（运筹学与控制论专业论文）广义双线性系统状态观测器的设计与容错控制.pdf

i ：；三 n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j a n u a r y2 0 0 8 k l 江 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = 艺 恧。 学位论文作者签名：函1 玄硝 日 期：砌万，7 、垮 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： - ， 1 0 、 、 - 东北大学硕士学位论文 摘要 广义双线性系统状态观测器的设计与容错控制 摘要 广义双线性系统是最接近广义线性系统的一类广义非线性系统，并且广义双线性系 统模型在现实生活中广泛存在，因此对于广义双线性系统的研究具有重要的理论意义和 实际应用价值。目前广义双线性系统理论的研究还处于初始和发展阶段，特别是带有时 滞和参数不确定性的广义双线性系统的研究成果还很少。 本文对于广义双线性系统的状态观测器的设计及其基于观测器的容错控制问题作 了一些研究，本文主要内容概括如下： 1 对于广义双线性系统设计了广义状态观测器，根据l y a p u n o v 稳定性理论获得了 观测器存在的充分条件，观测器增益矩阵通过两种方法获得，一种方法是利用极点配 置，另一种方法是通过改变控制输入变量的定义形式和基于l m i 技术。 2 对于时滞的广义双线性系统设计了广义状态观测器，利用l y a p u n o v - k r a s o v s l d i 泛函和l m i 方法获得了观测器存在的充分条件。对于随机干扰为标准维纳噪音的时滞 广义双线性系统设计了广义状态观测器，利用l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函、n 6 公式和l m i 方法，给出了观测误差系统均方稳定的判据。 3 对于带有时滞和参数不确定性的广义双线性系统的巩状态估计问题进行了讨 论，分别设计了时滞相关的和时滞无关的广义状态观测器，所得结论均涉及到了两个广 义代数r i c c a t i 不等式。 4 对于时滞广义双线性系统基于状态观测器的容错控制问题进行了研究，针对系统 存在传感器故障情形，利用广义代数r i c c a t i 不等式给出了基于观测器的鲁棒容错控制 器的设计方法；针对系统存在执行器的故障情形，根据也控制理论和广义代数r i c c a t i 不等式，所设计的基于观测器的完整性控制器使正常闭环系统和具有传感器失效的闭环 系统都是容许的，并且保持一定的玑性能指标。 关键词：广义双线性系统；状态观测器；随机系统；也状态估计；容错控制 - 0 j ， ，、j 4 - i 东北大学硕士学位论丈 a b s t r a c t o b s e r v e rd e s i g na n df a u l t - t o l e r a n tc o n t r o l f og u l a rb i l i n e a ry s t e m s l o r s i n g u l a r i l i n e a rs y s t e m s a bs t r a c t s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e mi sa k i n do fs i n g u l a rn o n l i n e a rs y s t e mw h i c hi sm o s tc l o s et ot h e s i n g u l a rl i n e a rs y s t e m ，a n ds i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e mm o d e l sw i d e l ye x i s ti n t h ep r a c t i c a ll i v e s h e n c er e s e a r c h i n go ns i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e mi so fg r e a tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a l a p p l i c a t i o ni m p o r t a n c e s of a r , t h es t u d y i n gf o rs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e mt h e o r yi ss t i l lo i lt h e i n i t i a la n dd e v e l o p m e n t a ls t a g e ，t h er e s u l t so fr e s e a r c hf o rs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e mw i t hd e l a y s a n du n c e r t a i n t i e sa l es t i l l s1 e s s t h i sp a p e rf o c u s e so nt h ep r o b l e m so fs t a t eo b s e r v a t i o na n do b s e r v e r - b a s e df a u l t - t o l e r a n t c o n t r o lf o rs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m t h em a i nc o n t e n t sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 t h es i n g u l a rs t a t eo b s e r v e rf o rs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e mi sd e s i g n e da n dt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo ft h es i n g u l a rs t a t eo b s e r v e ra r eg i v e nb yt h et h e o r yo fl y a p u n o v s t a b i l i z a t i o n t w om e t h o d sf o rd e v i s i n gt h eo b s e r v e rg a i nm a t r i xla r ep r o p o s e d o n em e t h o d o b t a i n st h em a t r i xlb yp o l e sc o n f i g u r a t i o n , a n dt h eo t h e rm e t h o du s e sac h a n g eo fv a r i a b l e o nt h ec o n t r o li n p u t sa n dl m it e c h n o l o g y 2 t h es i n g u l a rs t a t eo b s e r v e ri sd e s i g n e df o rt i m e - d e l a ys i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e ma n dt h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg a i n e dt ov e r i f yf o re x i s t e n c eo ft h es i n g u l a rs t a t eo b s e r v e rb a s e do n l y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o na n dl m im e t h o d t h es i n g u l a rs t a t eo b s e r v e ri sd e s i g n e df o r t i m e d e l a ys t o c h a s t i cs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e mw h i c hi t ss t o c h a s t i cd i s t u r b a n c ei sas t a n d a r d w i e n e rp r o c e s s c r i t e r i o nf o re r r o rs y s t e mb e i n gm e a n - s q u a r es t a b l ei sp r e s e n t e di nt e r m so f l y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n ，i t6f o r m u l aa n dl m i m e t h o d 3 t h ep r o b l e mo fr o b u s th 。s t a t ee s t i m a t i o ni sd i s c u s s e df o rt i m e - d e l a ys i n g u l a rb i l i n e a r s y s t e mw i t hu n c e r t a i n t i e s d e l a y - d e p e n d e n ts i n g u l a rs t a t eo b s e r v e ra n dd e l a y - i n d e p e n d e n t s i n g u l a rs t a t eo b s e r v e ra r ed e s i g n e df o rs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e mw i t ht i m e - d e l a y sa n d a l l o w a b l ep a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s t h er e s u l t so b t a i n e di n v o l v et w os i n g u l a ra l g e b r a i cr i c c a t i i n e q u a l i t i e s p 、j 一 r - 1 2 广义双线性系统理论3 1 2 1 双线性系统理论的研究背景3 1 2 2 广义双线性系统理论的研究状况4 1 2 3 广义双线性系统的数学模型4 1 3 状态观测器理论5 1 3 1 状态观测器的基本概念5 1 3 2 广义系统状态观测器理论6 1 3 3 广义双线性系统状态观测器的研究状况7 1 4 时滞系统控制理论7 1 4 1 时滞系统的研究情况7 1 4 2 不确定时滞系统的鲁棒控制和以控制理论8 1 4 3 广义时滞系统的研究进展9 1 5 容错控制理论1 0 1 6 本文的结构安排和主要工作1 l 第2 章广义双线l 生系统状态观测器的设计1 2 2 1 预备知识1 2 2 2 问题描述1 4 v 录 1 4 1 4 1 6 1 7 2 0 2 0 2 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 7 2 7 2 8 3 2 3 3 3 4 3 5 3 5 3 7 4 1 4 2 4 3 4 3 4 4 4 4 东北大学硕士学位论文 目录 5 1 1 问题描述4 4 5 1 2 主要结果4 6 5 2 传感器故障情形t 4 。容错控制4 8 5 2 1 问题描述4 8 5 2 2 主要结果5 1 5 3 数值算例5 3 5 4 小结5 4 第6 章结论与展望5 5 参考文献5 7 致谢_ 6 3 a 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 1 广义系统理论 第1 章绪论 1 1 1 广义系统理论的研究背景 随着现代控制理论的深入研究，以及与其它学科诸如生物、航天、能源、网络、电 力、化工和通讯等应用领域的相互渗透，一类形式更为广泛的动力学系统一广义系统， 越来越引起国内外广大学者的关注和参与。广义系统理论发展得很快，自从2 0 世纪7 0 年代初广义系统的概念被提出以来，不断有新的理论成果在国内外专业杂志和学术会议 上发表，只经过短短的二十几年，广义系统理论已经逐渐发展成为现代控制理论的一个 独立的分支，取得了令人瞩目的研究成果。 广义系统的概念首次被提出是英国著名现代控制理论专家r o s e n b r o e kh h 于1 9 7 4 年在国际控制杂志砌纪聊口砌口，j o u r n a lo f c o n t r o l 上发表的题为“一般动态系统的结构 特征”的论文中。r o s e n b r o c kh h 在讨论复杂电路网络的互相联系时，建立了广义系统 的模型，对广义系统的解耦零点和广义系统的受限等价变换进行了初步讨论。他的工作 受到了控制界的重视，美国学者l u e n b e r g e rd g 和a r b e l 分别在i e e et r a n s a c t i o nc o n t r o l 和a u t o m a t i c a 上发表论文，对线性广义系统解的存在性和唯一性等问题展开了研究，以 及l u e n b e r g e rd g 对非线性广义系统进行了初步探讨，从此拉开了对广义系统理论研究 的帷幕。进入2 0 世纪8 0 年代，越来越多的控制理论工作者对广义系统产生了浓厚的兴 趣，广义系统理论取得了蓬勃的发展。这一阶段的代表成果有：1 9 8 1 年，v e r g h e s e 、l e v y 、 和k a i l a t h 定义了广义系统理论的一些基本概念，如广义系统的脉冲性及脉冲能控性、 能观性，从而建立了广义系统理论研究的基本框架【l 】；1 9 8 4 年，l e w i s 和o z c a l d i r a n z 给 出了广义系统的可达性和可控性的定义【2 1 ；同年，c o b bd 提出了广义系统的可控性、可 观性及其对偶理论【3 】；d a il 进一步将其推广到离散广义系统；至此，广义系统的基本 状态空间结构已经构建完毕；1 9 8 7 年，s h a m a n 和z h o u 研究了广义系统的反馈控制问 题【4 】；b e n d e rd j 和l a u b 分别研究了离散广义系统和连续广义系统的线性二次型最优调 节器问题 5 1 ；l i i lj 和l i n x 分别讨论了时变和时不变广义系统的最优控制问题；1 9 8 9 年， d a il 出版了广义系统理论的第一本专著，系统地介绍了广义系统的理论基础，标志着 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 广义系统的基础理论已经形成，广义系统理论研究又进入了一个新的发展阶段。 从9 0 年代初至今十余年的时间，广义系统的研究已经从基础向纵深发展，涉及到 从线性到非线性，从连续到离散，从确定性系统到含有不确定性的系统，从无时滞的系 统到带时滞的系统，从线性二次型最优控制到卫也控制等各个专题。特别是线性时不 变广义系统，包括可解性、稳定性、能控性、能观性、极点配置、观测器、解耦、马风 控制、最优控制、分散控制在内的各个问题已经解决，建立了相当完备的理论体系。 1 1 2 广义系统的数学模型 广义系统模型存在于社会生产的诸多领域。用广义系统来描述与刻画实际应用中经 常遇到的一些系统比用正常系统来得更自然、精确，因此，对广义系统理论的研究具有 重大意义。广义系统又成为奇异系统、微分代数系统、隐式系统、半状态系统或描述系 统等。连续广义系统的状态方程通常描述为： e ( t ) j c ( t ) = 厂( x ( f ) ，“( f ) ，f )( 1 1a ) y ( t ) = g ( 工( f ) ，“o ) ，f )( 1 1 b ) 式中( 工( f ) ，“( f ) ，t ) 、g ( x ( f ) ，“( f ) ，t ) 分别是x ( f ) 、“( f ) 和t 的刀维和m 维向量函数，工( f ) ，”( f ) 和y ( t ) 分别是适维状态、输入、输出向量，e ( t ) 为奇异矩阵，满足r a n k e ( t ) 】 0 时，广义系统( 2 3 ) 满足0 工( f ) l i ：口p i l x l l ：，则称广义系统( 2 3 ) 是l y a p u n o v 意 义下渐近稳定的，或称( e ，彳) 是稳定的。 定义2 4 如果正则的广义系统( 2 3 ) 稳定且无脉冲，则称广义系统( 2 3 ) 是容许的，或 称( e ，a ) 是容许的。 引理2 2 网广义系统( 2 3 ) 是容许的，当且仅当x ( f ) 0 时，存在正定的l y a p u n o v 函 数矿( x ( f ) ) = x t ( f ) 矿e x ( t ) ，其沿工o ) 求导有矿( 石( f ) ) 0 ，其中p 为可逆矩阵，满足 e t p ：p t e 0 。 引理2 烈s c h u r 幸b 引理) 【5 明对任意矩阵s = 未乏 ，下面几个命题等价： 1 ) s 0 。 2 ) s t i o ，一观1 墨2 0 3 ) 岛2 0 ，墨l - s , ：剐磙 o 。 引理2 4 设x ，f ，y 是具有适当维数的实矩阵，且l l g l l - l ，则存在对称正定矩阵 s 满足腰= f t s ，有 x t f y + y f x t x t s 一1 x + y t s y ( 2 4 ) - 1 3 - 东北大学硕士学位论文 第2 章广义双线性系统状态观测器的设计 2 2 问题描述 考虑如下广义双线性系统 e y e ( t ) = d x ( t ) + en f u , ( t ) x ( t ) + b u ( t ) i = 1 y ( t ) = c x ( t ) ( 2 5 a ) ( 2 5 b ) 式中x ( t ) r ”，u ( t ) r ”，y ( t ) r ，分别表示系统状态，控制输入和量测输出，m ， i = l ，2 ，m ，e ，a ，b ，c 为适维常数矩阵，e 为奇异矩阵，m x ( f ) 为双线性项， ( f ) 是控制输入“( f ) 的第f 个量，m 是与吩( f ) 相对应的常数矩阵。一般情况下，控制输 x u ( t ) 在f 【o ，) 一致有界，即对于任意的f 【0 , o o ) ，r f f u ( t ) qc r m ，其中，q 定义 为q ：= “( f ) r ”i ，曲o ) 吩o ) 咋，一( f ) ，i = l ，2 ，m 。 广义状态观测器设计的核心问题就是重构一个以原系统的控制输入“o ) 和量测输 出少( f ) 作为输入信号量( f ) 的广义动态系统，并使它的输出信号在一定的指标下和原系统 的状态变量x ( t ) 等价。 对于广义双线性系统( 2 5 ) ，考虑如下形式的广义状态观测器 威o ) = 彳舅o ) + m 量( f ) + 曰“+ ( y ( f ) 一c 譬) ( 2 6 ) 1 = 1 式中j ( f ) r ”为广义双线性系统状态观测向量，三r “p 是待设计的系统观测器增益矩 阵，由系统( 2 6 ) 和式( 2 5 ) 不难得出系统状态观测误差状态方程 影( f ) = ( 彳+ m 吩o ) 一三c ) e ( f ) ( 2 7 ) t = l 引入p ( f ) = x ( f ) 一曼( f ) 为系统状态观测误差，满足初始状态e ( o ) = 叠( 0 ) 一x ( o ) ，我们的 主要目的是设计系统状态观测器增益矩阵三，使得对于任意初始状态e ( o ) ，总有式 l i m e ( t ) = l i m 量( f ) 一x o ) 】= 0 成立。 t - - ot - - 粕o 2 3 主要结果 2 3 1 极点配置方法 首先给出如下假设： 1 4 东北大学硕士学位论文 第2 章广义双线性系统状态观测器的设计 假设2 1 对于广义双线性系统( 2 5 ) ，奇异矩阵e 满足d e g d e t ( s e - a ) = ， n ，则存在 可逆矩阵p ，q ，使得p e q = 乞o j ，剐q = 吾z ， ，朋= 主 ，c q = c c g ， p n , q = 瞄d e t c 一，+ 善m ，咋c 呦。，且有兕= 乏 ，其中，为幂零矩阵， i ，为稳定矩阵，2 ，为对角矩阵，其元素均非负，i = 1 ，2 ，朋。 定理2 1 在假设2 1 条件下，若存在一组常数层，尾，使得( e ，彳+ n i l , ，0 能 检测的，那么一定存在常数矩阵三，使得对于任意一致有界的控制输) ku ( t ) ，广义双线 性系统( 2 5 ) 存在形如式( 2 6 ) 的广义状态观测器。 证明根据假设2 1 ，有 ( f ) = 似+ f ( f ) 一上c ) e ( f ) 营 i = 1 册 p e q q 一蚴= p 似+ n ，u , ( t ) - l c ) q q 叫p ( f ) 硼，= 4 + l ，吩o ) 一厶q 一厶c 2 - l ：c ,厶一，+ 2 f u , ( t ) - l 2 c 2 其悯= 嘲咧f ) - ，令删可撼2 8 ) 为一个上三角形觫由 于q 为可逆矩阵，因此要证l i m e ( f ) = 0 ，只需证l i i i l 盯( f ) = o 即可。由式( 2 8 ) 有 忱( f ) = ( l 一，+ 2 。( f ) ) c r 2 ( f ) ( 2 9 ) 由假设2 1 知o - 2 = 0 ，因此只需证明子系统 c l h ( f ) ( 2 1 0 ) m 屈，c ) 为能检测的，则由引理2 1 知 东北大学硕士学位论文第2 章广义双线性系统状态观测器的设计 ( 4 + l ，屈，q ) 也是能检测的，那么互= 4 + l ，屈- 1 1 c , 具有任意指定的特征值。 同时对于这组常数屈，尾，记砺( f ) = 吩( f ) 一层，江1 ，2 ，聊，由于“( f ) 在f 【o ，) 一致 有界，则0 善巧( 力m 川：在， 。，o o ) 上也是一致有界的，记k = 晋8 喜砺( ，) l 川：，：表示 与对应的向量2 一范数相容的矩阵的2 - 范数。我们不妨选择厶使得彳的，个特征值乃( 互) ， 1 ，为互不相同的实数，这里乃( 互) 表示五的第个特征值，且使 k + m a x 力( 互) 0 ，成立，将互，砺( f ) 代入式( 2 1 0 ) ，则有 k ，g r 由此得到 反( f ) = ( 互+ m ，砭o ) 一厶q h ( f ) ( 2 1 1 ) 吼( f ) = o x p 7 毛f q ( 。) + f e x p 互。一f ) ) ( 喜l ，砭( f ) h ( f ) d f ( 2 1 2 ) 这里的e x p 表示指数函数，由式( 2 1 1 ) 有 1 1 仃, ( o l l ：鲫k m a x 五, c 五) ) i | 刊1 2 + f 唧卜唆互蜘酬小 e x p r 臻乃( 互) ) 1 l q ( o ) l | 2 + f e x p 根 k r ) | 1 2 卜 = o ) | f 2e x p t x + m a x 2 ，( 4 ) ) 因此烛q ( f ) = 0 ，由定义2 3 知广义系统( 2 1 2 ) 是l y a p l l l l o v 意义下渐近稳定的，则 存在常数矩阵，使广义系统( 2 6 ) 是广义双线性系统( 2 5 ) 的一个广义状态观测器。 2 3 2 极点配置方法的设计步骤 定理2 1 已经证明了当控制输入“( f ) 在f 【o ，) 一致有界，并且广义双线性系统( 2 5 ) 中的参数矩阵m 和状态观测器反馈增益矩阵满足假设2 1 时，若存在一组常数层， 尾，使得( e ，彳+ m 屈，c ) 能检测，那么一定存在常数矩阵三，使得对于任何一致有界 的控制输入“( f ) ，系统( 2 6 ) 为广义双线性系统( 2 5 ) 的广义状态观测器。 下面给出观测器的具体设计步骤： 1 6 东北大学硕士学位论文第2 章广义双线性系统状态观测器的设计 步骤i 对于控制输) k u ( t ) 一致有界的广义双线性系统( 2 5 ) ，首先判断是否在满足假 设2 1 的可逆实矩阵p ，q ，如果存在，继续步骤2 ；否则，此方法不可取，( 关于可逆 矩阵p ，q 的求法可参考文献 6 0 】) 。 步骤2 选定一组常数层，尾，判断( e ，彳+ f 屈，c ) 是否是能检测的，如果 i = l ( e ，彳+ m 层，c ) 是能检测的，转步骤3 ；否则，返回步骤2 ；如果不存在这样的一组常 数使得( e ，么+ f 屈，c ) 能检测，则此方法不可取。 步骤3 配置系统( 4 + m ，屈，c 1 ) 极点在指定的位置上，由此来计算矩阵厶，判断 k + m a x 。磊( 互) o 是否成立，如果是，则对于任意一致有界的输入“( f ) ，广义双线性系 统( 2 5 ) 存在形如式( 2 6 ) 的广义状态观测器，转步骤4 ；否则，此方法失效。 步骤4 计算状态观测器反馈增益矩阵= ，1 台 ，将代入系统( 2 6 ) ，就得到广义 双线性系统( 2 5 ) 的广义状态观测器。 2 3 3l m i 方法 前面讨论了广义双线性系统( 2 5 ) 的广义状态观测器的极点配置的设计方法，下面将 给出另一种更广泛的方法一l m i 方法。对于广义双线性系统( 2 5 ) ，仍然考虑形如( 2 6 ) 的 广义状态观测器，其观测器误差状态方程仍为式( 2 7 ) ，则有如下定理： 定理2 2 广义系统( 2 6 ) 为广义双线性系统( 2 5 ) 的一个广义状态观测器的充要条件 是：存在矩阵q 和可逆矩阵p ，使得下面的矩阵不等式成立 e t p = p x e 0 ( 2 1 3 ) 彳t 尸+ 尸t 彳+ c t q + q t c + ( m 吩( f ) ) t 尸+ 尸t m ( f ) o ( 2 1 4 ) i = 1i = 1 此时状态观测器反馈增益矩阵己取为三= 一，t q t 。 证明不失一般性，取正定的l y a p u n o v 函数矿( x ( f ) ) = x t ( f ) e t p x ( t ) ，其中 矿p = p t e 0 1 7 东北大学硕士学位论文 第2 章广义双线性系统状态观测器的设计 矿( p ( f ) ) 则沿式( 2 7 ) 求导，有 矿( p ( f ) ) = ( 髓( f ) ) tp e ( t ) + e t ( f ) 尸t ( 成( f ) ) = ，( f ) ( 彳t p + ，么一c t l ? p 一，c + ( n , u ，( f ) ) t p + p t n i u i ( t ) ) e ( t ) 则由定理条件知，矿( e ( f ) ) 0 ，由引理2 2 知广义系统( 2 7 ) 是容许的。 注意在定理2 2 中，矩阵不等式( 2 1 4 ) q 日含有控制输a u ( t ) 的变量o ) ，由于( f ) 是 定义在不确定集合q 中，因此每个嘶( f ) 都被看作是结构的不确定性，这对于我们应用 l m i 方法研究系统的稳定性具有一定的保守性。因此为克服这种保守性，我们引入坼( f ) 新的定义形式：将( f ) 重新写成u a t ) = 呸+ q 岛( f ) ，其中呸，q 都是常实数，并且 = o 5 ( 一+ 吩m i n ) ，吼= o 5 ( 吩嗽一吩m i n ) ，f = l ，2 ，m ，新变量占( f ) 西c r ”，其中 西净 s r 册i 岛曲= 一1 岛毛一= l 。同时作如下定义：= 【q m m 】， 心：k 厶】t ，彳：么+ 羔m ，占= b d i a g ( s ，i ) ，f - 1 ，2 ，所，这里的b d i a g ( 书) 代 表块对角矩阵，我们不难知道矩阵占是有界，且i | s i l 1 。 基于以上定义，有f 面的定理： 定理2 3 广义系统系统( 2 6 ) 为广义双线性系统( 2 5 ) 的一个广义状态观测器的充分条 件是：存在矩阵q ，可逆矩阵p ，和对称正定矩阵s ，使得下面的矩阵不等式成立 e t p = p t e 0( 2 1 5 ) p 所+ 絮删观0l 。 d i研尸 一s j 一 、 这里的s 满足s a s ：a s s ，此时状态观测器反馈增益矩阵取为l = 一p - t q t 。 证明由以上定义，状态观测误差方程( 2 7 ) 可改写为 髓( f ) = 似- l c + 马a 如l ) p ( f ) 根据引理2 4 ，则定理2 2 中的不等式( 2 1 4 ) 等价于 t p + p t 2 + q 、1 c + c 1 q + 2 p r h i s h 2 1 8 ( 2 1 7 ) 东北大学硕士学位论文第2 章广义双线性系统状态观测器的设计 sa 1p + p la + 0 1c + c lq + p lh l s 叫h ：p + h ；s h 2 q 1 8 ) 由引理2 3 知式( 2 1 8 ) 等价于l m i ( 2 1 6 ) ，因此当矩阵不等式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) i n 时成立 时，定理2 2 的条件一定成立，即有矿( e ( f ) ) o ，因此我们得出如下定理： 定理2 4 广义系统( 2 6 ) 为广义双线性系统( 2 5 ) 的一个广义状态观测器的充分条件 是：矩阵】，q ，对称正定矩阵x ，s ，和描述的矩阵磁，使得下面的l m i 成立 i 研( 二聊+ 字_ l 。 ( 2 1 9 ) 【- 研( 涩+ 鹾y ) 一s j p 一7 其中 形= 矛( + 鹾功+ ( 涩+ 鹾y ) t 2 + c t q + q t c + 研s h 2 这里s 满足s a 8 ：占s ，此时状态观测器反馈增益矩阵l 取为l = 一( 翘+ 鹾y ) - t q t 。 一1 9 东北大学硕士学位论文 2 4 数值算例 2 4 1 极点配置算法举例 第2 章广义双线性系统状态观测器的设计 考虑广义双线性系统( 2 5 ) ，其系统参数矩阵为 i 1 00 o l ii l00 10i e = ll ， 1 000 0 l l0 00 0l l j r - 3 20 l 10 - - 40 m 2 l 一1 o1 l 10 0 60 r 3 00 0 7 - 1 000 r 一1 00o l 彳= l 三言? 三i ，m = i 言丢三呈i ，鸩= i 二1 5 苫? 3l， l0 0 0 ll l0 0 62一li l 00 200i | - l o1 o l c = l o1lol ，b 为任意矩阵，m i n 吩( f ) 吩一，吩m i n ，嘶m i n 【- 0 00 0 j 为实数， i = l ，2 ，3 。 现给定一组常数( 屈，屈，屈) = ( o 5 ，1 ，0 5 ) ， 由于 枷 s e - 彳纠“ 即( e ，么+ m 屈，c ) 是可检测的，并且由给定的条件易知存 在可逆矩阵p = i ：三0 三； l1 11 l0 0 10 r1 0 0 i 一1 11 q = i l0 10 l 【-