（应用数学专业论文）minkowski空间中的类时极值曲面.pdf

上海交通大学博士学位论文 m i n k o w s k i 空间中的类时极值曲面 摘要 本文的主要目的是研究m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 扣) 中类时极值曲面方程的整体 经典解的存在性和唯一性问题。本文的主要内容由以下几章组成。 在第一章中，首先对所研究问题的提出、物理背景、意义以及研究现状做了一 个简单的介绍，并对本文要研究的几个问题加以阐述，叙述我们的主要结果。 在第二章中，我们先做了一些准备工作，将m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 + n ) 中的类时 极值曲面方程加以化简、整理，给出了方程组的特征根、特征向量、r i e m a n n 不变 量，并证明了方程组一些重要的性质，如非严格双曲、常重特征、特征传播速度的 有界性、特征场的线性退化、方程组的富有性等。 在第三章中，基于第二章的结果，我们证明t m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 + 订) 中类时 极值曲面c a u c h y l ；- 题的整体经典解的存在唯一性( 定理1 2 ) 。之后，我们对类时极 值曲面的齐次d i r i c h l e t 问题和齐次n e u m a n n 问题的经典解的整体存在性进行了研 究。 在第四章中，对于m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 抑) 中类时极值曲面的混合初边值问 题我们进行了深入研究。利用特征理论，分别证明了具有两个边界和具有单个边 界的类时极值曲面初边值问题( d i r i c h l e t 问题和n e u m a n n 问题) 的经典解的整体 存在性。 在第五章中，我们对m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 + n ) 中类时极值曲面进行了进一步 的研究。首先给出了类时极值曲面方程通解的一个精确表达式，然后对类时极值 曲面方程解的渐近性态的研究结果加以介绍。 v 中文摘要 关键词：m i n k o w s k i 空间，类时极值曲面，经典解的整体存在性，特征 根，r i e m a n n 不变量，初边值问题，解的精确表达，渐近性态 上海交通大学博士学位论文 t h et i m e - - l i k ee x t r e m a ls u r f a c e s i nm i n k o w s k is p a c e a b s t r a c t t h et h e s i sc o n c e r n sw i t ht h eg l o b a le x i s t e n c eo fc l a s s i c a ls o l u t i o n so ft h e e q u a - t i o nf o rt i m e - l i k ee x t r e m a ls u r f a c e si nm i n k o w s l 【is p a c er 1 + ( 1 + 川i ti so r g a n i z e da s f o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ef i r s ti n t r o d u c et h ee q u a t i o nf o re x t r e m a ls u r f a c ei nm i n k o w s k i s p a c ea n ds i m p l yr e c a l lt h ep r e s e n ts i t u a t i o no fs t u d yo ni t t h e nw ei l l u s t r a t et h e p r o b l e m sd i s c u s s e di nt h i st h e s i sa n ds t a t eo u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ef i r s ts i m p l i f yt h ee q u a t i o nf o rt i m e - l i k ee x t r e m a ls u r f a c ei n m i n k o w s l 【is p a c er 1 + ( 1 + ，a n dt h e ng i v et h ee i g e n v a l u e s ，t h ee i g e n v e c t o r sa n dt h e r i e m a n ni n v a r i a n t so fi t w ei n v e s t i g a t em a n yi n t e r e s t i n gp r o p e r t i e se n j o y e db y t h es y s t e m ，s u c ha 8n o n s t r i c th y p e r b o l i c i t y , c o n s t a n tm u l t i p l i c i t yo fe i g e n v a l u e s ， b o u n d e d n e s so fc h a r a c t e r i s t i cp r o p a g a t i o ns p e e d s ，l i n e a rd e g e n e r a c yo fc h a r a c t e r - i s t i cf i e l d s ，e t c i nc h a p t e r3 ，b a s eo ns o m er e s u l t so b t a i n e di nc h a p t e r2 ，w ep r o v et h eg l o b a l e x i s t e n c eo ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o nf o rt i m e - l i k ee x t r e m a ls u r f a c e s i nm i n k o w s k is p a c er 1 + ( 1 + 川t h e nw es t u d yt h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h ec l a s s i c a l s o l u t i o n so ft h eh o m o g e n e o u sd i r i c h l e ta n dn e u m a n np r o b l e m sf o rt h es y s t e m i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h ee q u a t i o n o ft i m e - l i k ee x t r e m a ls u r f a c e si nm i n k o w s k is p a c er 1 + ( 1 + 川a n dp r o v et h eg l o b a l 英文摘要 e x i s t e n c eo ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o n so ft h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( d i r i c h l e t p r o b l e ma n dn e u m a n np r o b l e m ) f o rt h es y s t e mw i t h t w ob o u n d a r yc o n d i t i o n sa n d o n eb o u n d a r yc o n d i t i o nr e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r5 ，w ep r e s e n ta ne x p l i c i t l ye x a c t l yr e p r e s e n t a t i o n ，i n v o l v i n gt w o i n d e p e n d e n ta r b i t r a r yf u n c t i o n s ，o fg e n e r a ls o l u t i o no ft h ee q u a t i o nf o rt i m e l i k e e x t r e m a ls u r f a c e si nm i n k o w s k is p a c er 1 + ( 1 抑) t h e nw eg i v es o m er e s u l t sa b o u t t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n so ft h es y s t e m k e y w o r d s ： m i n k o w s k is p a c e ，t i m e - l i k ee x t r e m a ls u r f a c e s ，g l o b a le x i s t e n c e o fc l a s s i c a ls o l u t i o n ，e i g e n v a l u e s ，r i e m a n ni n v a r i a n t ，i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m ，e x p l i c i te x a c tr e p r e s e n t a t i o n ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r 上海交通大学博士学位论文 论文原创性声明 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签 斛7 反茧 日期：趟年立月才目 上海交通大学博士学位论文 版权使用授权书 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密i 、i 。 ( 请在以上方框内打”，) 学位论文作者签名： 嗍么年互月耸 指导教师签名 聃迸年三月到e l 第一章绪论 1 1问题的背景以及研究现状 著名的p l a t e a u 实验是把围成封闭曲线的金属丝放入肥皂溶液中，然后取出 来，由于表面张力的作用，在它上面就蒙有表面积最小的薄膜。这种表面积最小的 曲面就是所谓的极小曲面，数学中将求这膜曲面的问题称为p l a t e a u 问题。 p l a t e a u 问题可以用变分法来解。从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线r 为固定边界的曲面的法向变分。e b e u l e r - l a g r a n g e 方程，对于任何这样的变分，曲 面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h 三0 。因此，通常就用这个几 何条件来定义极小曲面。 在三维欧氏空间e 3 中，若一张曲面可用方程z = z ( x ，y ) 来表示，则称它为图， 或非参数化曲面。由极小条件h = 0 ，e 3 中极小图的z ( x ，y ) 满足下述二阶非线性 椭圆型微分方程： ( 1 + ) z 一2 z 卫z u z x 掣+ ( 1 + ) 勺可= 0 ， ( 1 1 1 ) 通常称它为极小曲面方程。 由于它在理论研究、自然科学及工程技术领域应用方面的重大价值，该问题自 十九世纪二三十年代提出开始便一直成为许多学者研究的重要课题，其中一些主 要代表人物有j e s s ed o u g l a s 、c o u r a n t 、m o r s e 、b o h m e - t r o m b a 、t h i e l 、s c h u f f l e r 和m i c h a e ls t r u w e 等。关于极小曲面在欧氏空间s f i r i e m a n n 流形方面的结果，可以 参看以下两本著作：c o l d i n g 和m i n i c o z z i 撰写的文献 1 9 】，以及0 s 8 e r m a n 撰写的文 献f 7 2 】。 设( 亡，z ，y ) 是( 1 + 2 ) 维m i n k o w s k i 空间中的一个点。一个类时曲面有如下形 1 式： 第一章：绪言 y = ( ，z ) 。( 1 1 2 ) 如果西是面积函数 五= 晒础 ( 1 坞) 的极值点，那么，我们就称这个曲面为极值曲面。相应的e u l e r l a g r a n g e 方程为 ( 南) 。一( 南) z = 。 c 1 1 4 ， 近年来，b r e n i e r 在五2 f l ! m i n k o w s k i 空间中研究了一个一般化的极值曲面方程 ( 参见 1 3 ) ，从该方程可以直接推导出电动力学中的v l a s o v - m a x w e l l 方程组。类 似于电磁场中的b o r n - i n f e l d 非线性理论的关于经典电动力学的几何方程思想( 参 见【7 】) ，b r e n i e r 做了一次尝试( 参见 1 2 】) ，为经典电动力学设计了一个非线性截 断理论。他没有考虑连接两个带负电粒子的弦，而是考虑曲面( ，8 ) _ x ( t ，8 ) ，这 个曲面横越了紧跟着两个带负电粒子的曲线t _ 咒亡和亡_ x + t ，这样x ( s = - 1 ，t ) = 汇亡，x ( s = 1 ，t ) = x + t ，而s - 1 ，1 】代表了两个轨道之间的插值参 数。只需通过规定( 亡，8 ) 一( t ，8 ，x ( t ，s ) ) 是在五维的m i n k o w s k i 空间( ，8 ，x l ，x 2 ，x 3 ) ( 其相应的符号是( 一，+ ，+ ，+ ，+ ) ) 中的一个极小曲面，他就得至u t - - 个几何模型。 换句话说，每个曲面的个体作用量是 b = ：乒丽平砸市砸丽d 池 ( 1 1 5 ) 这个本质上是经典弦理论中的n a m b u - g o t o 作用量。函数( 1 1 5 ) 所对应的e u l e r l a g r a n g e 方程为： ( 了乃f i = 荔i 亍三i 鲁者丽) 。一( i 刁f i i 菱i 亍三彳象者丽) z + ( ：7 f 亏了雨善译；兰鲁耄言) 。一( ：万f 葺i 零霎每 ；韦耋者) z = 。， ( 1 1 6 ) 上海交通大学博士学位论文 其中，z 代表( 1 1 5 ) 式中的s ，而= ( 1 ，2 ，九) t 代表( 1 1 5 ) 式中的x 。 引入下述广义曲面( | | 9 ，ze ，b ) ： 相容性条件为 p ( t ，8 ，z ) = 6 一x ( t ，s ) ) ， z ( t ，8 ，z ) = o t x ( t ，s ) 6 ( z x ( t ，s ) ) ， e ( t ，s ，z ) = o 。x ( t ，s ) 6 ( z x ( t ，s ) ) ， 8 ( t ，8 ，z ) = o 。x ( t ，s ) 况x ( 亡，s ) 6 ( z x ( t ，s ) ) ， 仇p + v e = 0 ， o t p + v j = 0 ， 【侥e 一统j + v b = 0 。 借助( p ，正e ，b ) ，x 的作用量可以写成 k ( p ，j , e ，曰) = 石( 万辅秀面。 其删e u l e r l a g r a n g e 方程为( p ，以e ，b ) 的非线性发展方程( 1 2 】中给出了它的 明确表达式) ，这个方程称为广义极小曲面方程( g e s e ) 。它的数学分析( 整体存 在性，唯一性，等等) 以及由该方程严格推导经典方程( 例如a s o v - m a x w e u 方 程) ，均为非线性偏微分方程领域中的具有挑战性的问题。 把b r e n i e r 所考虑的模型推广至 j m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 + n ) 中，也就是考虑面积 函数 厶= 乒砸阿研可丽下瓣眠 ( 1 1 7 ) 其中，( ，) 表示内积，向量函数= ( ，) t 是其极值点。其相应的e u l e r - l a g r a n g e 方程为 ( 而莘器群犏c x ) ) 。一 1 + i 丸1 2 一i 也1 2 一i 也1 2 l 纯2 十( 也，2 + ( 而斋筹糍卜。 埔， 、 l + l 九1 2 一1 2 一1 2 i 九1 2 + ( 也，九) 2 ， 。 、7 第一章：绪言 因为m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 + n ) 和l o r e n t z 流形的度规是非正定的，因此，在这 些物理时空中的极值曲面包括以下四种类型：类时、类空、类光、混合型。 注记1 1 当扎= 1 时，方程( 1 1 8 ) 就是方程( 1 1 4 ) ；进一步地，如果 1 + 咖：一辑 0 ，( 1 1 9 ) 也就是这个曲面是类时的，则方程( 1 1 4 ) 正好就是b o r n i n f e l d 方程( 参见用) 。b o r n i n f e l d 方程相当于a r i k 等人所研究的方程( 参见廖) 在水动力学中的对应方程。另 一方面，当礼= 3 时，方程( 1 1 8 ) 又回到了方程( 1 1 6 ) 。 方程式( 1 1 8 ) 是m i n k o w s k i 空间酞1 + ( 1 抑) 中的极值曲面方程。m i n k o w s k i 空间 中的极值曲面是平均曲率为零的c 2 曲面。对于物理时空中的极值曲面，已经有了 一些重要的研究结果。对于l o r e n t z m i n k o w s k i 空间中的极大类空超曲面，c a l a b i 构造了一些关于b e r n s t e i n 问题的例子( 参见 1 5 】) ，而s - y c h e n g 和s 一t y a u 在 他们一篇著名的文章中证明了b e r n s t e i n 定理的参数形式( 参见 1 s 1 ) 。其类时情况 也已经有一些学者进行过研究。b a r b a s h o v ，n e s t e r e n k o 幂i c h e r v y a k o v ( 参见【4 】) 研究了在伪e u c l i d e a n 空间中用微分几何描述的极小曲面的非线性微分方程。通过 这些方程的几何性质，可以明确地得到这些方程的通解的表达式。m i l n o r 通过一 种w e i e r s t r a s s 表示，描述了三维m i n k o w s k i 空间中所有类时极小曲面，指出这种 曲面不需要平坦的条件，并给出了一些有严格正定或负定g a u s s 曲率的例子( 参 见 7 1 1 ) 。而c h a o - h a og u 第一个研究了n 维m i n k o w s k i 空间中的混合型极值曲面 ( 参见 3 2 】_ 3 5 】，其m 3 2 、【3 3 $ 1 ：1 3 5 是1 7 , = 3 的情况) 。在假设曲面是c 3 光滑的 ( 对于r t = 3 的情况只要求c 2 光滑) ，并且面积密度函数开方的梯度在曲面的类光 点上不为零的情况下，c h a o - h a og u 通过利用l e g e n d r e 变换或广义等温坐标来把 方程线性化，得到了曲面的表达通式，并证明了( i ) 曲面的类时部分和类空部分被 一条类光曲线分开；( i i ) 曲面在类空部分和一些混合区域是解析的。而且，他还在 三维m i n k o w s k i 空间中构造了许多有着精确表达式的完整的混合型极值曲面( 参 见【3 5 ) 。此外，l i n d b l a d 最近曾对方程组( 1 1 8 ) 的高维情况作了出色的阐述( 参 4 上海交通大学博士学位论文 见 6 4 1 ) ，之后，c h a e 和h u h 在更一般的框架中对它进行了研究( 参见1 6 】) 。对于 小初值，他们利用c h r i s t o d o u l o u 形式和k l a i n e r m a n 形式中的零结构，证明了光滑 解的整体存在性( 参见【2 1 】和【4 1 】) 。 在l o r e n t z i a n 几何中，( 1 1 8 ) 是一个非常有趣的模型。它也在一些物理方面的 文献中出现过，并有一些这方面的学者对其进行了深入的研究( 参见 4 6 】、 4 8 】、 4 9 】、 5 1 、 5 2 并- f l 5 3 ) 。d e - - x i n gk o n g 等人研究t r x + n 维m i n k o w s k i 空间中的类时极 值曲面方程( 对应于开弦的运动) 的c a u c h y 问题，并取得了一些成果。d e - x i n g k o n g 和q i a n gz h a n g 研究了在m i n k o w s k i 空间r 1 h 中相对论弦( 特别地，闭弦) 的运动( 参见 5 2 】和 5 3 】) ，并得到一些有趣而又很重要的非线性现象：在m i n k o w s k i 空间r 1 + n 中运动的相对论闭弦，其空间周期将导致时间周期。最近，s h o u - j u n h u a n g 和d e - - x i n gk o n g 研究了相对论环面在m i n k o w s k i 空间r 1 + n 中运动的方程 ( 参见 3 8 1 ) ，并得到了一些有趣的结果。 注记1 2 本文研究的极值曲面方程，对应于m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 + n ) 中相对论开 弦的运动。 方程( 1 1 8 ) 的混合初边值问题，在电气力学和粒子物理学等领域有着重要的 研究价值( 参见 1 3 ) 。最近，j i a n l il i u 和y iz h o u 在这方面取得了一定的研究成 果。对此，本文将在第四章进行深入讨论。 1 2 本文的主要结果 本文中，我们将使用一种不同的方法来研究方程( 1 1 8 ) ，并对这类方程的c a u c h y 问题、d i r i c h l e t 问题和n e u m a n n 问题的整体经典解得到了一个较完善的结果。进 一步地，我们也得到了方程( 1 1 8 ) 通解的一个精确表达式，它包含两个不相关的任 意函数。在这里，我们特别强调一点，在我们的讨论中，不需要初值小的假设。 5 第一章：绪言 记 乱= 以， 钞= 晚，( 1 2 1 ) 其中，u = ( u 1 ，让n ) t ，v = ( v l ，) t 。则对于经典解，方程( 1 1 8 ) 可等价地 改写为 l 饥一= 0 ， t ( 史二l 等铲) 。一( 史二= - 辫) 霉= 。， q 2 2 其中，我们记 a ( u ，口) = 1 - t - l u l 2 一i v l 2 一i “1 2 i v l 2 + ( u ，移) 2 。 ( 1 2 3 ) 在本文中，我们将讨论方程组( 1 2 2 ) 的一些有趣的性质，如非严格双曲、常重特征 根、特征传播速度的有界性、所有特征场的线性退化、富有性( r i c h n e s s ) 等。在 此基础上，对于方程( 1 1 8 ) 的c a u c h y 问题、d i r i c h l e t 问题和n e u m a n n 问题的经典 解，我们给出了整体存在定理的证明。并且，对于方程( 1 1 8 ) 的通解，我们也给出 了一个精确表达式，它包含两个不相关的任意函数。 我们的主要结果为下面的定理1 1 和定理1 2 。 定理1 1 如果n 2 ，并进一步假设在所研究的区域上有 a ( u ，v ) 0( 1 2 4 ) 成立，则( 1 2 2 ) 是一个非严格的双曲方程组，它有两个佗重常特征根；进一步地， 特征传播速度是有限的( 不超过光速) ，所有特征场在三诚义下是线性退化的( 参 见删) ，并且方程组( 1 2 2 ) 在s e r r e 意义下是富有( r i c h ) 的( 参见例) 。 注记1 3 对于佗= 1 的情况，如果条件( 1 1 9 ) 成立，则正如注记j 对旨出的那样， 方程( 1 1 8 ) 正是b o m i n f e l d 方程。在这种情况下，很容易检验方程组( 1 ，2 2 ) 是一 个2 2 的严格双曲方程组，并且两个特征场是线性退化的。更进一步地，方程 组( 1 2 2 ) 的富有性在这种情况下就很显然了。 6 上海交通大学博士学位论文 注i z 1 4 事实上，假设条件( 1 2 4 ) j 正- 是保证曲面为类时的条件。当n ：1 时，条 件( 1 2 4 ) 就是( 1 。1 9 ) 。这样，对于类时曲面，定理! j 的结论总是成立的。 下面，我们考虑方程( 1 1 8 ) 的c a u c h y 问题。设其初值为 多( o ，z ) = ，( 。) ，妒。( o ，x ) = 9 ( z ) ， ( 1 2 5 ) 其中，是一个给定的c 2 向量值函数，夕是一个给定的c 1 向量值函数。定义 a 土( 扣南9 ( 瑚士涵翮i o ( 1 2 6 ) 我们假设 a + ( z ) a 一( y ) ， v x ，y 跫。( 1 2 7 ) 在第三章中，我们将证明下面的整体存在性定理： 定理1 2 c a u c h y 问题【( 1 1 8 ) 和( 1 2 5 ) 】在r + r 上有一个唯一的整体c 2 解= 咖( 亡，z ) ，当且仅当条件( 1 2 7 ) 成立。进一步地，如果整体经典解= ( 亡，z ) 存在， 则它满足 ( 九( 亡，z ) ，也 ，z ) ) 0 ，v ( t ，z ) r + xr 。 ( 1 2 8 ) l 主i e l 5 假设条件( 1 2 7 ) 保证了假设( 1 2 4 ) 的有效性。也就是说，在假设条件( 1 2 7 ) 下， 曲面是类时的。如果条件( 1 2 7 ) 不满足，那么解会在有限时间内破裂，奇性也就出 现了在这种情况下，方程( 1 1 8 ) 在较快特征线碰到较慢特征线的地方就会失去双 曲性。在几何中，这对应于曲面在这些地方不再是类时的现象。 注记1 6 定理j 獬决了b 他i e 椭一个未解决的问题( 参见肛五p 1 6 3 ) 。 7 第二章m i n k o w s k i 空f s - r l + ( 1 抑) 中的极值曲面方程 在本章中，我们先做了一些准备工作，将m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 押) 中的类时极 值曲面方程加以化简、整理，给出了方程组的特征根、特征向量、r i e m a n n 不变 量，并证明了方程组一些重要的性质，如非严格双曲、常重特征、特征传播速度的 有界性、特征场的线性退化等。最后我们证明了定理1 1 。 记 2 1 基本方程及其简化 在本章中，我们将主要研究方程组( 1 2 2 ) 的一些有趣的性质。 为此，我们首先简化方程组( 1 2 2 ) 。 垂= ( 1 + i u l 2 ) 口一( u ，v ) u ，皿= ( 1 一l 可1 2 ) 牡+ ( u ，v ) v 。( 2 1 1 ) 方程组( 1 2 2 ) 的第二个方程可以改写为 也就是 ( 南) 。一( 南卜， ( 2 1 2 ) 垂掣一掣+ 2 a ( m ( 卧_ 0 0 ( 2 1 3 ) 把( 1 2 3 ) 式和( 2 1 1 ) 式代入到( 2 1 3 ) 式中，则有 ( 1 + i u l 2 ) 0 2 0 ， a b d 一1 cb m i = ( a ( u ，移) ) 俨1 0 。 0d 口 ( 2 1 1 2 ) ( 钆，可) = ( 1 + i u l 2 ) ( 1 一i v l 2 ) 十亿，秒) 2 。( 2 1 1 3 ) 另一方面，m ( 2 1 7 ) 式可得 其中， m = c 让，可，厶靠+ 心，移，i 匀 ( 2 1 1 4 ) 口= - ( 1 一i v l 2 ) ，6 = c = 一( 铭，移，d = 1 + l u l 2 。 ( 2 1 1 5 ) m ( 2 1 1 3 ) 式和( 2 1 1 5 ) 式可得 记 a ( u ，钐) = b c a 矗。( 2 1 1 6 ) a = c 钆，口，厶x n ，b = 心，秒，c = e ，= 一i ： 一。 c 2 1 1 7 ， 1 1 第二章：m i n k o w s k i 空n r i + ( 1 + n ) 中的极值曲面方程 m ( 2 1 1 1 ) 式和( 2 1 1 6 ) 式，我们可以发现a 是一个非奇异的n 佗阶矩阵，d 是一 个非奇异的2x2 阶矩阵。另一方面，由( 2 1 1 4 ) 式有 j m = j a + b ( 一。) 一1 g i = j a - b d - 1 c i = 砑1 i 。i 。i a - b d - t c j 。( 2 1 1 8 ) 现在，我们应用引理2 1 ，则可得 把( 2 1 1 7 ) 式代x ( 2 1 1 9 ) 式，并注意至l j ( 2 1 1 5 ) 式，则有 m i a ( u ，v i ( a ( u ，u ) ) 竹 ：= 一 ( 一( 札，u ) ) _ 1 = 一( ( 铭，杉) ) 铲1 一肾圈 ( a ( u ，口) 厶n ) _ 1 u ， 】 d 一矿钆- b u t v m_ 一c 一钉让 0 一钉1u ( a ( u ， ) ) ”1 0 。 至此，引理2 2 证毕。 注记2 1 特别地，当佗= 1 时，我们有i m i = 1 。 1 a ( u ， ) = 一( ( 铭，移) ) p 1 1 0 o一1 ( 2 1 2 0 ) 口 在本章里，我们总是假设条件( 2 1 1 1 ) 成立。这样，由引理2 2 ，方程组( 2 1 9 ) 可 以简化为 ：二嚣旷蒜一。卜瑞旷蒜u 刈。 ( 2 1 2 1 ) u r r 珏 口 珏 u ? t 珏 移 d 吒 南 上海交通大学博士学位论文 记 2 2m i n k o w s k i 空间中极值曲面方程的一些性质 一定理1 1 的证明 u = ( u 1 ，乱n ，v l ，) t 。( 2 2 1 ) 则，我们可以把方程组( 2 1 2 1 ) 改写为 瓦o u + a ( u ) 筹乩 ( 2 2 2 ) 郇，= 毒k 一嘉n o 仁粥， 通过直接计算，可求得a ( u ) 的特征根为 其中， a 1 兰三入n = a 一， 入札+ 1 三兰入2 n = a + ，( 2 2 4 ) 虹2 南( 一u , v ) 土万雨q 再w 砰再刀) 。( 2 2 5 ) 髋爱n 冀= 2 咄 亿2 l n l e a = ( 0 ，0 ，、1 。，0 ，o ) t ( q = 1 ，他) ；( 2 2 7 ) 衅墨羔皇一咄 2 固 1 3 第二章：m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 棚) 中的极值曲面方程 性质2 1 在定理j j 的假设条件下，( 1 2 2 ) 是一个非严格双曲方程组，它有两个n 重常特征根( 见( 2 2 4 ) 式) 并且，可以如( 2 2 6 ) 式( 相应的，( 2 2 8 ) 式) 那样选取右 ( 相应的，左) 特征向量。 性质2 2 在假设条件( 1 2 4 ) 下，特征传播速度也满足 证明记 则有 入+ ( - 1 ，1 】，a 一 - 1 ，1 ) 。 r = i 乱l ，s = l v i 。 ( 让，v ) = r 8 c o s 0 ， 其中，9 【0 ，丌】是向量和之间的夹角。这样，我们就有 其中， ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ) l i - = 丽i ( - r s c o s 口士汀万虿丽) ， ( 2 2 1 2 ) p 0 ，7 r 】， 1 + r 2 8 2 7 2 s 2s i n 2p 0 。 ( 2 2 1 3 ) 我们只证明( 2 2 9 ) 式的第一部分。( 2 2 9 ) 式的第二部分的证明类似。注意到( 2 2 1 2 ) 式， 我们有 也就是， ( 1 + 7 z ) 入+ ：一7 sc o s 口+ r _ = i j 互_ = 二i i _ 二i 丽，( 2 2 1 4 ) ( 1 + r 2 ) h + r s c o s0 ：以鬲正j j 丽。( 2 2 1 5 ) 把( 2 2 1 5 ) 式的两端平方，则有 ( 1 + r 2 ) 2 入车+ 2 ( 1 + r 2 ) 入+ r sc o s 9 + r 2 s 2c o s 2p = l + r 2 一s 2 一r 2 s 2s i n 2p 。( 2 2 1 6 ) 上海交通大学博士学位论文 把( 2 2 1 6 ) z - l + 7 2 ，可得 这就得到了 ( a + rc o s0 + s ) 2 + a 2 r 2s i n 2 口= 1 一a 车。 ( 2 2 1 7 ) 硅1 。 我们现在要求一1 。 事实上，如果= - 1 ，则由( 2 2 1 7 ) 式有 ( 2 2 1 8 ) rs i n 0 = 0 ，8 7 c o s 口= 0 。 ( 2 2 1 9 ) 情况i 如果r = 0 ，则m ( 2 2 1 9 ) 式的第二个方程，有8 = 0 。在这种情况下，注意 n ( 2 2 1 2 ) 式，我们有 4 = 1 。 ( 2 2 2 0 ) 这与假设h = 一1 矛盾。 情况i i 如果r 0 ，则有0 = 0 或7 r ，且有8 = 土r 。在这种情况下，m ( 2 2 1 2 ) 式，我 们有 4 = 而1 4 - r - 2 1 。 ( 2 2 2 1 ) 这也与假设h = 一1 矛盾。 因此，再注意n ( 2 2 1 8 ) 式，我们可以得n ( 2 2 9 ) 式的第一部分。 这样，性质2 2 证毕。口 性质2 3 在假设条件( 1 2 4 ) 下，特征传播场a 士在l a x 意义下是线性退化的，也就 是说，方程组( 1 2 2 ) 在l a x 意义下是线性退化的 1 5 第二章：m i n k o w s k i 空间酞1 + ( 1 + n ) 中的极值曲面方程 证明我们计算不变量v 入一r a ( 乜= 1 ，礼) 和v 4 印( p = 礼+ 1 ，2 n ) 。 对于每个q 1 ，n ，通过直接计算，我们有 v 。= ( 瓮，等) 小t 孙誓，t = ( 百o a _ 一入一等) e a = 。2 忽， 类似地，我们可以证明 这样，性质2 3 证毕。 v 入+ 即三0 ， vp 礼+ 1 ，2 n 。 ( 2 2 2 3 ) 口 注记2 2 当n 2 时，b o i l l a t 和f r e i s t i i h l e r 的工作( 分别参1 6 1 和s o ) ，可直 接得到入士的线性退化性。 性质2 4 在假设条件( 1 2 4 ) t ，方程组( 1 2 2 ) 在意义下是富有的。 i ：i ：i 已2 3 富有的方程组( 详见文献例的第_ ! 彳彳页) 在保留方程组如下的本质特性 的基础上，归纳分类： 以j 借助严格胁e m 口佗佗不变量进行对角化； 俐 熵空间的无穷维数。 性质2 名的证明在所考察的区域内，我们考虑如下线性方程组： v w = 0( p = 1 ，佗) ， ( 2 2 2 4 ) 其中，伽= w ( u ，口) 是( 仳，u ) 的未知函数；由( 2 2 6 ) 式给定。在2 n 维的u 空间里， 方程组( 2 2 2 4 ) 有n 个线性无关的解，记为凰= r q ( u ) ( q = 1 ，n ) 。类似地， 记助= ( u ) = 几+ 1 ，2 n ) 为如下线性方程组的线性无关解： v w = 0 ( = 佗+ 1 ，2 n ) ， ( 2 2 2 5 ) 1 6 上海交通大学博士学位论文 陋v r 口= 2 n 纛= 二，亿2 舶， d e t ( c a ，p ) 0 ，以及d e t ( c p ，p ) 0 ， ( 2 2 2 7 ) 其中，p = ，p ( u ) 和印，p = 印，p ( u ) 是u 的光滑函数，而如( i = 1 ，2 n ) 由( 2 2 8 ) 式给定。注意到 。( 署札筹) = 帅= 1 ，- 棚) 。 ( 2 2 粥) 把( 2 2 2 s ) 式乘以印，弘，并把它们对弘求和，可得 v 琊( 筹札筹) = 帅= 川_ 办 也就是， 鲁n 尝= o ( p = 川，2 咄 类似地，我们有 警n 警= o ( 及吐川。 ( 2 2 2 9 ) ( 2 2 3 0 ) 把r = 是( ) ( i = 1 ，2 珏) 作为新的未知函数。则，( 2 2 。2 9 ) 式和( 2 2 3 0 ) 式说明 方程组( 1 2 2 ) 可以对角化( 至少在局部区域可以) 。另一方面，因为方程组( 1 2 2 ) g 守恒律形式，则由文献 7 6 】，它是富有的。 这样，性质2 4 证毕。口 注记2 4 方程组( 2 2 2 9 ) 和( 2 2 3 0 ) 被称为方程组( 1 2 2 ) o r i e m a n n 不变量表示。 引入记号 冠= v i + 入一u i ，r + 住= - 4 - a + m ( i = 1 ，佗) 。( 2 2 3 1 ) 第二章：m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 枷) 中的极值曲面方程 蓑“篱i o ， 睁k 咖 ( 2 2 勉) l 警忱警= o ，r 一叫。 卜7 方程组( 2 2 3 2 ) 和( 2 2 3 3 ) 在定理1 2 的证明中起着极其重要的作用。 定理i i 的证明由性质2 1 2 4 直接可得定理1 1 成立。 1 8 ( 2 2 3 3 ) 口 o 0 l l = 趴一如队一如 入 入 + + 跳一挑队一况 ，iifj(1-i_一， 第三章c a u c h y 问题经典解的整体存在性 在本章中，我们基于第二章的结果，证明- j m i n k o w s k i 空间r 1 + ( 1 + n ) 中类时极 值曲面c a u c h y 问题的整体经典解的存在唯一性( 定理1 2 ) 。接下来，我们对类时 极值曲面的齐次d i r i c h l e t 问题和齐次n e u m a n n 问题的经典解的整体存在性进行了 研究。 3 1c a u c h y 问题经典解的整体存在性 一定理1 2 的证明 在这一章中，我们将证明定理1 2 。 定理j 2 的证明由( 2 2 3 3 ) 式，定理的必要性可由d 争x i n gk o n g 和t s u j i 的研究工 作( 参见文献 5 1 】的定理2 1 ) 直接得到( 这里，我们利用了性质2 2 ) 。 下面，我们将证明定理的充分性和( 1 2 8 ) 式。 事实上，c 岫问题 ( 1 1 8 ) 和( 1 2 5 ) 3 的g 2 解等价于方程组( 1 2 2 ) 和初值 t = 0 - 让= ，7 ( z ) ，v = 9 ( x )( 3 1 1 ) 组成的c a u c h y 问题的c 1 解。因此，为了证明定理1 2 ，我们只需证明在定理1 2 的假 设下，c a u c h y 问题 ( 1 2 2 ) 和( 3 1 1 ) 在酞十r 上有唯一整体的c 1 解u = ( 钆t ，v t ) t ：而且，有 ( u ( 亡，z ) ，v ( t ，z ) ) 0 ，v ( t ，z ) 乏+ xr( 3 1 2 ) 成立。 19 第三章：c a u c h y 问题经典解的整体存在性 对任意给定的区间= k 1 ，x 2 】cr ，定义强决定区域如下： i = ( 亡，z ) lt