（运筹学与控制论专业论文）基于radon变换的图像重建相关算法研究.pdf

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l a e ，ac o n v o l u t i o n - b a c k p r o j e c t i o nm g o r i t h m so ft h ei n v e r s i o no fk ( o 南 礼) - p l a n et r a n s f o r mi sd e r i v e d i f 七= 死1a n d 居= 1 t h e ya x en o v e lc o n v o l u t i o n - b a c k p r o j e c t i o nm g o r i t h m so ft h ei n v e r s i o n so fr a d o nt r a n s f o r ma n dx - r a yt r a n s f o r m r e s p e c t i v e l ya n di ti ss h o w e dt h a tt h ea l g o r i t h mi se a s yt oi m p l e m e n tf o rg l o b mi m - a g er e c o n s t r u c t i o na sw e l la sl o c a li m a g er e c o n s t r u c t i o nb a s e do nt h ed i f f e r e n t l y c h o s e nw a v e l e t s f o ri m a g er e c o n s t r u c t i o no fi n c o m p l e t ed a t a ，t h ea n g l e - l i m i t e dt h r e e - d i m e n s i o n m i m a g er e c o n s t r u c i o np r o b l e m i si n d u c e dt ot h ee x t r a p l a t i o np r o b l e mo ft h r e e - d i m e n s i o n a l b a n d - l i m i t e df u n c t i o na n da l li m p r o v e dg pi t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rt h ep r o b l e mi s e s t a b l i s h e db yu s i n gt h ec o n v o l u t i o n b a a ：k p r o j e c t i o nm g o r i t h m n u m e r i c a le x p e r i - m e n t sd e m o n s t r a t et h a tt h ei m a g er e s o l v i n gp o w e ro fig pa l g o r i t h mi sb e t t e rt h a n t h a to ft h eo r i g i n mg pa l g o r i t h mf o rn o i s yd a t a f o rt h ei t e r a t i ea l g o r i t h mf o ri m a g er e c o n s t r u c t i o n s ，u s i n gt h es i n g u l a rv a l u e d e c o m p o s i t i o n ( s v d ) ，ar e p r e s e n t a t i o nf o r m u l af o rt h el a n d w e b e rs c h e m ei sd e - r i v e da n dc o n s e q u e n t l yf o rt h ef i r s tt i m et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o ri t sc o n v e r g e n c ei se s t a b l i s h e d a sa p p l i c a t i o n s ，k n o w nr e s u l t sw i t hs p e c i f i ca n d e x p l i c i tc o n v e r g e n c ec o n d i t i o n sa r ee x t e n d e d u n l i k ec o n v e n t i o n a la l g e b r a i ci m a g e r e c o n s t r u c t i o nm e t h o d s ，t h er e s u l t sa l l o wt h er e l a x a t i o nc o e f f i c i e n t st ob ec o m p l e x a n dc a nb eu s e f u lf o ri m a g i n gm o d a l i t i e si n v o l v i n gc o m p l e xs y s t e mm a t r i c e s ( f o r e x a m p l e ，m r i ) f u r t h e r m o r e ，i ti sf o u n dt h a tt h el a n d w e b e rs c h e m ec a l lc o n v e r g e w i t h i nf i n i t ei t e r a t i o n sw h e nt h er e l a x a t i o np a r a m e t e r sa r ec h o s e nt ob et h ei n v e r s e o ft h en o n z e r os i n g u l a rv a l u e s i na l lc a s e st h el i m i ti sg i v e na st h es u mo ft h em i n i m u mn o r ms o l u t i o no faw e i g h t e dl e a s t - s q u a r e sp r o b l e ma n da no b l i q u ep r o j e c t i o n o ft h ei n i t i a li m a g eo n t ot h en u l ls p a c eo ft h es y s t e mm a t r i x f o rac l a s so fp i e c e w i s es m o o t hf u n c t i o n si nr 2 t h ep r o p a g a t i o nl a wo ft h e r a d o nt r a n s f o r mo ft h ef u n c t i o ni sd e r i v e d t h es i n g u l a r i t i e si n v e r s i o nf o r m u l ao f t h eh m c t i o nr a d o nt r a n s f o r mi sd e r i v e df r o mt h ep r o p a g a t i o nl a w am e t h o do f s i n g u l a r i t yd e t e c t i o nu s i n go n e - d i m e n s i o n a lw a v e l e ti se s t a b l i s h e da n di sa p p l i e dt o d e t e c tt h es i n g u l a r i t i e sa n dr e c o n s t r u c tt h es i n g u l a r i t i e so ft h ei m a g eb a s e do nt h e e s t a b l i s h e ds i n g u l a r i t yr e l a t i o n sb e t w e e ni m a g ea n gi t sr a d o nt r a n s f r o m k e yw o r d s ：c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ；i m a g er e c o n s t r u c t i o n ：c o n v o l u t i o n b a c k - p r o j e c t i o na l g o r i t h m ；w a v e l e tt r a n s f o r m ；a n g l e l i m i t e di m a g er e c o n s t r u c t i o n ； a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o n ；t h el a n d w e b e rs c h e m e ；s i n g u l a r i t i e si n v e r s i o no ft h e r a d o nt r a n s f o r m c l a s s n o ：0 1 7 7 6 第一章引言弟一早与i 面 1 1 图像重建简介 图像重建是由投影重建图像的简称，它是由物体的外部发射和接收的信息重 建物体内某种物性参数的图像。如x 射线层析成像( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ) 【7 1 】，简称为x c t ；电容层析成像( e l e c t r i c a lc a p a c i t a n c e ) 【1 0 4 ，简称e c t ；电磁 层析成像( e l e c t r o m a g n e t i ct o m o g r a p h y ) 【7 4 ，简称e m t 等。x c t 是在物体外部 发射和接收x 射线，根据不同位置接收x 射线强弱的变化重建反映物体物性参数的 衰减分布函数的图像【7 1 】；e c t 是在物体周围激励电场，在物体外部接受电容，当 电场改变时，接受的电容也发生改变，根据接收的电容重建物体的介电常数的图 像 1 0 4 。 x c t 发展的早期是以二维图像重建为主，所以称为层析成像。1 9 7 2 年英国 电气工程师g n h o u n s f i e l d 设计发明了第一台x 射线医学c t 机，并在英国投 入使用，这是医学诊断的一次革命。随后，即二十世纪八十年代后，这一技 术，包括它的原理、方法迅速在其它方面扩展，如核磁、声、光等多种物理场 检测成像方面，产生了核磁共振成像( m a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g ，m r i ) 、超 声成像( u r r a s o n o g r a p h y ，u s ) 、正电子辐射断层摄影( p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o g r a p h ，p e t ) 和单光子辐射断层摄影( s i n g l ep h o t o ne m i s s i o nc o m p u t e dt o m o g r a - p h y ，s p e c t ) 、光学断层成像( o c t ) 等先进的成像技术，这些技术应用于工业、 生物、材料、石油、物探、地震、安全等众多领域，被公认为2 0 世纪影响人类发展 的十大科学技术之一f 2 6 1 。c t 成像技术也南已由传统的层析成像( 二维的) 发展 5 f ； 第一壶孑借 出x 射线多层螺旋c t 成像技术、电子束c t 、三维锥束c t 以及多层螺旋等多种扫 描模式的x 射线c t 设备f 3 1 。 关于e c t ，上世纪七十年代，在美i n m o r g a n t o w n 的美国能源部第一次报告了 用于成像流动床的汽固两相流分布，他们开发了e c t 系统。在八十年代中期，英 国曼彻斯特大学的研究小组第一次开发了实时的，用于成像管道中的油气分布图 像。随后，该系统应用于成像传输管道r i 和流化床中的汽固分布成像以及发动机 气缸中燃烧火焰的成像。他们提出“流动成像”( f l o wi m a g i n g ) 这一概念，推动了 国际上工业过程断层成像技术p r o c e s st o m o g r a p h y ，p t ) 的研究【1 0 4 。e c t 的特 点是利用电学敏感场响应快的特点，电容成像数据采集系统可实时获取由于目标 内部多相流体的运动引起的电极间电属性的变化，利用这些数据重构序列断面图 像，能实现以两相流多相流快速变化为检测目标的工业过程的实时成像、检测与 在线控制。e c t 可应用于研究石油、化工等各种气动力物料输送管道中的汽固两 相流、或汽固液多相流的混合、流态化、扩散、反应和燃烧过程，以监控反应器中 的气泡大小、分布以及合并、破碎的过程：通过工业过程模型的建立，研究反应器 中热量传递、质量传递与反应速率的关系，提高反应器的转化率、选择性以及安全 性1 0 8 。 1 2图像重建的数学原理 本节内容请参阅文献【7 l 】。设射线源发射的强度为如，穿过被测物体后由检 测器接收到的x 射线强度为，根据b e e r 定理，在不考虑探测器效率和噪声的情况 下，可表示为： ，= o e - 凡p ( 。，y ) d l 其中函数p ( z ，y ) 为被测物体对x 射线的线性衰减系数。与物体的密度有关，它刻划 了被测物体的密度分布与内部结构。对上式两端取对数，得到， 广 p ( z ，y ) d l = l n ( i o l i ) ( 1 1 ) l 上式右端可通过扫描系统探测获得，称积分为经过路径直线l 的投影或投影数据。 1 2 图像重建的数学原理7 c t 图像重建就是根据不同射线路径的投影数据来确定物体的衰减系数的分 布，用数学语言表示，就是已知函数在沿不同直线路径的积分值，求函数- 厂。在完全 投影数据下，即集合内的投影数据已知情况下，奥地利数学家r a d o n 【8 4 1 在1 9 1 7 年 发表的学术论文中给出图像重建公式。考虑n 维空间的超平面 l ：p = z u ( 1 2 ) 其中z = ( 。t 1 ，x 2 ，z 。) r - , u s 一1 ，u 足n 维空间中的单位向量，p r 1 是原点 到超平面的距离p ，u 为超平面l 的位置参数设，( z ) s ( r ”) ，夕，p ) s ( z ) ，其 中z = s n 一1 r 1 。 a a d o l l 变换尺是函数，( z ) 在超平面l 上的积分， ， r ，( u ，p ) = f ( x ) d x ( 1 3 ) - ， 善u = p r f ( o ，p ) 是单位柱面z = s ”1 r 1 上的偶函数，即 记 r f ( - u ，一p ) = r ，( u ，p ) 耽，0 ) = r f ( c j ，p ) ， j r 社如) = 咖，z 训扎， r ，( ) = ，( z ) e - 2 施出 - ，j r n 尺弁称为背投影运算，r 是f o u r i e r 变换。 定理1 2 1 儆影定理或而u 庀e 砌片定理j n 凡f ( p ) = r ，( 刚) ， 盯r 1 其中r 尺。，( p ) 对变量p 的一维乃“疵e r 变换，r ，是，的n 维乃乱n e r 变换。 定理1 2 2 兄( ，术g ) = r 。( ，) 木兄( 夕) 定理1 2 3 定理1 2 4 定理1 2 5 ( r 社g ) 芈f = j f c 孝( 夕半r ，) r # r f = i s ”一2 i i z i 一1 ，i c ， r 。：l 2 ( f 2 ”) _ 三2 ( 一1 ，+ 1 】，( 1 一s 2 ) ( 1 一n ) 2 ) 是连续的 当q n 时，定义线性算子，a 纯一强2 弓苔 r ( ，。，) ( ) = 咄r ，( ) p 被叫做r i e s z 势如果l 是应用在z 或丁上的函数，它就对第二个变量发生作用 由于，圣，( p 厂) l 1 ( r ”) ，则l 厂有意义且r “，。f = ，, - 7 d a 得至1 r a d o n 变换的逆 变换 定理1 2 6 ，：昙( 2 丌) 1 一n 厂a r 孝，n n + l 夕， 夕：r 厂 特别地，当a = 0 时， f = 去( 2 7 r ) 1 _ ”r 斧，卜“g 对h i b e r t 变换h 有 r ( 日 ) ( 盯) = 一is g n ( 盯) n ( 仃) 于是得到 ，= 妻( 2 丌) 1 一”r 襻h ”1 夕( “一1 ( 1 4 ) 利用 “一= ：；? ：羹雾萋 l ，2 图像重建的数学原理 9 ( 1 4 ) 可表示为 ，c z ，= 互1c2丌，1一n-。一11)(，。-一2)。，2，。fbs,-。一。hgg。n(一1-。，。)口(8，z,xp8，d)d98，：芰雾萋c，5， 由上式，可得二维空间的r a d o n 变换反演公式： o r f ( p ，) m 卅一嘉卜e 两去砑却 ( 1 - 6 ) 式中( r ，口) 是( z ，y ) 的极坐标，白，) 为r a d o n 变换积分直线l 的参数 从求逆公式( 1 6 ) 易见，积分当p = 7 - c o s ( 0 一咖) 时发散，所以，r 胍l o n 求逆公式 中的积分应理解为柯西主值意义下的积分 式( 1 6 ) 还可以用算子方程表示为： r 一= 一寺b 巩d y ( 1 7 ) 式( 1 7 ) 中，r _ 1 表示n z i d o l l 逆算子，b 表示反投影算子，巩和d y 分别表示含有 两个变量的函数对其第一变量的h i l l b e r t 变换和偏导数，表达式如下： 愀班一三7 1 厂悃o o 拦如 l b t l ( r 0 ) = 7 t ( r c o s ( 0 庐) ，币) 踯 由公式( 1 7 ) ，对h i l b e r t 实行正则化逼近，可得到著名二维图像重建的卷积反投影 算法【4 5 ( c o n v o l u t i o nb a c k p r o j e c t i o n 简写成c b p ) 另一种重建方法是代数重建法。假设图像函数的支集在矩形区域内将矩形 区域分成n 扎个小的像素，设n = 珏死，我们将些像素编号为1 至假设射 线有m 条，图像函数在第j 个像素的近似值为，歹= l ，2 ，n ，在第筠鲁线上 的r a d o n 变换为犰，则令x = ( z l ，z 2 ，x n ) ，y = ( y l ，珑，鲫) ，a = ( o 西) ，其 中砚j 是第i 条射线在第j 个像素所截的长度，因此，图像重建就归结为求解下列线性 方程组 a x = y ( 1 8 ) 对于过程成像( e c t ，e m t ) 的问题，由于这类没有显式的反演公式，所以总 是事先离散后，将图像重建归结为解线性方程组。 1 0 1 3图像重建发展概述 凳一牵弓| 言 1 9 6 3 年美国物理学家a m c o r m a c k 提出用谐波展开的方法得到代表图像的函 数求逆公式，该公式将重建的图像用其图像函数的线积分来表示f 2 2 l ，并且利用这 一结果进一步在放射学成像方面进行了医学图像重建的仿真与实验研究f 2 3 1 ，电 气工程师g n h o u n s f i e l d 在1 9 7 2 年研制了第一台用于人体头部诊断的医用c t 机， 鉴于他们对发展医学c t 的突出贡献，a m c o r m a z k s f l g n h o u n s f i e l d 共同获 得1 9 7 9 年度诺贝尔医学奖。从自从上世纪八十年代到现在，图像重建重建的理论、 算法、实验研究以及设备的研制被广泛地重视。我们只对一些较重要的成果作一 些介绍，x c t 的数学基础是r a d o n 变换。早在1 9 1 7 年，奥地利数学家j ，r a d o n 研究 了函数在所有超平面上的积分确定函数的问题8 4 。f j o h n 进一步研究了这个问 题，他称上述积分为p t a d o f l 变换，用平面波方法反演r a d o n 变换，并将r 。d o l l 变换 应用于偏微分方程f 5 6 1 。l ：己a d o n 的重建公式在形式上简捷、完美，但该公式含有求 导运算和奇异积分，求导运算可放大探测数据中的噪声部分，严重污染所重建的图 像；而奇异积分在精确计算上有较大难度 8 4 】。对于r a d o n 变换，j r a d o nf 8 4j 、f j o h n 【5 6 1 、b r a c e w e h 9 1 、a m c o r m a c k 2 2 】、d l u d w i g 【6 7 均独立地获得了不同 形式的r a d o n 变换反演公式。这些重建公式之问一定存在某些内在的联系。事实 上，b r a c e w e l l 与c o r m a c k 的研究结果可以从r a d o n 得到的重建公式直接导出。现在 相关的专著或教科书中经常用到的是d ，l u d w i g 形式的r a d o n 变换反演公式。由该 公式出发，可得层析成像中f o u r i e r 重建法【7 l 】，也可以得到成像效果最好的，被最 广泛应用的滤波反投影算法f 4 5 ，6 6 】。 小波变换作为一个有用的工具能用于r a d o i l 变换反演和图像重建。1 1 ，7 8 ， 7 9 1 。m h o l s c h n e i d e rf 4 9 1 发展了一个用小波变换由函数的投影恢复该函数的框架 并得到了p t a j d o n 变换的反演公式。c b e r e n s t e i n 和d w a l n u t 【5 ，6 】研究了用维小 波反演r a d o n 变换。我们知道，r a d o n 变换的一位小波变换是脊椎变换f l l ，7 8 ，7 9 1 ， 脊椎变换的重构公式分别由m u r a t a 【7 0 ，c a n d g sf 1 1 和本文作者 7 8 】独立地建 立。d d o n o h o 和e j c a n d 6 s 建立了它的更进一步理论基础f 1 1 ，2 9 1 ，预见了它的应 用价值以及做了相应的工作f 1 1 ，2 8 1 。脊椎变换在特征提取和表示，信号去噪和恢 1 3 图像重建发展搬述 复，都表现出传统小波方法无法比拟的优势【2 0 。 许多成像系统在离散情形下可以模型化为下列线性方程组【4 5 ，7 1 ，7 4 ，1 0 4 】 a x = b ( 1 9 ) 其中b = ( b 1 ) t k m 是观察数据，z = ( x 1 - x n ) t k 是图像系数矩 阵a = a m 可能是实的或复的。图像重建就是由观察数据b 重建图像z 由于成 像系统具有噪声且是不适定的，一般的解线性方程组的方法并不适用。迭代方法， 特别是发展了的，基于l a n d w e b e r 格式的迭代方法广泛地应用于图像重建 迭代方法的根本问题是它的收敛性和数值稳定性，这直接关系到成像质 量f 1 0 ，1 6 ，5 1 】建立了相容和不相容线性方程组的收敛性。迭代算法可以根据目标函 数和迭代过程分类。一个最广泛使用的目标函数是加权最小二乘函数【2 5 1 ，加权的 方法随算法的不同而不同，加权方法也称为豫条件方法，适当的加权可改进成像 的适定性；迭代过程可在一次迭代中使用所有的观测数据( 称为同时迭代算法，简 称s a r t ) 或逐块使用观测数据( 称为块迭代算法) 。块迭代算法的优点是具有更 快的收敛速度，算法灵活，适于并行计算。对于迭代算法，个主要闯题是算法的 收敛性和对误差和噪声的数值稳定性，它直接影响重建图像的质量。当数据不相 容时，例如实际应用中数据含有噪声时，使用迭代算法并不总能得到好的结果，原 因是这时算法会产生极限环，又称为半收敛i s l ，迭代过程在数个极限点间摆动，导 致图像质量恶化。对于a r t 算法，研究表明可以通过引入满足一定收敛条件的松 弛因子解决这个问题。而对s a r t 算法，如何引入松弛因子和相应的收敛条件是人 们一直关心的，且多年来没有很好解决的，只是最近，文献f 1 6 ，5 2 ，5 3 】，得到了在 一定的松弛条件下s a r t 算法的收敛性。 层析成像出现的早期，人们使用二维平面的图像，逐层拼叠，用计算机视 觉方法显示三维图像。f e l d c a m p 等提出了三维重建的近似方法【3 0 】，即把函数 限制在一个平面，用二维重建公式，然后让这个平而变化，得到一种三维重建 公式f e l d c a m p 方法由于是二维卷积反投影方法的简单推广，所以它只是对于 小锥形角有效。p g r a n g e n t 【3 9 1 f 1 5 1 给出了发射源沿满足一定条件轨线时锥性 束重建公式，p g r a n g e n t 的方法是基- = r a d o n 变换的反演公式建立的。最近，a 第一章弓l 言 k a t s e v i c h 5 9 1 建立了锥束螺旋c t 的精确卷积反投影重建公式，被认为是三维图像 重建的重大突破，受a k a t s e v i c h i 作的启发，z o uy u 和p a nx i a o c h u a a 1 1 0 】建立 了滤波只在所谓p i 上进行的滤波反投影算法，由于该算法具有局部性，该算法对 具不完全投影数据成像是有意义的。a k a t s e v i c h ，z o uy h 和p a nx i a , o c h u a n 的工 作不是基于r a d o n 变换建立的。 对于重建的图象，人们更关心的是两种物质的交界面或者物质出现断裂 的地方，也就是图象函数出现奇性的地方和有效奇性重建算法。由此导致重 建图象的奇性即r a d o n 变换的奇性的研究。关于r a d o n 变换的奇性和奇性反演， 借助于偏微分方程微局部分析，这方面的工作自上世纪8 0 年代正逐步开展起 来 2 ，7 5 7 7 ，8 7 ，8 8 ，1 0 7 。借助拟微分算子和傅立叶积分算子理论，g b e y l k i n 2 j 研 究了广义r a d o n 变换的奇性反演。我们获得了函数的奇性与它的广义r a d o n 变 换奇性的关系【7 5 ，7 8 1 。张兆田等研究了用包络线法反演函数的奇性【1 0 7 。a g r a m m 等在函数较为特殊的情况下，在经典连续意义下，得到了函数的奇性与 它的r a d o n 变换奇性的关系8 7 ，8 8 1 ，并用微局部分析方法研究了局部和拟局部 重建问题。我们研究了具有实际应用背景的沿圆曲线r a d o n 变换的奇性和奇性反 演【7 7 】o 自数学家r a d o n 有关图像重建学术论文发表至今，在图像重建领域发表了 如g t h e r m a n 、f n a t t e r e r 及a & i 盯l m 等人的一系列代表性论著f 4 4 ，4 5 ，6 6 ，6 7 ，7 2 ， 8 8 1 。 1 4 本文研究内容 本文针对图像重建领域中的x c t 和过程成像的基本问题开展研究。对 于x c t 的数学基础，r a d o l l 变换和x 射线变换及其反演。本文首次在l 2 空间发 展k ( o k 礼) 平面变换的小波反演公式和膏平面脊椎变换的反演公式，并由此发 展了k ( o 后 n ) 平面变换反演的卷积反投影算法，当k = n 一1 和詹= 1 ，它分别是 新的r a d o n 变换和x 变换反演的卷积反投影算法。对于n = 2 和后= 1 ，根据刁i 同的 小波选取，该算法能容易地用于重建整体和局部图像。 1 , 4 本文掰究内褰1 3 限制角图像重建是不完全数据图像重建的一种情形。我们将三三维限制角图像 重建问题归结为三维带限函数的外推问题，并针对投影数据有噪声的情况，本文 建立了改进的三维限制角图像重建的g p 迭代算法，并用卷积反投影算法实现该迭 代算法。数值实验结果表明，对于投影数据带噪声的重建问题，改进的g p 算法图 像重建结果优于原有的g p 算法 卷积反投影算法属于解析重建算法。与解析算法同等重要的重建算法是迭代 算法。对于x c t ，迭代法是将成像问题事先离散为线性方程组，并用迭代方法解 该方程组。对于过程成像( e c t ，e m t ) 问题，由于这类问题没有显式的反演公 式，所以总是事先离散后，将图像重建归结为解线性方程组。l a n d w e b e r 迭代格 式是被广泛应用的图像重建算法。已证明，几个重要的图像重建算法是l e m d w e b e r 格式的特殊情形。l a n d w e b e r 格式的收敛性和它几种特殊情形的研究，如a r t ， s a r t ，d w e 和c a v 均重要的理论意义和实用价值，并被广泛地研究。剧奇异值 分解( s v d ) ，本文导出了l a n d w e b e r 格式迭代解的表达式，并由此首次建立了其它 收敛的充分必要条件。做为这些结果的应用，本文扩展了已有特殊的和显式的收 敛条件。不同于传统的收敛条件，我们的结果允许松弛系数是复的，因此可用于具 复系数的成像模式( 如m r i ) 。进一步发现，当松弛系数取特定值时，迭代能在有 限步收敛，即迭代格式归结为直接方法。在上述所有的情形，极限收敛于加权最小 二乘解加上初始图像到系数矩阵的零空间斜投影。 如果人们特别关心图像函数发生较大改变的地方，例如，两种物质的交界 面，人体组织与病变组织的交界面，就要研究磁d o r l 变换的奇性和奇性反演。考 虑一类分片光滑函数，本文建立了函数奇性r a e l o r l 变换的传播规律。由此得到了 由r a d o n 变换奇性反演的公式。对于图像中有边缘曲线，建立了用一维小波刻画和 探测图像函数奇性曲线的方法，并用于r a d o n 变换的奇性反演。 第二章忌一平面变换的小波反演公式及其算法 2 1引言 设，( z ) 是r ”中紧子集， ) 的k 平面变换是，( z ) 在r ”的k 维平面上的积分。假 设7 r 是月叫p 的一个k 维平面则，( z ) 在7 r 上的k 平面变换定义为 ， r 。，( z ) = 兄，( 丌，z ) = ，( z 7 + z ) 如7 ( 2 1 ) ， r 其中，x = z + z 是z r ”的正交直和分解，z 7 r ，丌上存在函 数，( z ) l 2 ( r ”) 但它并不是k 为平方可积的( 七n 2 ) 【9 8 1 显然，因为，( z ) l 2 ( r ”) 是紧支的，所以，( z ) l 1 ( 兄”) 且厶。r 。厂( z ) 如= 厶。f ( x ) d x ，由此 对于丌，r 。， 打) 几乎处处有定义。如果，( z ) l 1 ( r n ) 有紧支集，则，( z ) 可由 无穷多个相交s u p p f ( x ) 的平面上的k 平面变换唯一确定【9 s 。，( z ) 的k 平面变 换的反演是已知所有的r f ( r r ，z ) 求，( z ) 。r ”中的k 维子空间形成g r a s s m a n n 流 形g 咄函数，( z ) l 2 ( j f 2 ”) 的后平面变换r ，( 丌，z ) 是定义在以g 仉k 为底的同构 于r ”七纤维丛丁( 吼，k ) 9 s 。当后= n 一1 或k = 1 ，g 。，k = s 一1 【9 8 1 因此，对 于k = n 一1 ，( 2 1 ) 式是l a d o n 变换，而7 r 是竹一1 维超平面7 r = p l z u = o ) ：= u 上 令几j ，：z u = p 其中u s ”如果p 0 ，p 是钆尹到原点的距离。p 由u 和p 唯 一决定。f ( x ) 弘j r a d o n 变换为【7 1 cc 月，( u ，p ) = y ( z ) d x = 厂( z 7 + r m ) d z 7 ( 2 2 ) j x 。p j u l 设x ，( u ，石) 定义x 射线变换如果七= 1 ，( 2 1 ) 式是x 射线变换 7 1 ， 广o o x ，( u ，z ) = ，( z + t u ) d t( 2 3 ) 1 5 1 6 第二：毒乎面突换的小波反演公j c 发片劳法 其中u s ”一1 ，z 上= f z r “i z u = 0 ， m h o l s c h n e i d e r 4 9 】发展了怎样由函数的投影恢复函数的一般框架并通过小 波反演公式导出了r a d o n 变换的反演公式。用连续小波，基于r a 甜o i i 变换的卷积公 式c b e r e n s t e i n * t l d w a l n u t 5 ，6 1 也得到了r a d o n 变换的一种小波反演公式 近来，脊椎变换的发展由d d o n o h o ，e j c a n d 6 s 及其合作者的工作f l l ，1 2 ，2 7 2 9 所驱动。设砂是一个适当的小波。r 。f ( z ) 的小波变换为 见厂( 。，6 ) = z 上心，( ) 厕 i i x u - 山i i = h 一孚上n ，( z ) 妒( 掣) 如” ( 2 4 ) 该公式成为厂( z ) 的七平面脊椎变换或象小波变换【1 l ，7 0 ，7 8 】b r u b i n 用小波变换发 展t r a d o n 变换【9 0 ，9 1 】和k 平面变换的驴显式反演公式【9 2 】，并得到了后平面变换 的卷积反投影方法，其中l p n k 对于方程( 2 4 ) ，情形后= 佗1 的类 以p a r s e v a l 等式n m u r a t a 7 0 】、c a l l d 爸s 1 1 】 和本文作者【7 8 】，当他们分别研究神经网络、逼近论和r a d o n 变换反演时，独立地 建立。 f r a s h i d f a z r o k h i 等 8 9 ，基于小波有足够多的消失距，用离散小波，发展 了用过局部区域加部分额外投影数据重建局部区域的方法。在这章中，我们建立 了七平面变换脊椎变换( 2 4 ) 的类似p a r s e v a l 等式，并由此建立了后平面变换的小波反 演公式，发展了k 平面变换的卷积反投影算法。这些结果不同于f 9 0 - 9 2 的结果该 算法可用于局部图像重建和整体图像重建，该算法容易实现并效果很好。 本章首次在l 2 空间发展k ( o k 佗) 平面变换的小波反演公式和k 平面脊椎 变换的反演公式，并由此发展t k ( 0 k 几) 平面变换反演的卷积反投影算法， 当后= n 一1 和七= 1 ，它分别是新的r a d o n 变换和x 变换反演的卷积反投影算法。对 于几= 2 和k = 1 ，根据不同的小波选取，该算法能容易地用于重建整体和局部图 像。 本章组织如下：第二节，我们讨论了七平面变换及其性质；第三节，我们导出 了克平面变换的小波反演公式：第四节，我t 1 由后，i 面变换的小波反演公式得到 了n 维r a d o n 变换反演的卷积反投影算法，并且用得到的算法给出了整体和局部数 27 2k 平面脊椎变换的反演公式 1 7 值结果；r a d o n 变换的卷积反投影算法；第五节；我们得到了七平面变换的卷积反 投影算法，并且讨论了对于n = 3 时x 射线的特殊形式。 2 2 后平面脊椎变换的反演公式 这节中，我们发展了后平面脊椎变换( 2 4 ) 的l 2 ( r ”) 小波反演公式和l 2 ( r n ) 情 形的后平面变换的小波反演公式。我们设一维小波函数矽( s ) l 2 ( r ) nl 1 ( 尺) 是偶 的且对于同定的后，设牙= ( x k + 1 ，z 。) ，虫( 牙) = 砂( 吲) 。其中牙= ( z 七+ 1 ，z 。)