理学第3章dspdsp清华程佩青版课件

第三章 DFT 离散傅里叶变换,3-3 抽样Z变换-频域抽样理论,3-4 利用DFT对连续时间信号的逼近,3-2 DFT的性质,3-1 DFT-有限长序列的离散频域表示,目 录,引 言,有限长序列在数字信号处理中很重要， 当然可以用序列的Z变换和傅里叶变换来研究,但这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。,有 限 长 序 列？,有 限 长 离 散 频 谱,延拓为周期信号，作DFS 只取此周期信号DFS的主值为其频谱。,缺点：频谱为周期性，延拓至无限； 原信号限于周期信号。,序列“有限长”, 导出一种更有用的变换：离散傅里叶变换DFT,与离散傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。,序列的离散傅立叶变换DFT,k=0, 1, 2, 3, 4,k=0,k=1, 4,DFT与DTFT的关系 (1).DFT是DTFT在N个等间隔频点上的样本,(2).此等间隔频点的范围为0,2),(3).其频率分辨率为dw=2/N;w=k*dw (k=0,1,N),DFT的物理意义,恢复，用插值,通过增加序列长度使DFT趋近DTFT；在有计算软件的情况下，加大DFT的计算点数很容易。,作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。 ,一.余数运算表达式 如果 ， m为整数；则有：, 3-1 DFT-有限长序列的离散频域表示,二.有限长序列x(n)和周期序列 的关系,周期序列 是有限长序列x(n)的周期延拓。,有限长序列x(n)是周期序列 的主值序列。,三.周期序列 与有限长序列X(k)的关系,序列的离散傅立叶变换DFT,DFT的性质,但实际运算中有时会出现x(n)或x(k)超过0,N-1)范围的情况，或把范围调整为正负对称，这时就要用周期性的概念，寻找其主值。所以称它为隐含周期性。调整主值区间的方法，通常先把序列向左右延拓，再用宽N的矩形窗截取。,隐含周期性 按DFT变换的定义，均为0,N-1)范围内的有限长序列，不是周期序列。但它们是周期序列中取出的主值序列。,一.线性 两序列都是N点时 如果 则有：,若 和 的长度N1和N2不等时，进行补零达到N点。,二.序列的循环移位（圆周移位） 1.定义 一个有限长序列 的循环移位定义为 这里包括三层意思： 先将 进行周期延拓 再进行移位 最后取主值序列：,（圆周移位）,则 Y(k)=DFTy(n) =WN-km X(k),2. 时域循环移位定理 设x(n) 是长度为N的有限长序列，且 X(k)=DFTx(n), 0kN-1。 若 y(n)为x(n)的循环移位， 即 y(n)=x(n+m)NRN(n),三.循环卷积和（圆周卷积和） 1.时域卷积定理 设 和 均为长度为N的有限长 序列，且 ，,如果 ，则,两个N长的序理的循环卷积长度仍为N,循环折叠,0,m,0,m,0,m,0,m,最后结果：,三.有限长序列的线性卷积与圆周卷积 的长度为 , 的长度为 线性卷积：,N点圆周卷积为,线性卷积的长度为：,圆周卷积的长度为：,可见,N点周期卷积yc为线性卷积 以N为周期进行周期延拓,然后取主值序列。,2.用圆周卷积计算线性卷积（DFT的应用）,的长度为,1、如果N小N1+N2-1，前（N1+N2-1N ）个样本存在误差,2、后（N1+N2-1N ）个点丢失,线性卷积与循环卷积,用循环卷积计算线性卷积 用DFT计算线性卷积,计算线性卷积（重叠相加法）,当想对一个连续接收的输入序列进行滤波时，那就必须计算一个巨大的卷积和DFT，这往往不切实际；因此必须把长度很大的序列分成较小的几部分（或段），用DFT处理每一部分，然后把每段的输出装配成为输出序列。,分段卷积,四、共轭对称性,任意一个序列可表示为,圆周共轭反对称分量,有限长序列的圆周共轭对称分量,有限长序列的圆周共轭对称分量,有限长序列的圆周共轭反对称分量,相角不一定对称,考虑复序列,X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量,同理：,3.复共轭序列的DFT,同理,4 共轭对称特性,证明：,5 实序列的圆周共轭对称性,6 纯虚序列的圆周共轭对称性,设x1（n）和x2（n）都是长度为N的实数序列，试用一次N点DFT来计算两个序列的DFT：X1(k),X2(k),解： 利用两序列构成一个复序列,3-4 利用DFT对连续时间信号进行频谱分析,所谓信号的谱分析就是计算信号的傅立叶变换,0,时域采样和频域采样各参数的关系,4. 用 DFT 进 行 谱 分 析 的 误 差 问 题,(1) 混叠现象,(2) 截断效应,(3) 栅栏效应,(1) 混叠现象,1.频率响应的混叠失真及参数的选择,谱分析范围：,频率分辨率：,用DFT作连续时间信号的频谱分析时，要选择合理的 fs（T）和N，以防止混叠发生,实际中，关心两个问题：,选择fs（T）,选择T0,信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾,例 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。 假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频 率分辨率为 ，（2） 信号的最高频率 ，试确定 以下参量：（1）最小记录长度 ;(2) 抽样点间的最大时间 间隔T; (3) 在一个记录中的最小点数N。,解：,（a） 最小记录长度,（b）最大的抽样时间间隔T,(c) 最小记录点数N,（2）截断效应与频谱泄漏 在实际应用中，通常将所观测的信号 限制在一定的时间间隔内,也 就是说， 在时域对信号进行截断操作,或 称作加时 间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定 理可知，时域相乘,频域为卷积,这就造成拖 尾现象,称之为频谱泄漏.,如何改善频谱泄漏？,1 增加窗的长度,2 选择窗函数的形状，不要锐截止，应缓慢变化,（3）栅栏效应 用DFT计算频谱时，只是知道频率为 的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。,时域补零，减小栅栏效应,补零与增加窗的长度的联系与区别,补零只能改善栅栏效应，但不能提高分辨率,增加窗的长度（信号的记录长度）可以提高频域分辨率，改善频谱泄漏，但不能抑止旁瓣幅度,频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。,1.两种抽样 时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号, 3-3 抽样Z变换-频域抽样理论 一.如何从频域抽样恢复原信号,2.由频域抽样恢复序列,也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。,当x(n)不是有限长时，无法周期延拓； 当x(n)为长度M,只有NM时,才能不失真的恢 复信号,3.频域抽样不失真的条件,1.由X(k)恢复X(Z) 序列x(n),（0nN-1）的Z变换为,二.由X(k)表达 X(Z)与 的问题内插公式,上式是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,称作内插函数。,2.内插函数的特性,称作本抽样点。 内插函数仅在本抽样点处不为零,其他(N-1)个抽样点均为零。,3.由X(k)恢复 频率响应,单位圆上的Z变换即为频响, 代入,4.内插函数的频率特性,当k=0时,则有,在每个抽 样点上其值为1, 就精确等于X(k)。,而在抽样点之间, 等于加权的内插函数值 叠加而得。,例3.8 用DFT对模拟信号进行谱分析，设模拟信号 的最高频率为200Hz，以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列 ，要求频域分辨率为10Hz，试画出 和 ，并标出每个k值对应的数字频率和模拟频率,13,设x1（n）