t + w 2 4 单个柔性构件的动力学方程 根据j o u r d a i n 速度变分原理，物体e 的变分形式的动力学方程为 盯( - m + f 、一6i 。t o “= 0 ( 2 3 9 ) ( 2 4 1 ) 其中f 。为作用于节点肭外力，与仃。分别为第觯元的变形所产生的应变与应力。 由结构动力学中有限元分析可得岛总虚功率为 6j 。= 6 矗1 ( c f i + k a ) k = l ( 2 4 2 ) 其中c 。与k 。分别为该构件的结构模态阻尼阵与结构固有模态刚度阵，分别为s s 阶常值阵。将式( 2 3 8 2 3 1 0 ) 和( 2 4 2 ) 代入式( 2 4 1 ) 得 式中 8 v 7 ( 一m 审一w + f 。一f ”) = 0 m = w = 埘b 州b b ”w r 帕” i = l 1 3 ( 2 4 3 ) a 1lj ，i r 3 h h h t t t aaa l a+a 1li?ij ，：，3 h h h t t t a a a l a+ k ，d 第二章单个柔性构件的刚一柔耦合动力学 f u ： 0 10 ( c 。a + k 。a ) i r r “2 ( 2 4 4 ) t。=a，。a，1j=ftait7：；a，t3=aat：；，1j=；atath a t h i 三； c z a s ， t l = 倒。a ，t 2 = lh ：i a ，= lh ：i ，t = 1h ：l ( 2 4 5 ) i；ll：ip h ：l m ，：一a f 圭m t i ，t a t ：一a f 圭m - ( f ：- + 管。+ ：t ) a t k t ik t l = 一a ( f + f 2 a + 2 1 。x a ) a m ，：a 圭m t 倒* + l ) ：a o ：，+ t ( ：，) ，、 m ：= 一a i m 。f “f “l a 7 女t i = 一a 陲聊何；。+ 置+ 三1 t 胼+ 置+ 卜 - l = 一a f 圭m $ ：筘：+ 方矿量。+ 亍。方：。+ ；i ：t + 1t z po ) 1 a 7 女。1 = 一a 盯c l ，+ rc 5 ，口+ ! 铲：2 l ，+ r j 2 i 圹 r 1 2 l ，+ r ? 1 ”b ) a 7 1 4 m ：，= a m 。i “( 倒。+ t 3 ) = a y m “( 方：+ 亍l + ：t ) ( 倒。+ l ) k = lk = f = a m 。( i ：。倒。+ 置倒。+ i ：。l ) = a ( t f 5 j + y 3 1 k = l f m s ，= m 印”+ 瓦7 ) 伊+ 己) = 肌倒= n 女= 】 t l 式( 2 4 4 ) 中惯性力阵分块矩阵为 ( 2 4 6 ) w t = 2 研蠡a ( q y + t 3 + 忉。a l 西+ 埘+ 面面f 。 = 2 岙a o 伸+ 丫犯”) a + a d 7 犯1 + 岙面a o 1 ) + r ( 2 ) 口+ ：丫2 】) 口) w z = 2 m f 。面( 妙+ a t 3 l i + m f a t 4 a + 窆m f “t o c o 。p - = 2 e 。，m ( i ：。+ 置+ ；t ) 面( 缈+ a l 净+ 高肌( 筘；。+ 置+ ! t 2 ) a t 4 j i + 圭珊。方- 面面p - 2 “】 k ，j 盖 = 2 z 。m ( i ：“+ 置) 面( 廿+ a t 3 ) a + 窆川( i ；。+ 亍。) a t 4 s i + 窆m i “面面p - = 2 。y m ( i 。面缈+ 置面对+ 声。面a l ) 矗+ 窆m 节。a l a + 窆m 节。岙面p - = - 2 a ( r 4 1 + r 2 1 ) 矗a 1 b + a d t ( 3 1 矗+ 面m2 2 面 w r 2 e 。m ( 倒”+ t 3 7 ) 面( 。+ t 3 ) a + 窆m ( 倒“+ t 3 7 ) t 4 a + 杰m ( 倒“+ t 3 1 ) 盂面- i k - 1 l 。i = 2 萎倒。a + 脚倒”一a + 主m 。( ”+ t 3 ) 面议p 。+ 妒a + ：a l a ) k - l k - 1 k f f i lz = 2 删倒倒。a + 研( 倒。屹面p 。+ 倒面矿a + l 盂p 。“) k f l k - l 1 5 ka 1，llj n ， 忙 r r + + m 。 一限 盯一 a t +a 。 丫 y 刍m扫 rll叫ll = 第二章单个柔性构件的刚一柔耦合动力学 式( 2 4 4 ) 中外力阵分块矩阵为 = a ， f r “1 = a e 倒+ t 3 ) f r ( 2 4 8 ) 式( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 中用到的常值阵丫”，丫”，7 孙，7 钔，f 0 1 , r 舢，r 孙。r 舢，n 和 过程变量阵t ”r “，f 5 1 定义请见文献 4 2 ，新增的过程变量阵定义如下 丫! j 2 1 ) = “f 2 7 ：圭朋t f t 3 ：r w ；丫甲： d y = 朋l ：r “1 ： 町= m 甜t 4 ：e r “ = m f 鼋：r “3 d 丫掣= ( d t ：2 1 ) ：d t = ( d t f 3 r 掣= ( r f 2 】) y ) r “、 t ) r 3 ” d 丫掣) r “3 d t ) r “3 r ) r “ ( 2 4 9 ) 1 6 3 rf ， = k r ， e 卅 ，m l x r 畦op 女， 瓦 m ， l l 但， r 第三章柔性多体系统的单向递推组集方法 第三章柔性多体系统的单向递推组集方法 3 1引言 文献 2 4 提出了树形柔性多体系统单向递推组集建模方法，其特点是：对树 形柔性多体系统，将其划分为由基体到末端体的多条链状子系统，应用绝对坐标 建模方法建立单个柔性体的动力学方程。通对相邻物体之间的运动学关系，得到 了链上任意物体与其内侧物体之间的运动学递推关系。应用运动学递推关系，将 绝对运动学量向相对运动学量转换，得到了以铰坐标和柔性体模态坐标为系统广 义坐标的柔性多体系统动力学方程。这种方法的优点是：首先，同绝对坐标建模 方法相比，系统的广义坐标数大为减少，提高了动力学仿真的效率和精度。其次， 同h a u g 和k i m 等人根据矢量变分原理建立的相对坐标形式的动力学方程比较， 这种方法在递推物体的运动学量的同时即可组集系统的动力学方程，避免了在组 集系统的动力学方程时需进行的由基体到末端体的逆向折合过程，为计算机仿真 带来了很大的方便。对含闭环的多体系统，通过铰切割的方法，可得到原闭环系 统的派生树系统。 蒋丽忠。、刘锦阳。”在建立柔性多体系统刚一柔耦合动力学方程时，均直接 引用文献 4 2 的结果，是建立在零次近似动力学模型的基础上，因此在一次近似 动力学模型的情况下，需要利用单向递推组集方法重新推导。 3 2 邻接物体的运动学递推关系 3 2 1 变形位移的描述 小变形情况下，转动矢量的三个分量为 篁三塞鲞丝耋竺至丝墼兰旦垄苎丝叁銮鎏 ： 2 - - ( 0 2 3 7 1 百c 8 u 3 一 垆= - - ( 0 3 1 = ；c 警一 z ， 上式表明在小变形情况下转动张量的分量山。表示体元作微小刚体转动时绕以轴 的微小转角。 定义 将u 的 则其中 甲= 由上章所述矢量“为 ：俘十；) a = 圭c 等一 = 圭c 警一 酝= 圭( 警一可a h i ) ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) 1 8 钏万 一 丝欲一2 i i 甜一 i i l l 皿 盟瑟 得学 舯 上 净 队堕瑟一争 1 2 l l 扭 盟良盟砂 一 一 盟f 8 盟教身oo 怕 怕 净 姐 盟苏盟砂 一 一 盟瑟堕教 鼻o： l l l l 矾 1，lj a a a ，们，眈，郎 h h h r r ， a a a 。l 1 2 斗8甲 = 1l，j 曲肌 1j l 2 3 ，口，口，口 h h h i a a a ，。l l i 型瑟 盟缸 型出盟良盟砂 一 一 一 溅一钞盟&堂缸 ，、孓，孓 第三章柔性多体系统的单向递推组集方法 u= 刮a + 三a7 h i a 幔a + 三a t h , 2 a 吧a + 三at h 3 a 3 2 2 坐标系 = 倒a + 土a r h ： 三a h ： 土a 7 h ： 图3 一l 给出了系统中一对邻接物体的 示意图，鼠为运动已知的根物体，b ，为 占，的内接物体，o p 分别为对应的铰点， 7 e 分别为未变形质心上建立的浮动坐 标系，h ，为两铰点的相对位移矢量，记 、l ，、l ，分别为其对应的转动模态阵，q ， 为连接铰的广义坐标阵。 3 2 3 铰点单元运动学 a = + ) a 图3 - 1 邻接物体的运动学关系 f i g 3 1k i n e m a t i c sr e l a t i o no f a d j a c e n c y b o d i e s 物体e 中铰点p 所在单兀的变形即有平移变形又有转动变形，它们在单元本 体基或物体的浮动坐标系的坐标阵分别为u ，或，可表达为 ，p，n ，p1 u ，= o f ”+ 亡m 0 7 ) a ， ，p 1 ，= ”+ ：1 t ，p ) a ， ( 3 2 3 1 ) 在微小位移的情况下，式( 3 2 3 1 ) 就退化为 u ”= 倒”a s= 甲”8 1 9 第三章柔性多体系统的单向递推组集方法 这与文献 4 2 表达相同。 铰点p 变形前后矢径的关系为 p ? = p ? + u 7 ( 3 2 3 3 ) 它在浮动坐标系的坐标式为 p ? = p ，：+ u ” ( 3 2 3 5 ) ( 3 2 2 3 ) 式两边在浮动坐标系上对时间求一阶与二阶导数，考虑到p ：在此坐 标系中为常矢量，铰点p 的相对速度与加速度可表达为 v ：= i ，+ 血，审：= d ，十i i ：” ( 3 2 3 6 ) 由于掣，h j 。，h ：，h j ，在浮动坐标系中为常值阵，( 3 2 3 6 ) 式在浮动坐标系中 的坐标式为： 式中 la v 。= 叫d ，+ i a l ia 审。= 倒石，+ a a a h h ：1 1 峨，：h7 h ：j k 峨j = ( 掣+ 啡，净 h ：，i h ：2k = + ) ，十吒d h ：刊 铰点p 所在单元因变形引起的相对于坐标系p 5 的角速度与角加速度为 ：= ? ，击= ， ( 3 2 3 9 ) 由于甲，h 未，h ；：，h 矗在浮动坐标系中为常值阵， ( 3 2 2 9 ) 式在浮动坐标系中 的坐标式为： 7 7 aaa ril1 ikji隘j ，h ，h ，h ，h ，h ，h h h h h h h r r r r 第三章柔性多体系统的单向递推组集方法 式中 式中 ia p 。= 甲d ，+ j a la la = 甲a ，+ la i la h ：，l h ；：陋 h 赢j h ；，f h ；：怿 h ；，i = + ) a = 畔+ ，) a ，+ ，d 矢量p j 的绝对导数及其在绝对坐标系的坐标阵分别为 d ? = v 。p + ，。p ? i ? = ( i p + m 。) 矗，一声知 = a = a ia l t h j ： la ，7 h ：，i k 峨j 矢量p ? 的二阶绝对导数及其在绝对坐标系的坐标阵分别为 式中 芦? = 芦，+ 由，。p ? + 2 c o ，庐，”+ ，( 。p ? ) 一? = + 呻h ) a ，+ 吮d ，一声硒，+ 疝， + 吼) d ，+ 面，面? ( 3 2 3 1 4 ) 吒= a 瓯：a fd ，7 h ：j k h k h l 类似地，对物体e 中的铰点q 进行分析，可以得到 ikj ，曲，井，曲 h h h aaa ，l + 1llllj ，酬，蚍，们 h h h 7 r r a a a l l l 吒 差三童委丝童竺至堡墼兰蜜望茎丝叁查鎏 u ，一：q a ，小 a ，f ，h h ： 口， a i 小1 畔+ 皑) 。， h7 h j ，i ，。h h 扎f s ，= 一a ，+ h h 扣，i = 畔+ ) a ， h 7 h 巩i p 。? = p x + u 。? i ? = ，+ ) d ，一声抽， 声? = ，+ ) ，+ 吆a ，一声抽，+ 嫡，哆+ ) a ，+ 面，面，p ? h = 甲a ，+ a ，h 裔 a ，7 h ；2 a ，。h ；3 ，= 孵+ ) 击。一：一a ，+ h a i t h h 南s , , ：1 tk +击。= 一a ，+ ja ，h 南：陋，+ la ，7 h 妊i 3 2 4 铰运动