2013届高三数学二轮复习课件专题5第3讲空间向量及其应用(理).ppt

1了解空间向量的概念、空间向量的基 本定理及其意义；掌握空间向量的正交分 解及坐标表示；掌握空间向量的线性运算 及其表示；掌握空间向量的数量积及坐标 表示，能运用向量的数量积判断向量的共 线与垂直 2理解直线的方向向量与平面的法向量 ；能用向量语言表述线线 、线面、面面 的垂直、平行关系；能用向量方法证明有 关线面关系的一些定理；能用向量方法解 决线线 、线面、面面的夹角的计算问题 ，体会向量方法在研究几何问题 中的作用 1本部分内容在高考中所占分数大约在 5%10%. 2从命题形式上看，试题 以多面体为载 体，在直线、平面、多面体的交汇处 命 题分步设问 ：分设3小题左右，诸小题 之间有一定的梯度第一小问重点考查运 用空间向量讨论线线 、线面、面面的位 置关系，后面几问重点考查运用空间向量 来求异面直线所成的角、二面角，证明线 线平行、线面平行和证明异面直线垂直 和线面垂直等立体几何基本问题 ，其解 题思路都是“作证求”，强调作图 、证明和计算相结合 3在新课标 的试题 中，为了突出对向量 工具作用的考查，试题 所考查的多面体 一般都是直棱柱、正棱锥，或有一条棱与 底面垂直的多面体或者是有一个面与底面 垂直的多面体，尤其是侧重对含有正方体 一角的多面体考查 1共线向量与共面向量 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这 些向量叫共 线向量或平行向量 (2)平行于同一个平面的向量叫做共面向量 (3)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b(b0)，ab的充要条件是存在实数 ，使ab. (4)共面向量定理：如果两个向量a，b不 共线，则向量p与向量a，b共面的充要条 件是存在实数对(x，y)，使pxayb. 2两个向量的数量积 向量a，b的数量积：ab|a|b|cosa， b 向量的数量积的性质： 若e是单位向量，则ae|a|cosa，e ； abab0； |a|2aaa2. 向量的数量积满 足如下运算律： (a)b(ab)； abba(交换律)； a(bc)abac(分配律) 3空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空 间任一向量p，存在有序实数组x，y，z ，使pxaybzc. 4空间向量的坐标运算 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 则ab(a1b1，a2b2，a3b3)； ab(a1b1，a2b2，a3b3)； a(a1，a2，a3)； aba1b1a2b2a3b3； ababa1b1，a2b2，a3 b3(R)； ababa1b1a2b2a3b30. (3)平面的法向量 如果表示向量a的有向线段所在的直线垂 直于平面，则称这个向量垂直于平面， 记作a. 如果a，那么向量a叫做平面的法向量 分析 根据空间向量的运算法则化简即可 判定 答案 A 评析 用已知向量表示未知向量，以及 进行向量表达式的化简时 ，一定要注意 结合实际图 形，以图形为指导是解题的 关键，同时注意首尾相接的向量和向量的 化简方法，以及从同一个点出发的两个向 量的差向量的运算法则，避免出现方向错 误 (2010广东理，10)若向量a(1,1，x)，b (1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(c a)(2b)2，则x_. 答案 2 解析 ca(1,1,1)(1,1，x)(0,0,1 x) (ca)(2b)(0,0,1x)(2,4,2)22x 2.x2. 例2 已知直三棱柱ABC A1B1C1中，ACBC，D为 AB的中点，ACBCBB1. (1)求证：BC1AB1； (2)求证：BC1平面CA1D. 分析 本题可以根据三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，且ACBC，以C1点 为坐标原点，C1A1、C1B1、C1C所在的 直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系，然后利用向量解决 解析 如图所示，以C1为原点，C1A1， C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系 评析 利用向量证明平行关系 线线 平行 a，b分别是a，b的方向向量 .存在非零实数满足aba与b共线 ； .ab|a|b|a，b共线 线面平行 .若存在非零实数x，y满足axbyc， 则a与b，c共面其中b，c不共线且在面 内，a，则a，a所在直线平行于. .直线l在面外，a为l的方向向量，n为 的法向量，则an0anl. 面面平行 m，n分别为 ，的法向量，则mn( 是非零实数)m与n共线. 例3 如图，在六面体ABCDA1B1C1D1 中，四边形ABCD是边长为 2的正方形， 四边形A1B1C1D1是边长为 1的正方形， DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD ，DD12. (1)求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面 ； (2)求证：平面A1ACC1平面B1BDD1. 分析 以D为原点，DA，DC，DD1所在 直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标 系 证明 以D为原点，以DA，DC，DD1所 在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直 角坐标系Dxyz如图，则有 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,2) ，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)， D(0,0,0) 评析 利用向量证明垂直关系 线线 垂直 a，b分别为 直线a，b的方向向量，则 ab0abab. 线面垂直 .a为直线l的方向向量，n为平面的法 向量，则an(为非零实数)a与n共 线l. 面面垂直 .m，n分别为 面，的法向量，则 mn0mn. .m是面的法向量，a，b是面内不共 线的两向量，则ma，mb. 分析 证线 面平行可在平面EBD内找一 直线所在的向量，证明与直线的方向向量 平行而证明线面垂直，可证明直线的 方向向量与平面内的两不共线向量垂直 评析 综合法更注重推理，方法巧妙， 计算量不大，对空间想象能力以及逻辑 推理能力要求较高，而向量法更多的是计 算而且方法统一，具有格式化，易于掌握 从近几年高考尤其新课标 地区的高考题 来看主要以向量法的考查为 主，较少使用 综合法. 分析 以A为原点建系，正确写出点的坐 标，求出直线的方向向量以及平面的法向 量 解析 (1)以A为坐标原点，射线AB为x轴 的正半轴，建立如图所示的直角坐标系， Axyz，设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0 ，c)， (2011大纲全国卷理，19)如图，四棱锥S ABCD中，ABCD，BCCD，侧面 SAB为等边三角形，ABBC2，CD SD1. (1)证明：SD平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成的角的大小 解析 以C为坐标原点，射线CD为x轴正 半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz. 设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0) 又设S(x，y，z)，则x0，y0，z0. (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明平面AMD平面CDE； (3)求二面角ACDE的余弦值 分析 以A为原点，AB，AD，AF所在直 线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系 ，平面的法向量就是该平面垂直的方向向 量，注意已有结论 的应用 评析 (1)二面角的求法 利用向量求二面角的大小，可以不作出 平面角，如图所示，m，n即为所求 二面角的平面角 对于易于建立空间直角坐标系的几何体 ，求二面角的大小时，可以利用这两个平 面的法向量的夹角来求如图所示，二面 角l，平面的法向量为n1，平面 的法向量为n2，n1，n2，则二面 角l的大小为或. (2)判断与n1，n2关系的方法 把n1，n2平移到二面角的内部，根据法向 量在三个坐标轴 的分量，若n1，n2的箭头 都各自指向自己的平面，或都各自背离自 己的平面，则n1，n2；如果n1 ，n2一个箭头指向自己的平面，另一个箭 头背离自己的平面，则n1，n2. (1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值 ； (2)求二面角AA1C1B1的正弦值； (3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面 AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段 BM的长 例6 (2011山东东营 模拟)如图，四棱 锥PABCD中，底面四边形ABCD是正 方形，侧面PDC是边长为 a的正三角形， 且侧面PDC底面ABCD，E为PC的中点 (1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值； (2)求点D到平面PAB的距离 分析 建立空间直角坐标系，用向量法 求解 解析 如图，取DC的中点O，连接PO， PDC为正三角形，PODC. 又侧面PDC底面ABCD，PO底面 ABCD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz. 评析 用空间向量求点到平面的距离的 方法步骤是：(1)求出平面的单位法向量 n0；(2)任取一条过该 点的该平面的一条 斜线段，求出其向量坐标n1；(3)求出点 到平面的距离d|n0n1|，其中单位向量 由法向量除以它的长度得出，斜线段可以 任取，但必须经过该 点 (1)求证：平面PAB平面PAD； (2)设ABAP. ()若直线PB与平面PCD所成的角为30 ，求线段AB的长； ()在线段AD上是否存在一个点G，使得 点G到点P，B，C，D的距离都相等？说 明理由 解析 (1)因为PA平面ABCD，AB平 面ABCD， 所以PAAB. 又ABAD，PAA