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2.1.4 两条直线的交点 学业水平训练1直线3x2y60和2x5y70的交点的坐标为_解析:由方程组,得,所以两直线的交点坐标为(4,3)答案:(4,3)2经过原点,且经过直线2xy50和x2y0的交点的直线方程是_解析:解方程组,得,所以两直线的交点坐标为(2,1),又所求直线经过原点,故所求直线方程为x2y0.答案:x2y03若直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是_解析:解方程组,得.由直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限,得k60且k20,解得6k2.答案:6k24若直线axby110与3x4y20平行,并过直线2x3y80和x2y30的交点,则a、b的值分别为_、_.解析:由方程组,得交点B(1,2),代入方程axby110中有a2b110.又直线axby110平行于直线3x4y20,所以,.由知a3,b4.答案:345直线xa2y60和(a2)x3ay2a0无公共点,则a的值为_解析:两直线无公共点,即两直线平行当a0时,这两条直线分别为x60和x0,无公共点;当a0时,解得a1或a3.当a3时,这两条直线分别为x9y60,x9y60,两直线重合,有无数个公共点,不符合题意,舍去;当a1时,两直线分别为xy60,3x3y20,两直线平行,无公共点综上,a0或a1.答案:0或16设两直线(m2)xy2m0,xy0与x轴构成三角形,则m的取值范围为_解析:(m2)xy2m0与x轴相交,m2,又(m2)xy2m0与xy0相交,m21,m3,又xy0与x轴交点为(0,0),(m2)002m0,m2,故m2,且m3.答案:m|m2,且m37当实数m为何值时,直线mxy20与直线xmym10:(1)平行;(2)重合;(3)相交?解:m0时,两直线互相垂直,属相交当m0时,(1)两直线平行m1.(2)两直线重合m1.(3)两直线相交m1且m1.8已知a为实数,两直线l1:axy10,l2:xya0相交于一点,求证:交点不可能在第一象限及x轴上证明:若a1,则l1l2,不符合题意,所以a1.解方程组,得,所以两条直线的交点坐标为(,),显然,0,故交点不可能在x轴上当a1时,0,0,此时交点在第二象限;当1a1时,0,0,此时交点在第四象限;当a1时,0,1,此时交点在y轴上;当a1时,0,0,此时交点在第三象限综上所述,交点不可能在第一象限及x轴上高考水平训练1已知直线mx4y20与2x5yn0互相垂直,且垂足为(1,p),则mnp的值为_解析:由两条直线互相垂直得1,即m10.由于点(1,p)在两条直线上,从而有可解得p2,n12,mpn1021220.答案:202在平面直角坐标系中,设ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上(异于端点)设a,b,c,p均为非零实数,直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F,一同学已正确算得OE的方程:()x()y0,请你求OF的方程:_x()y0.解析:直线AB的截距式方程为1,直线CP的截距式方程为1,将两方程相减得()x()y0,显然O点满足该方程,而该方程又是由两直线方程相减得到的,因此直线AB与直线CP的交点F也满足该方程,从而方程()x()y0即是OF的方程答案:3已知三条直线l1:4xy40,l2:mxy0,l3:2x3my40,求分别满足下列条件的m的值:(1)使这三条直线交于同一点;(2)使这三条直线不能构成三角形解:(1)要使三条直线交于同一点,则l1与l2不平行,所以m4.由得即l1与l2的交点为.代入l3的方程得23m40,解得m1或.当m1或m时,l1,l2,l3交于一点(2)若l1,l2,l3交于同一点,则m1或.再考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况若m0,则k14,k2m,k3,当m4时,k1k2;当m时,k1k3;而k2与k3不可能相等若m0,则l1:4xy40,l2:y0,l3:2x40,这时三条直线能围成三角形当m4或m时,三条直线不能围成三角形综上所述,当m1,4时,三条直线不能围成三角形4已知直线l的方程为:(2m)x(12m)y(43m)0.(1)求证:不论m为何值,直线必过定点M.(2)过点M引直线l1,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小,求l1的方程解:(1)证明:原方程整理得:(x2y3)m2xy40.由解得不论m为何值,直线必过定点M(1,2)(2)设直
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