将三角函数中的正、余弦函数的性质以及其的几个方面.doc

1引言三角函数是一类基本的重要的函数，但由于内容繁杂，公式多且性质灵活，在解题中如何把握好变换的方向，有目的地进行三角变换是学好三角函数的关键。三角函数在数学、其它科学以及生产实践中都有广泛的应用，三角函数的学习是对函数概念的深化，与其它函数相比，三角函数是刻画现实世界中存在的那些具有周期性变化现象的数学模型。2 文献综述2.1国内外研究现状16世纪以前，天文学家所用的三角函数都不过是一条线而已，早期的天文学家所关注的是圆弧所对的弦长，16世纪德国天文学家雷提库斯首次将三角函数看作角(而非弧)的数，并首次用比值来定义正、余切函数。此后有许多的研究者对三角函数作了研究。2003年吴卫阳总结了“三角函数线”在教学中的应用；2007年章建跃以三角函数的发展历史来说明用“单位圆定义法”的原因及诸多优点；2008年毛艳青给出求三角函数最值得三中方法，王爱红对三角函数类试题在高考中的重要性进行了说明，胡艳主张用化归方法来解决一些三角函数问题；2009年，周幸杰阐述了三角函数公式的记忆方法，卫福山从三个方面进行挖掘可以避免因隐含条件而引起的错误，潘图佳讨论了容易忽视隐含条件的三角问题的教学；2010年桂平阐述了解三角函数的几大思路。2.2国内外研究现状的评价从上面的文献中，我们可以看到，在三角函数方面，国内文献中的解题研究文献占了绝大多数，相关文献中，研究者把重点放在如何教，如何记忆这些方面，而学生是如何想的，如何理解的，如何做的这类文献相对较少。三角函数的性质是一个重要性质，如何利用性质又是重中之重，虽然有研究者研究过这方面，但研究的比较单一而且散乱，因此有人理解起来比较困难，发挥不出三角函数性质的强大作用。2.3提出问题三角函数具有哪些特有的性质？怎样利用三角函数的性质来解题？怎样理解三角函数式变形？怎样理解三角函数的化简？三角函数中的常见问题有哪些？从哪些方面挖掘三角函数中隐含的条件？最值问题的求解。在解决这些问题时三角函数的性质到底能发挥哪些作用就是本文要解决的内容，本文主要研究的是三角函数中的正、余弦函数。3 三角函数的性质三角函数的性质是一个重要的性质，在三角函数的各个问题中都能见到它们的独特应用之处，特别是在比较大小，求三角函数的图象、最值，解不等式等都有着不可替代的作用，要研究性质就必须先来研究图象。3.1三角函数的图象画三角函数的图象最常用的是“五点作图法”：先描出五个关键点再根据点来画图。这五个关键点分别取x值为：接着求出相应的y值，依次描出五个关键点，顺次用平滑的曲线连接起来，再向左右扩展就可画出三角函数的图象。如下：取上面所说的五个点得出下两表。x0010-10 表1x010-101 表2根据表中数据再将图象左右移动得如下两图： 观察图象可以得出如何性质：3.2正、余弦函数的值域当xr时，正、余弦值域都为-1,1。3.3正、余弦函数的周期性(1)、定义：对于函数,如果存在一个不为零的常数t,使得当x取定义域内的每一个值都成立，则叫周期函数，t叫这个函数的周期，所有周期中的最小正数又叫最小正周期。(2)、根据诱导公式得正、余弦函数都是周期函数，都是它们的周期，最小正周期为。(3)、扩展：； 。(4)、应用示例：例1：求下列函数的最小正周期3.4正、余弦函数的奇偶性(1)、定义：把存在实数x,使得成立，这样的函数称为偶函数；把存在实数x,使得成立，这样的函数称为奇函数。(2)、根据定义由诱导公式 得：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。3.5正、余弦函数的单调性 (3)、应用示例注：比较两个异名三角函数的大小，要将异名函数化为同名函数，然后将它们的角化为在该函数的同一单调区间内的角，最后利用函数的单调性来比较。注：求形如函数的值域时也常用整体思想作代换，作整体代换转换为的单调性来求。做题时容易出错的几个发面：(1)：判断正、余弦函数的奇偶性若不关注定义域是否关于原点对称，常会得出错误的结论；的函数的单调区间，常因为没有注意到x的系数为负，从而得出相反的结论；则没有考虑的正负。4 0020-20根据表中的五点在坐标系中描出相应的五点，再用平滑的曲线顺次连接起来，如图所示，再向两端拓展。观察图象可知：这个函数的周注：(1)、的图像均有影响。一般地，函数，可以用下面方法得到：先画出正弦函数y=sin x的图象，再把正弦曲线向左(右)平移个单位长度，得到函数的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的a倍，这时的曲线就是函数的图象。(2)、需要记住几个概念：a就是这个简谐运动的振幅，而频率,它表示简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;称为相位，x=0时的相位称为初相。(3)、在已知图象作图象时，提倡先平移后压缩；但有时也可以先压缩后平移；但不管是哪种变化，谨记每一种变换总是针对x(横坐标)而言的，即图象变换要看变量x起了多大变化，而不是角变化了多少。4.1函数通常考查的是对称轴，对称中心，单调性，最大值和最小值等。其对称中心是横坐标满足，即对称中心的坐标为,对称轴方程满足。例：已知函数,在下列条件下分别求出实数a的值。(1)、函数图象关于原点对称 (1)、函数图象关于直线对称解：(1)由函数图象特征，图像必经过原点， (2)对称轴必经过函数的应该是最值点4.2数形结合解正、余弦重视数学思想方法的学习运用，熟练的准确的进行方程与函数之间的转换，数形结合可以快捷地找到解决为题的办法。例：已知方程内恰有两个实数根，求的取值范围。解：方程转化为令,则方程变形为判别式(1)、有两个相等的实数根时：；(2)、有两个不相等的实数根时： 即5 三角函数式的化简5.1化简的意义(1)、便于研究三角函数的性质。如：，如果直接判断它的奇偶性、求它的周期、最值以及单调区间，把原函数化简为以后，问题就变得容易解决了。(2)、便于画出三角函数的图象。如：(1)中的例子化简后用“五点作图法”就容易画图了。(3)、便于计算三角函数式的值，这里有两种情况：一是化简的结果正好是一个常数这就是所求的三角函数式的值；二是化简以后函数容易求值。(4)、便于证明三角恒等式。证明三角恒等式有时把等式较繁的一边化简，而化简的结果通常是题目所规定的，即等式的另一边；或者把等式的两边化简，推出同一结果。5.2化简三角函数的一般要求从化简的目的意义出发，到最终的化简一般都是出现两种结果：一种是一元一次，即类似的标准形式；另一种是一元二次，即类似的标准形式。我们对化简的结果作如下要求: (1)、能求出数值的要把数值求出来；(2)、函数的种类尽量少；(3)、函数的幂要尽量低；(4)、项数要尽量少；(5)、尽量使分母不含三角函数。这些要求，归根结底，就是一个字：简。6 三角函数中的几个常见问题1、根据三角函数知识可知，在直角坐标系中，在角终边上任取一点作轴的垂线，得到的三角函数值不会随所取点的位置的不同而不同，那么还要用单位圆上点的坐标来定义任意角的三角函数，这样定义有什么样的好处呢？好处有如下几点：好处1：更简洁、更清楚，而且更能突出正、余弦函数中自变量（角的弧度）与函数值（单位圆上点的横坐标与纵坐标）的对应关系。好处2：更方便，因为单位圆上点的坐标就是相应角的三角函数，所以任意角的三角函数的代数形式都可以用图象直观地表达出来，使用单位圆能让我们在求三角函数值、作三角函数图象时更方便。好处3：数形结合更明显，借助单位圆与三角函数线，我们能方便地利用数行结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、各三角函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、三角函数的周期性、单调性和最值。2、用“奇变偶不变，符号看象限”概括了六组诱导公式，并且在运用口诀时要把看成是一个锐角，但是这个难道不是一个任意角吗？诱导公式确实是一个适用于任意角的公式，它揭示了任意角的三角形函数值与的三角函数值之间的内在联系，从数形结合的角度来看，三角函数的诱导公式实质上是圆的对称性的“代数表现”即根据任意角的终边与的终边之间的对称关系求出三角函数值，这与角是否为锐角无关，而把看成是锐角，这只是一个记忆上的技巧。3、我们通过先平移后伸缩与先伸缩后平移的方法，对同一个函数进行图象变化，得到了相同的函数，但两次平移的长度却不一样。如：由函数的图象得到函数的图象。第一种变化：先平移后伸缩。第二种变化：先伸缩后平移。即以上两种变换中，平移的长度是不一样的，若先平移后伸缩，平移时变化元只有x，即图象上的每个点的横坐标都增加了个单位；伸缩变换时，变化元也只有，伸缩变换后图象上每个点的横坐标都减少为原来的；若先伸缩后平移，在平移前函数图象上的每一个点的横坐标都已经减小为原来的，因此平移时也只需平移的即即可。7 求三角函数最值问题的八大类型(1).型的函数解决方案:引入角化为；再利用三角函数的有界性得。例：当时，求函数的最大值与最小值。解：因为，由已知得，所以 (2).型的函数解决方案：令，化为二次函数在上求最值。例：求函数的最值(3).含型的函数解决方案：令，化为二次函数上求最值，(注：之间通过平方可以建立关系。“知其一可求其另二”。)例：求函数的最大值与最小值。 (4).型的函数解决方案：利用正弦函数(余弦函数)的有界性来求最值，或利用数形结合来求最值。例：求函数的最值。解：原式可转换为(5).型的函数解决方案：借助均值不等式求解例：若。(6).型的函数解决方案：利用三角函数的值域，需要注意对字母的讨论。例：已知函数的最大值是1，最小值是-7，则函数的最大值是多少？解：由已知得：所以的最大值是(7).型的函数解决方案：利用重要不等式或函数单调性求解。例：已知的最小值。解：设，则原函数可化为，在（0,1）上为减函数，所以当t=1时，。(8).用三角代换求代数函数的值此类函数可借助三角代换求其最值，是三角函数的重要应用。例：求函数的最值。由以上的几种形式可归纳求解三角函数最值问题的基本方法：应用正、余弦函数的有界性，应用求二次函数在闭区间内最值得方法，此外还可以利用均值不等式或利用数形结合的方法来解决。8.挖掘三角函数中的隐含条件在解数学题时，首先要注意观察、分析、然而许多同学在观察问题时，往往只注意到题目中给出的明显是我条件，而把隐含的条件忽略了，这样就造成了解题上的错误。隐含条件的挖掘和利用，不仅是解题的关键，而且对培养学生的观察力，提高综合分析能力、增强思维的缜密性也有极大好处。挖掘隐含条件可以从以下几个方面入手：(1).从三角函数的定义域中挖掘隐含条件由于正切函数的定义域受一定局限，解题时若有考虑不周，就会改变解集。例：设分析：由所求(2).从三角函数的有界性中挖掘隐含条件正、余弦函数的值域时固定在某一确定范围内，解题时改变其约束就会改变解集。例：设的值。分析：注意正、余弦函数的有界性： (3).从三角函数的单调性中挖掘隐含条件例：若，判断是第几象限的角所以是第四象限得角。(4).从角的范围中挖掘隐含条件由于三角函数是周期函数，即自变量与三角函数值是多对一的对应关系所以在三角函数求值时要特别注意讨论角的范围，只有角的范围确定好了，所求的三角函数值或角才不会出错。 例： 分析：由于a、b为三角形的内角，即，应深入讨论a、b的实际范围。9.结论9.1主要发现文章主要是在对参考文献进行分析、研究、总结的基础上，理解了正、余弦函数的图象和性质，并将其推广到解题上，理解了三角函数式的变形、三角函数的化简，阐述了三角函数的常见问题与隐含条件的挖掘，将三角函数的性质与其它较难理解的几个方面作了归纳总结，并且阐述了求三角函数最值问题的八大类型。9.2启示和意义论文将三角函数的图象和性质以及其它较难理解的几个方面作了归纳总结，使三角函数的性质与它们联系起来，这样更容易透彻的理解三角函数，更容易解三角函数。9.3局限性 在归纳总结过程中，由于三角函数的多变性和多样性，并不能做到面面俱到，有些理论还有待更进一步的深化，该文主要阐述的是三角函数中正、余弦函数，其它的三角函数问题还有待解决，比如正、余切函数、反三角函数等。9.4努力方向文章虽然成功的将三角函数中的正、余弦函数的性质以及其它较难理解的几个方面作了归纳总结，但还存在几点不足：一、到底有没有更简单的方法来理解正、余弦函数的性质以及更好的利用这些性质；二、对除正、余弦函数外的三角函数也作同样的研究。这些都是我需要努力的方向。参考文献1 普通高中课程标准实验教科书，必修4m.2 普通高中数学课程课程标准解读m.3 张禾瑞，近世代数基础m.4 汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史m.科学出版社.20025 胡艳.化归思想方法在三角函数中的应用j.教育科研(数学教研),2008：18-7l.6 李立军.三角函数线的多种用法.思想方法j.2008：10-95.7 李桂平.求解三角函数问题的几大思路j.科学之友,2010:135-136.8 林再生.任意角的三角函数j.数学通讯,2008:20-23.9 毛艳青.三角函数最值的几种解法j.齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2008:150-151.10 潘图佳.三角函数解题中隐含信息的挖掘j.黔南民族师范学院学报,2009:91-94.11 石瑛.九年级学生对锐角三角函数的认知j.华东师范大学专业硕士学位论文,2009.12 王爱红.关于三角函数类高考试题的研究、预测及对策j.数学教学科教文汇,2008:83-84.13 卫福山.三角函数解题中不可忽略隐含条件j.数学教学,2008:23-24.14 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