后继函数与极限环的稳定性.doc

后继函数与极限环的稳定性1 Poineare映射与后继函数设平面系统 （1）为足够大的正数，并设是系统(1)的一条闭轨线，其方程为与是周期为的函数.在上任意一点作的外法向量，在的足够小的邻域内的法线短设为，选取上任意一点,B并设从到的有限距离为，由解对初值的连续依赖性可知，从出发的轨线环绕闭轨一周后，必将再次与法线短相交于点。记与的有向距离为，于是将是的函数，并记为，如图(1)所示。定义1 称为的后继点; 为后继函数，有时也称为后继函数。当后继函数时，即表示过点的轨线是一条闭轨线。通过对后继函数的几何理解，很容易得出下列有关极限环稳定性的重要结论若对法线段上任意一点均有或，则为不稳定的极限环；若或，则为稳定的极限环；若，则为外稳定而内不稳定的半稳定极限环；若，则为外不稳定而内稳定的半稳定极限环；若，则为周期环。根据后继函数的零点个数，可以定义极限环的重数定义2 若则称为重极限环。特别地，称为单重极限环或简单极限环。显然这里的重极限环对应于后继函数的重根。通过后继函数在零点泰勒展开很容易的到这个结论。2 曲线坐标与极限环的稳定性设有系统(1)的闭轨线，逆时针方向，其房程为与均为周期为的周期函数. 在的足够小的邻域内，建立曲线坐标如下图2，过点作的法线与相交于点。取法线方向向外为正。在任意固定一点作为度量弧长的起点，顺时针方向为正，并记弧长，法线上的有向距离。于是内的点与数组构成一一对应的关系，称为点的曲线坐标。设点的直角坐标为，曲线坐标为，以弧长为参数的参数方程为其中为的弧长，从而点的直角坐标为. 在点的单位法向量为，于是 又由于所以可以得到直角坐标与曲线坐标的关系 （2）从而可以利用公式(2)把给定的直角坐标下的坐标转化为曲线坐标下的坐标，得到 (3)显然极限环对应于它的零解，并将上式分离出线性项得其中 (4)所以方程(3)的一次近似方程为 （5）方程(5)满足初始条件的解为从而对极限环的稳定性，有如下定理定理1 当时极限环是稳定的；当时，极限环是不稳定的，其中是极限环的弧长.证 对足够小邻域内的任意一点，考虑后继函数显然，当时，有，从而是稳定（不稳定）极限环。对于定理1，里面表达式是在曲线坐标下的，用起来不方便，现在把它转化为直角坐标下的表达式，有如下定理定理2 若沿着系统(1)的极限环有则的极限环是稳定（不稳定），其中是极限环的周期证明过程利用曲线坐标与直角坐标的关系就可以直接得到定理中的两式子是相等.定义3 沿系统（1）闭轨线的下述表达式称为的特征值数，其中是极限环的周期显然，当时，极限环的稳定（不稳定）。由以上讨论容易看出，是单重极限环的充要条件是其特征值数，事实上，由单重极限环的定义可知其中从而由此可知，上式充要条件成立。通过上述定理2和定义3，都可以来用判断极限环的稳定性，但是由于极限环的方程一般来说很难求得，因此用上述定理判断极限环稳定性或求解极限环的特征值数，是很困难的。当然，有些时候，可以利用给定的微分方程组通过估计的方法来确定极限环特征值数的符号，由此便可以判断极限环的稳定性。不及如此有时还能用来确定极限环的唯一性和不存在性。例如，如果求得一个系统仅有一个奇点，而且还能估计出系统若存在一个极限环，则极限环的特征值数，即极限环必稳定。同时，也说明了此系统仅含有一个极限环，若还存在其他的极限环，不妨设为，则靠近的一侧必不稳定，从而与特征值数矛盾。如果还能证明这个唯一的奇点是稳定的，离它最近的极限环必然是不稳定的，也与特征值数矛盾，这就说明了极限环的不存在性。下面的例题也可以说明这一情况。例1 证明如下系统在全平面存在唯一的闭轨线，并且它是双曲的稳定极限环，单位圆周位于所围区域。 （6）证 显然此系统有唯一的奇点，并且是不稳定的焦点. 取Liapunov函数 ，则其全导数为当时，因此由Poincare切性曲线法定理知系统在内无闭轨线，并且任何闭轨与单位圆周不相交。若不然，假设存在一个闭轨与单位圆周相交，如图（3）所示 由于选取的函数的全导数在单位圆周上的全导数大于零，所以系统轨线通过圆周的方向都应该是指向圆周外侧的，所以从上图可以看出，其闭轨的轨线方向与圆周上轨线的方向矛盾，所以轨线与园周边不想交. 另一方面，引入极坐标 ，则这里是因为。所以当时，其中。由环域定理知，系统在环域至少存在一个闭轨线，显然它是环绕单位圆周的。下面来说明它也是系统唯一的闭轨，并且是双曲稳定的极限环。事实上，由这里是因为在上，有。有上述的定义（3）可知特征值数，显然闭轨线是双曲的稳定极限环. 有注意到系统有唯一的不稳定奇点，如果系统还存在另外的闭轨线，这条闭轨也围绕单位圆周，又由于其特征值数小于零，可知这条闭轨线也是稳定的，从而与我们上述分析的矛盾，所以此系统仅存在唯一的闭轨线.所以说，虽然求解一个闭轨的特征指数需要知道其闭轨的方程，但有些时候，我们仅仅利用原系统的性质就可判断出特征值数在某一区域的符号，这对我们来判断极限环的唯一性，存在性，稳定性带来了很大的便捷。而且有些时候，还可以判断奇点的全局稳定性. 就像例1，我们首先判断出了系统仅有唯一的一个奇点，而且是不稳定的，所以才有下述的