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文档简介

一、重积分的几何应用 二、二重积分的元素法 三、空间曲面的面积 四、小结,第四节 重积分的应用（几何应用）,一、重积分的几何应用,(1)平面图形的面积: (2)空间立体的体积: (3)空间曲面的面积:,例1,解（一）利用二重积分来计算,解（二）利用三重积分来计算,例1,解,1 画的草图,3 由对称性，得,例2,D1,1.,练习题,解,1.,练习题,解,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,二、二重积分的元素法,假设要计算的量U 关于闭区域D具有可加性.,预备知识：,A,用两组直线分割A（其中一组平行于两平面 的交线）为n个小矩形，,1. 设曲面S的方程为：,如图,三、空间曲面的面积,（教材下册P10）,3. 设曲面的方程为：,2. 设曲面的方程为：,1. 设曲面的方程为：,解,例1,解,例2,解:,解方程组,得交线:,在 面上的投影域为,练习题,练习. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A .,四、重积分的物理应用, 质点系的质心,当薄片是均匀的，质心称为形心., 平面薄片的质心,可推广到空间体的质心.,例5. 求位于两圆,和,的形心.,解: 利用对称性可知,而,之间均匀薄片,3. 平面薄片的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量:,薄片对于 轴的转动惯量:,例6.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.,解,例7,薄片对 轴上单位质点的引力:,4. 平面薄片对质点的引力,同理,为引力常数,解,由积分区域的对称性知,例8,所求引力为,掌握:,四、小结与教学基本要求,1.二重积分的几何应用: (1)平面图形的面积; (2)空间立体的体积; (3)空间曲面的面积.,2.三重积分的几何应用: (1)空间立体.,作业,习题 10-2 ( P156):18. 习题 10-4 ( P1
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