（光学专业论文）二维环型光子晶体的完全带隙特性.pdf

k ， h ，k j。 n 垫圣 i $ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y 18 0 6 4 12 a b s t r a c t p h o t o n i cc r y s t a li sak i n do fm a n u f a c t u r e dm i c r o s t r u c t u r e 、析t 1 1p e r i o d i c a r r a n g e m e n to fd i e l e c t r i c c o n s t a n t p h o t o n i cb a n d g a ps t r u c t u r eo fp h o t o n i cc r y s t a l i n d i c a t e si t sp r i m a r yp r o p e r t y ，w h i c hi st h eb a s eo fi t sd e s i g na n da p p l i c a t i o n , t h es t u d y o np h o t o n i cb a n d g a ps t r u c t u r ei sa ni m p o r t a n tp a r to fb a s i cr e s e a r c ho np h o t o n i cc r y s t a l i nt h i sp a p e r , s o m er e s e a r c h e sh a v eb e e nd o n ea b o u tt h ep h o t o n i cb a n d g a po ft w o d i m e n s i o n a la n n u l a rp h o t o n i cc r y s t a lb yt h ep l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ( p w m ) t h e t h e o r e t i cr e s u l t sh a v ep a r t i c u l a r l yg r e a ti m p o r t a n c ef o rd e v e l o p i n gp h o t o n i cc r y s t a l sw i t h b i gb a n d g a pa n do p t i c a ld e v i c e so fp h o t o n i cc r y s t a l a sf o l l o w sa r et h em a i nc o n t e n t si n t h ep a p e r ： 1 t h er e l a t i o nb e t w e e nc o m p l e t eb a n d g a pa n dt h r e em a i ni n f l u e n c ef a c t o r s ( 1 a t t i c e s t r u c t u r e ，j f i nr a t i o ，d i e l e c t r i cc o n s t a n tr a t i oo ft w od i m e n s i o n a la i rh o l ep h o t o n i cc r y s t a l s b a s e do ng a a s ，g e ) i ss t u d i e d a c c o r d i n gt ot h ec o m p u t e dr e s u l t ，w em a i n l ys t u d i e d s t r u c t u r e so fc o m p l e t eb a n d g a po ft w od i m e n s i o n a lq u a s i a n n u l a rp h o t o n i cc r y s t a l sb a s e d o ng ei nt r i a n g u l a rl a t t i c e ，o fw h i c hi n n e r - s c a t t e rs h a p e sw e r er e c t a n g u l a r ，s q u a r e ， h e x a g o n a l ，r e s p e c t i v e l y t h ea n n u l a rs 细l 船w i t h c i r c l ei n n e r s c a t t e r ，a l s ow a ss t u d i e d f o rc o m p a r i s o n f o rs e e k i n gt h es t r u c t u r a lp a r a m e t e r so fb i g g e s tc o m p l e t eb a n d g a pa n d t h ec h a n g er e g u l a r i t yo ft h eb a n d g a p ，t h ef i nr a t i o ，d i e l e c t r i cc o n s t a n tr a t i o ，r o t a t i n ga n g l e o fi n n e r s c a t t e r sa n do u t s i d er a d i u so fa i rr i n ga r ec h a n g e d 2 t h er e l a t i o nb e t w e e nc o m p l e t eb a n d g a pa n dt h r e em a i ni n f l u e n c ef a c t o r s ( 1 a t t i c e s t r u c t u r e ，f i l lr a t i o ，d i e l e c t r i cc o n s t a n tr a t i oo ft w od i m e n s i o n a ld i e l e c t r i c c o l u m na n d d i e l e c t r i ca n n u l a rp h o t o n i cc r y s t a lb a s e do ng a a s ，g e ) i ss t u d i e d a c c o r d i n gt o t h e c o m p u t e dr e s u l t ，w em a i n l ys t u d i e dd i e l e c t r i ca n n u l a rs t r u c t u r e sw h i c ha r ee a s i l yt og e t c o m p l e t eb a n d g a p f o rs e e k i n gt h e s t r u c t u r a lp a r a m e t e r so fb i g g e s tc o m p l e t eb a n d g a p a n dt h ec h a n g er e g u l a r i t yo ft h eb a n d g a p ，t h ef i nr a t i o ，d i e l e c t r i cc o n s t a n tr a t i o o f i n n e r s c a t t e r sa n do u t s i d er a d i u so fd i e l e c t r i cr i n ga r ec h a n g e d k e y w o r d s ：a n n u l a rp h o t o n i cc r y s t a l ；c o m p l e t ep h o t o n i cb a n d g a p ；p l a n ew a v ee x p a n s i o n m e t h o d i i p k 妯 中文文摘 中文文摘 将介电常数不同的介质材料在空间中周期性排列而成的人工复合材料即为光子 晶体。光子晶体最重要的特性是具有“光子禁带 ，由于光子禁带的存在，在光子晶 体中传播的光波或电磁波的性质会被改变，利用这种性质可以控制光的传播，从而 在光信息处理方面带来潜在的巨大应用，光子晶体因此成为世界性的研究热点，因 此，对光子晶体的禁带特性的研究是光子晶体研究的重要内容之一。 本文运用平面波展开法( p w m ) 研究了二维环型光子晶体的完全带隙特性。研究 结果为实验制作大带隙光子晶体及新型光子器件提供理论指导。 绪论部分，主要概述了光子晶体的基本概念、主要特征、应用以及光子晶体的 主要研究方向，简单阐述了环型光子晶体的研究现状。 第一章，主要概述了光子晶体的理论研究方法。从m a x w e l l 方程出发，基于平面 波展开法，推导了光子晶体的本征方程，求解该方程即可以得到光子晶体的能带结 构。 第二章，采用平面波展开法研究了二维空气环型光子晶体的完全带隙特性。作 为比较需要，首先研究了二维空气孔型光子晶体的完全带隙特性，分析了晶格结构、 填充比以及介电常数比对二维空气孔型光子晶体的完全带隙的影响，接下来在空气 环型光子晶体的基础上，提出了内介质柱为非圆形的准空气环型( 准环型) 结构， 并详细研究了空气环型和准空气环型光子晶体的完全带隙特性，最后找n t 具有较 大完全带隙的光子晶体的结构参数。对于空气孔结构，通过两种不同材料不同晶格 结构完全带隙的计算，并将带隙宽度与带隙位置进行比较，我们得到如下结论：三 角晶格比正方晶格更容易产生较大的完全带隙。对于空气孔型光子晶体，在相同占 空比的条件下，背景材料的介电常数越大，对应的光子带隙也会越来越大。对于空 气环型光子晶体，当空气坏外径确定，内径逐渐增大时，完全带隙的变化具有先变 窄至消失，然后再次出现增宽又变窄的规律。对于准环型光子晶体，当空气环外径 确定，内介质柱填充率逐渐增大时，完全带隙出现与空气环型光子晶体类似的变化 规律。对于具有较高折射率背景材料组成的光子晶体，准环型结构可以得到更大的 完全光子带隙，如由g e 组成的光子晶体，长方形内介质柱的准环型光子晶体的最大 l l i 福建师范大学硕士学位论文 完全带隙率为2 0 4 ，空气环型光子晶体的最大完全带隙率为1 8 3 ，空气孔型光子 晶体的最大完全带隙率仅为1 4 9 。 第三章，采用平面波展开法研究了二维介质环型光子晶体的完全带隙特性。作 为比较需要，首先研究了二维介质柱型光子晶体的完全带隙特性，分析了晶格结构、 填充比以及介电常数比对二维介质柱型光子晶体的完全带隙的影响。然后从空气环 结构联想到介质环结构，提出了介质环型光子晶体，并采用平面波展开法详细研究 了介质环型光子晶体的完全带隙特性。研究发现，介质柱型光子晶体不容易产生完 全带隙，介质环型光子晶体比介质柱结构容易产生较宽的完全带隙。介质环型光子 晶体与介质柱型光子晶体相比，可以实现完全带隙从窄到宽，从无到有的变化，如 由锗( g e ) 组成的正方晶格光子晶体，介质柱结构的最大完全带隙率为5 4 7 ，而介 质环型结构的最大完全带隙率为8 4 1 ，比介质柱结构提高了3 5 ；g a a s 组成的三 角晶格光子晶体，介质柱型结构没有完全带隙产生，而介质环结构却可以产生完全 带隙。 最后，总结了本论文所做的工作及其研究意义，列举了下一步有待开展的工作。 i v 、4 目录 目录 中文摘要i a b s t r a c t h 中文文摘，。h i 目j 录、0 r 绪论。1 第一章光子晶体的理论研究方法一7 一 第一节引言- 7 一 第二节平面波展开法。一7 - 第三节本章小结。- 1 0 一 第二章二维空气环型光子晶体的完全带隙特性一1 1 - 第一节引言一1 1 - 第二节二维空气孔型光子晶体的完全带隙特性一1 1 一 第三节二维空气环型光子晶体的完全带隙特性- 1 4 一 第四节本章小结。- 2 5 一 第三章二维介质环型光子晶体的完全带隙特性- 2 7 一 第一节引言。一2 7 第二节二维介质柱型光子晶体的完全带隙特性一2 7 - 第三节二维介质环型光子晶体的完全带隙特性 第四节本章小结- 4 0 - 第四章结论一4 3 一 参考文献一4 5 一 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果5 5 一 致谢。一5 7 一 个人简历- 5 9 一 v 绪论 绪论 光子晶体是由不同介电常数的材料周期排列的人工微结构【l 】，它能够禁止频率 在禁带范围内的电磁波的传播。利用光子晶体的这种禁带特性可以设计制作各种光 学集成器件，因此，光子晶体的研究引起了人们的广泛关注。 一光子晶体概念 1 9 8 7 年y a b n o l o v i t c h 1 $ 1 j o h n t z 各自独立地提出了光子晶体的概念，光子晶体是 由不同介电常数的材料周期排列而成的一种人工微结构。由于介电常数存在空间上 的周期性，它对光的折射率同样有周期性分布，在其中传播的光波的色散曲线也会 形成带状能带结构，即光子带隙，也叫“光子禁带”【3 ，4 1 。具有光子禁带的周期性介 电结构就是光子晶体。 根据介电常数周期性排列的方向，通常将光子晶体分为一维光子晶体、二维光 子晶体、三维光子晶体1 5 j ，如图l 所示。 图l 一维，二维、三维光子晶体结构示意图 f i g 11d ，2d a n d3d p h o t o n i cc r y s t a l s 二光子晶体的主要特性 光子晶体最基本的特性是具有光子禁带【1 1 3 1 ，如图2 所示，对光子晶体的应用 研究是围绕其带隙结构进行。光子禁带的大小与光子晶体的微结构、介质柱的形状、 相对介电常数、填充率等因素有关，因此可以从不同的角度来设计光子晶体，从而得 到符合要求的带隙结构。 福建师范大学硕士学位论文 2 dp e r i o d i c i t y ，e = - 1 2 ：l r x t m 。e h m r g a p f o r ， 一1 7 5 ：1 图2 二维光子晶体及其能带结构 f i g 22dp h o t o n i cc r y s t a l sa n db a n ds t r u c t u r e 光子晶体的另一个主要特性是光子局域【1 4 , 1 5 】。如同在半导体材料中引入缺陷后， 电子、空穴能被缺陷俘获一样，如果在光子晶体中引入某种杂质或缺陷，与缺陷态 频率吻合的光子就会被局限于缺陷位置，而不能向空间传输，旦其偏离缺陷位置， 光将迅速衰减，这一特性称为光子局域【2 j 。如果引入的缺陷是点缺陷，则相当于引 入了微腔，处于该缺陷的光子就会被限制在微腔内而不能向任何一个方向传播；如 果引入的是线缺陷，则相当于引入了一个光波导，与其频率相符的光子被局域在线 缺陷位置而只能沿线缺陷方向传播，如图3 所示。 m i c r o e a v i t i e s w a v e g u i d e s 0oooo ooo0o o oooo 麟i 黪7 o o0qo ooo0o ooooo w a v e g u i d e s + c a v i t i e s = d e v i c e s o o o 0 o0oo0 oooooo o o 0000000t 00 = ) 0 00o0 0 00000 o0o0o0000 o ( ： oo o0o 00o 囝。囝oo0 砷oo 。oo 一1 1 - o o o oo ；兮谢、铲侈奄ooo oo o o o o o o o o o9 ”oo ooo o o o oo o0 oo0oooooo0 ( 毋 0o 00o00g00o00o0o ( c ) 图3 二维光子晶体三种缺陷态( a ) 点缺陷( b ) 线缺陷( c ) 面缺陷 f i g 3t h r e ek i n d so fd e f e c ti n2 dp h o t o n i cc r y s t a l s ( a ) m i c r o c a v i t i e s ( b ) w a v e g u i d e s ( c ) w a v e g u i d e sa n dc a v i t i e s 三光子晶体的主要应用 光子晶体是一种新型的光学材料，基于它的一些特性，光子晶体的应用也越来 越广泛。目前主要应用有光子晶体波导【1 6 1 、光子晶体波长选择滤波：i 器 1 7 , i s 】等。 ，-一儿p矗s量；誉 纺移国彩貉囝镑绉彩够一国囝一谚移谚纺 绪论 ( 一) 光子晶体波导 利用光子晶体的光子禁带特性和光子带隙缺陷态的透光特性可以制成光子晶体 波导。当在光子晶体中引入线缺陷时，就相当于在其中引入了一个光通道：光波导， 当线缺陷为直线时，光波导也是直的，当线缺陷成一定角度时，光波导也成一定的 角度。我们还可以通过调节或者改变拐角处介质柱形状、尺寸等结构参数来进一步 减少能量损失。 ( 二) 光子晶体滤波器 利用光子晶体的光子带隙特性和光子带隙缺陷态的透光特性，也可以实现宽带 滤波和极窄带选频滤波【1 7 】。光滤波器是光子技术的基本元件之一，在波分复用、光 电子集成回路等光通信和光学信息处理方面有着广泛的应用。我们通常采用在光子 晶体中引入点缺陷、线缺陷以及面缺陷等方法实现滤波。由于光子晶体具有光子禁 带，因此，一块光子晶体就是一个自然的理想带阻滤波器【1 9 】；而通过在光子晶体中 制造缺陷的方法，可以实现窄带滤波【2 0 1 。 光子晶体的应用远远不止这些，在光子晶体光纤【2 、光子晶体谐振腔、光子晶 体超棱镜、光子晶体分光器等 2 1 - 3 6 l 方面也有广阔的应用前景，而制成光子器件实现。 集成光路后，光子晶体的应用前景将不可估量。 矿 四环型光子晶体的研究现状 ( 一) 光子晶体的研究现状 自从光子晶体的概念提出以来，光子晶体的研究在凝聚态物理、光学、信息技 术、材料科学等领域都引起了广泛关注，国内外对光子晶体的研究，在理论和实验 方面都取得了令人瞩目的成果【3 m 7 l 。 光子晶体的应用主要是基于光子带隙的存在，利用数值计算方法，寻求具有最 大禁带的光子晶体结构，一直是光子晶体研究的重要方向。在光子带隙的模拟计算 中，有很多研究是通过改变光子晶体的某些结构参数来实现的，如改变介质材料的 折射率、填充比、介质柱( 或空气孔) 的形状等；选用不同形状的介质柱( 或空气 孔) ，如选用圆形、椭圆形、方形、三角形等形状以及采用正方形、三角形、蜂窝状 或者复合结构的晶格结构等都是产生大带隙结构的可选择手段【- 1 2 5 4 5 5 1 。这样做的目 的是为了降低或者破坏光子晶体的对称性，从而产生较大的完全带隙，所以还可以 通过采用各向异性材料或者磁性材料来降低光子晶体的结构对称性，同样能增加绝 对带隙的宽度 3 8 , 3 9 。 福建师范大学硕士学位论文 j j ： 光子晶体的另一重要研究方向是通过引入各种不同的缺陷，设计新型的不同的 光子器件 1 5 , 2 1 - 3 1 】。引入的缺陷不同，设计出的光子器件也不同。通常是通过引入点 缺陷得到光子晶体微腔，引入线缺陷制作出光子晶体波导，但大部分光子晶体器件 往往需要同时引入多种缺陷来实现其相应的功能。 可调谐光子晶体的研究也是近年来光子晶体研究中的一个重要方向，人们希望 在调控光子晶体材料几何参数的基础上，通过调控其他外在物理量来改变光予晶体 材料的折射系数，从而实现人工改变光子晶体器件的一些物理性能。目前，许多基于 这一原理的可控器件都己出现，例如，在m a c h - z e h n d e r 干涉计的两个臂填充液晶后， 通过调节液晶的折射率就可以控制光传输的相位5 8 】；在y 型波导的线缺陷区域填充 液晶后，光在不同条件下会分别沿y 型波导的两个支臂进行传输 5 8 - 6 0 】；在光子晶体空 气孔中填充一定密度的电磁感应透明( e i t ) 气体，通过改变控制光的r a b i 频率，使 高频区域能带从完全光子带隙向零带隙转变【6 1 】。 近几年来，人们发现二维光子晶体中存在异常的光的传播现象 6 2 - 9 5 。1 9 9 9 年， k o s a k a 发现，在一定条件下，光在光子晶体中的传播方向对入射角和波长非常敏感， 他把这一现象称之为超棱镜现象( s u p e r p r i s mp h e n o m e n o n ) 6 3 】。2 0 0 2 年，l u o 等人 在由电介质和金属组成的光子晶体中都发现了负折射现象( n e g a t i v er e f r a c t i o n ) 【6 4 】。 目前，光子晶体的负折射现象引起了人们的广泛关注。 ( 二) 环型光子晶体的研究现状 2 0 0 3 年，h a m z ak u r t 等人【吲提出了空气环型结构，并且详细研究了二维正方 品格和三角晶格空气环型光子晶体的完全带隙结构。研究发现，空气环型光子晶体 具有比空气孔结构更宽的完全带隙。 2 0 0 8 年，h a m z ak u r t 等人研究了环型光子晶体平板的完全带隙结构【9 7 1 。同年， 孔令凯等人 9 8 , 9 9 】研究了空气环型光子晶体的负折射特性。通过有效折射率、等频率 曲线的计算得到了空气环型光子晶体负折射成像的最佳结构参数，并分析了内部介 质柱对负折射成像的影响。f d t d 模拟线光源的负折射传输过程，进一步证明了空 气环型光子晶体的负折射特性。 环型光子晶体的概念是最近几年才提出来的，人们对环型光子晶体的研究还比 较少。 绪论 五本论文的主要工作 本论文依托福建省自然科学基金项目( a 0 5 1 0 0 1 4 ) ，福建省科技厅资助项目 ( 2 0 0 6 f 5 0 2 5 ) 。运用平面波展开法( ( p w m ) ) 仿真软件，研究了二维环型光子晶体的完 全带隙特性，深入研究了各个结构参数对环型光子晶体完全带隙的影响。 主要完成如下工作： 首先，概述了光子晶体的基本概念、主要特性、主要应用以及光子晶体的主要 研究方向，简单阐述了环型光子晶体的研究现状。 第二，从麦克斯韦方程出发，研究光在光子晶体传播时的主要方程。在此基础 上详尽阐述了平面波展开法。 第三，用平面波展开方法计算了二维空气孔、空气环型( 空气环型和准环型) 、 介质柱、介质环型光子晶体的完全带隙结构，并分析了晶格结构、介电常数比、介 质柱形状等因素对完全带隙的影响，得到了优化的光子晶体结构参数；计算发现采 用环型结构可以使光子晶体的完全带隙出现由无到有，由窄到宽的变化。 最后，对本文进行总结。 本文的设计和模拟计算结果为实验制作大带隙光子晶体提供很好的理论指导。 福建师范大学硕士学位论文 l ，j 社t - 6 第一章光子晶体的理论研究方法 第一章光子晶体的理论研究方法 第一节引言 光子晶体由于其优越的光学性质，自提出以来就吸引了大批的科学家从事于理 论和实验上的研究。但是由于光子晶体的制备比较困难，所以通常的做法是先从理 论上研究分析光子晶体的特性，再由实验来验证得出的结论，因此，理论计算方法 的研究对光子晶体的研究就显得尤为重要。从晶体结构来看，光子晶体类似于电子 晶体的结构，并且光子晶体的理论部分和固体物理中的能带理论类似，所以通常采 用分析电子晶体的方法和电磁理论来分析光子晶体的特征。由于在光子晶体中光子 之间不存在相互作用，利用m a x w e l l 方程组可以精确地描述光子晶体的性质，这使得 光子晶体的理论计算方法更为完善。目前光子晶体的理论分析方法主要有：平面波展 开法【3 4 1 0 0 - 1 0 2 】( p l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d 简称：p w m ) 、有限时域差分法【1 0 2 1 0 5 】 ( f i n i t ed i f f e r e n e et i m ed o m a i n 简称：f d t d ) 。平面波展开法的基本思想是将电磁场在倒 格矢空间以平面波叠加的形式展开，这样，麦克斯韦方程组就化成一个本征方程， 求解本征值得到传播的光子的本征频率。有限差分时域法的基本思想是将个单位 原胞划分成许多网状小格，列出网上每个结点的有限差分方程，利用布里渊区的周 期性边界条件，同样将麦克斯韦方程组化成矩阵形式的特征方程。平面波展开法通 常用来计算光子晶体的能带结构以及等频图，有限差分时域法通常用来研究光波的 传输以及光子晶体成像问题，由于本文主要研究光子晶体的能带特性，所以本章只 介绍平面波展开法。 第二节平面波展开法 由于光子晶体和和半导体的某些性质很相似，所以光子晶体平面波展开法是最 早提出的研究方法之一，也是光子晶体理论分析方法中应用最广的一种方法【1 d 0 埘】。 根据m a x w e l l 方程推出表征光子晶体的本征方程为： v x 七v 豆( 尹) 】- 等豆( 尹) ( 1 。1 ) _ 三v 日( 尹) 】- 日( 尹) ( 1 - 1 ) 占( 尹) 为相对介电常数，豆( 尹) 为磁场强度矢量，在光子晶体中均是空间位移矢量尹的 周期性函数；国为振荡频率；c 为真空中光速。 福建师范大学硕士学位论文 由于磁场强度詹( 尹) 呈周期性分布，因此满足b l o c h 定理【1 0 6 ： h ( f ) = 一e x p ( i k 尹) 乃( 尹) 色( 1 - 2 ) 厅扩+ 犬) = 而( 力 其中孟= 确蟊+ 秀+ 他秀为格矢，磊，毛，面为基矢，m ，m 2 ，鸭为任意整数。 色为垂直于波矢云且平行于豆的单位矢量。根据固体物理的能带理论，晶体的周期 性结构可以在倒空间描述。定义倒格矢否= 五+ 如匠+ 毛嚣，五，匠，反为倒格基矢， 五，乞，厶为任意整数。并且，倒格基矢与正格基矢满足以下关系： 柏= 2 砸 = 【岍2 x , i = ( i , j = 1 , 2 , 3 ) ( 1 3 ) 将忍( 尹) ，瓦1 万在倒空间展成傅里叶级数： 豆( 尹) = 向( g ) e x p ( 卮芦) 丽12 1 ( g ) e x p ( 面力 把( 1 。4 ) 式带入( 1 2 ) 式求出百( 尹) 的表达式为： 豆( 尹) = 厅( 西，名) e x p f ( 云+ 6 ) 尹】蟊，云+ 弓( 允= 1 ，2 ) 把( 1 5 ) ，g , 2 ( 1 6 ) 式代入( 1 1 ) 式，方程左边化为： z u s = - z z 一1 ( 每一香) 厅( 香，a ) e x p i ( i + g ) 即( 云+ 茸) ( 云+ 6 ) 乞，云+ 香】 g 五西 方程右边化为： r h s = 等办( e ，旯) e x p f ( 云+ 龟) 刁乞，云+ 龟 o g 。 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 - 6 ) ( 1 - 7 ) ( 1 - 8 ) 由于e x p f ( 云+ 龟) 尹对不同的吞相互独立，所以上式中e = 瓯的各项系数分别 相等，由此可得到： 第一章光子晶体的理论研究方法 一1 ( e 百顺。( 云+ 弧酊+ 面】，- 等办( 鳓乞j 雨 ( 1 - 9 ) 将式( 1 _ 9 ) 改写成矩阵形式，并且方程两边同时左乘( 皇j + 西，乞j 砺) 7 得： 萋g 。1 一邮+ 啡+ 引 f 巳矗磊乞矗6 ，一乞。f 镐气j 韬l l 一巳，“g 巳j + g ，巳j + g i 。巳，“g 孵1 ) 、1 ：譬孵，1 ) 、1 ( 1 - 1 0 一) l 办( 否，2 ) j - 7 l 矗( e ，2 ) j 方程( 1 1 0 ) 是典型的求解矩阵本征值的问题，在实际计算过程中，当每取n 个值 时，式( 1 - 1 0 ) 便化为一个含有2 n 个未知量的2 n 维方程，系数矩阵为2 n 阶复数厄密矩阵， 本征值为等。因此，本征方程( 1 1 ) 的求解转化为矩阵本征根以及对应本征量的求解。 在s c h o d i n g e r 方程中： 豪- 2v 2 川叫帕) = 劬掣 设5 c ，( 厂，r ) ：驴) e x p 卜- _ l e t j ，代入上式，有 芴- h 2e x p l _ - l e t 脚小) 帅) e x p 盲- i e t j = 姒，) 咩】e x p 旨- i e t 】 毒! v ：p ) 一u p ) p ) = 一印p ) z 垅 v 2 妙( ，) + 虿2 m 【层一u ( ，) 】y ( r ) = o 上式中，e 为原子能量，m 为原子的有效质量，u ( r ) 为周期势垒。 由量子力学的分析可知，e 只有在符合一定条件时方程才有解，或者说e 在某些 福建师范大学硕士学位论文 ：再i ： 范围取值时波函数才存在，这就是固体能级产生的理论依据。 再对光子晶体进行分析：光子晶体满足m a x w e l l 方程组，并且可以发现电磁波中 磁场h ( r ) 满足于方程： v ( 击v 咄，) = ( * 砷， 这里占( ，) 和4 r ) 分别是介质的介电常数和磁导率；c 为真空中的光速；国为传 输光的频率。对于研究能带结构，本文采用平面波展开法来求解该方程，又对二维 情况利用平面波展开法可得至i j t e 模和t m 模的本征值方程【1 0 7 1 ，t e 模本征值方程为： 磊s 一1 ( g g 。) l g - l ( g 一g ”) ( 尼+ g ) ( 后+ g ) 髓( g ) = 7 0 ) 2 绣( g ) t m 模本征值方程为： 磊s 一1 ( g - g t ) 一1 ( g f _ g ”) ( 尼+ g f 懈+ g t ，、丽i k + g i 吃( g ”) = 等( g ) 这里g ，g 。，g ”为倒格子矢量，k 为波矢，s ，- 1 是f ( ，) 和：k r ) 各自的傅里 叶变换。求解出e 模和t m 模的本征值方程便可以得n - 维光子晶体的能带结构。这 就是关于二维光子晶体的平面波展开法。 第三节本章小结 本章从m a x w e l l 方程出发，基于平面波展开法，推导了光子晶体的本征方程， 从该方程出发，我们可以很容易获得光子晶体的能带结构。利用这种方法可以确定 光子晶体的禁带位置和宽度，且计算量小。 第二章二维空气环型光子品体的完全带隙特性 第二章二维空气环型光子晶体的完全带隙特性 第一节引言 光子晶体是由不同介电材料周期排列而成的一种人工晶体，它的主要特征之一 是具有光子带隙，在具有完全禁带的结构中，频率位于禁带中的光在各个方向上都 是不能传播的。一般来说，光子晶体的带隙宽度越大，其性能越好，就越有应用价 值1 0 8 1 ，因此在理论上研究带隙的性质，设计出具有尽可能大的带隙的光子晶体具有 重要意义。 近年来，有关二维光子晶体带隙结构方面的研究很多【4 3 5 5 1 ，但是这些研究主要 集中在空气孔结构和介质柱结构光子晶体的研究，而对于空气环结构的研究却少有 报道【9 6 - 9 9 1 。国外已有实验发现，采用光刻蚀法制作空气环型结构的光子晶体相对空 气孔结构会节省大量的时间【l l l 】，并且空气环型结构相对普通的空气孔和介质柱结构 增加了几个结构参数，再加上其结构参数的多变性，因此具有更重要的研究意义。 本章采用第二章提出的平面波展开法，分别研究了晶格结构，填充比以及介电审 常数比对二维空气孔型光子晶体的完全带隙的影响，并在此基础上，研究了空气环 型光子晶体的带隙特性，最后找到了具有较大完全带隙的光子晶体的结构参数。 镶。4 妒 第二节二维空气孔型光子晶体的完全带隙特性 二维空气孔型光子晶体不同晶格结构图如图2 1 所示，空气孔在砂平面是按照正 方形和三角形周期性排列，晶格常数为a ( a - - 1 ) ，背景材料介电常数为，空气孔的介电 常数为o 空气孔半径为r a d i u s 。 ( a ) 正方晶格 三角晶格 图2 1二维空气孔型光子晶体不同晶格结构示意图 f i g 2 - 1s t r u c t u r e so f t w od i m e n s i o n a l p h o t o n i ce r y s t a lw i t h a i rh o l e si nd i f f e r e n tl a t t i c e s 福建师范大学硕士学位论文 我们分别选择g a a s ( s = l1 4 ) 、g e ( s = 1 6 ) 两种电介质作为光子晶体背景材料，采用 平面波展开法分别研究了晶格结构，填充比( 空气孔尺寸) 以及介电常数比对空气 孔型光子晶体完全带隙的影响。采用平面波展开法研究了不同晶格结构的空气孔型 光子晶体完全带隙的变化情况结果如图2 2 和2 3 所示。横坐标为填充比( r a d i u s “a = r a d i u s ) ，纵坐标为归一化频率。 t e 厂r mg a p s ( a ) t e 厂r mg a p s ( b ) 图2 。2 正方晶格光子晶体完全光子带隙随填充比的变化( a ) g a a s ( b ) g e f i g 2 - 2c o m p l e t ep h o t o n i cb a n d g a pa st h ea i rf i l l i n gf a c t o rv a r i e si ns q u a r el a t t i c e s ( a ) o a a s ( b ) g e ic-iuph州”，毽8一咨cm吣e芷 一 第二章二维空气环型光子晶体的完全带隙特性 h 一一- 蔷 8 案 邑 分 岙 季 庄 ( a ) ( b ) 图2 3 三角晶格光子晶体完全光子带隙随填充比的变化( a ) g a a sc o ) g e f i g 2 3c o m p l e t ep h o t o n i cb a n d g a pa st h ea i rf i l l i n gf a c t o rv a r i e si nt r i a n g u l a rl a t t i c e s ( a ) g a a sc o ) g e 图2 2 和2 3 中( a ) 、( b ) 分别为g a a s 、g e 两种电介质材料组成的空气孔光子晶 体完全光子带隙随填充比的变化。图中蓝色的为t e 禁带，红色的为t m 禁带，重 合的绿色区域为完全禁带。从图中可以看出，对于二维空气孔型光子晶体，存在三 种光子带隙：t e 禁带，t m 禁带，完全带隙。这里，我们只关注完全带隙的变化情 况，文中其它地方也做此处理。从图中可以看出，在晶格结构相同的情况下，介电 常数比越大，得到的完全带隙越宽；在背景材料相同的情况下，三角晶格相对正方 晶格更容易得到较宽的完全带隙。根据计算结果，得到g a a s 和g e 空气孔型光子晶 (蔷8p忍苗3分岳手m芷 2c：舟盘7墙占4 o 2 1 1 1 o 0 o o o o o o 福建师范大学硕士学位论文 体四种结构最大带隙率及其相应结构参数之间的关系，如表2 1 和2 2 所示。可以 看出，对于g a a s 和g e 空气孔型光子晶体，正方形和三角形品格都存在完全带隙， 但是三角形晶格的完全带隙明显大于正方形晶格结构。 表2 1g a a s 空气孔型光子晶体不同晶格类型完全带隙及参数 t a b l e 2 一lc o m p l e t e p h o t o n i cb a n d g a ps t r u c t u r e so fg a a sa i rh o l e sp h o t o n i ec r y s t a l si n d i f f e r e n tl a t t i c e sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gp a r a m e t e r s 【a 】单位：2 n c c c - 1 ( 仅为晶格常数) 表2 2g e 空气孔两种晶格类型完全带隙及参数 t a b l e 2 1c o m p l e t ep h o t o n i cb a n d g a ps t r u c t u r e so fg ea i rh o l e sp h o t o n i cc r y s t a l si n d i f f e r e n tl a t t i c e sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gp a r a m e t e r s 【a 】单位：2 n c c c - 1 为晶格常数) 第三节二维空气环型光子晶体的完全带隙特性 完全带隙的大小与光子晶体的微结构、介质柱的形状、相对介电常数、填充率 等因素有关，通常采用复合式结构【1 1 2 , 1 1 3 】，用各项异性介质或铁磁性介质代替各向同 性介电材料【1 1 4 , 1 1 5 】，改变散射子的形状【1 1 5 】等方法来降低光子晶体的结构对称性，从 而得到较大的完全光子带隙，而且除了结构对称性外，二维光子晶体完全带隙的存 在也密切依赖于晶体结构中介质柱的形状【l r 7 。1 2 0 】。文献中常见的光子晶体结构是正 方形和三角形排列的空气孔在介质背景里和介质柱在空气背景里，h a m z ak u r t 等人 9 6 , 9 7 】提出了这两种结构的复合结构一空气环结构，并对正方和三角晶格的空气环型光 子晶体的完全带隙进行了分析讨论，发现三角晶格空气环型光子晶体可以得到带隙 宽度与中心频率的比值a c o c o o ( 带隙率) 为1 8 3 的完全光子带隙。本章在此基础 上提出了内介质柱截面为非圆形的准空气环结构( 准环型) ，并利用平面波展开法 第二章二维空气环型光子晶体的完全带隙特性 研究了内介质柱截面分别为长方形、正方形、六角形的准环型光子晶体的完全带隙 结构，作为对比，还研究了内介质柱为圆形的空气环型光子晶体的完全带隙结构， 研究发现，内介质柱的形状、介电常数、旋转角度以及空气环外径对空气环型( 包 括空气环型和准环型) 光子晶体完全带隙都有一定的影响，适当选择结构参数时， 长方形截面内介质柱的空气环型光子晶体可以得到相对较大的完全带隙。 从上节的讨论知道，三角晶格较正方晶格更容易得到完全带隙，所以本文采用 三角晶格空气环型光子晶体，空气环形光子晶体的结构可以看作是由三角格子的空 气孔和介质柱两种类型的光子晶体嵌套而成，计算模型如图2 4 所示，外层的灰色部 分是介电常数为岛的背景电介质，中间的空白部分是介电常数e o = l 的空气电介质， 内层灰色部分是介电常数为蜀的内介质柱，其中( a ) 为长方形截面介质柱，( b ) 为正方 形截面介质柱，( c ) 为六角形截面介质柱，( d ) 为圆形截面介质柱，尺为空气孔的半径 ( 空气环外径) ，厶和如分别为长方形截面内介质柱的长边和短边，为空气环内径， 秒表示内介质柱绕水取轴的旋转角，x ，y 轴的定义见图( e ) 。 凰翮 遴筮x 图2 4 三角晶格空气环型光子晶体的结构，内介质柱分别为( a ) 长方形( b ) 正方形( c ) 六角形( d ) 圆形( e ) 三角晶格结构 f i g 2 4s t r u c t u r eo f t w od i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a li nt r i a n g u l a rl a t t i c e sw i t h r i n g s h a p ea i rh o l e s ，i n n e r - d i e l e c t