北师大版九年级数学上册教案汇总

北师大九年级数学上册教案汇总 第一章 证明（二）三角形有关性质、定理及反证法知识要点三角形的性质与判定：序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1公理三角形全等的判定公理三边对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边对应相等的两个三角形全等SSSSASASA2定理三角形全等的判定定理两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS3公理三角形全等的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等4定理等腰三角形的性质的推论等腰三角形的两个底角相等等边对等角5定理等腰三角形的判定定理等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线底边上的高互相重合“三线合一”6 定理等边三角形的判定定理有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形7定理有一个角等于30的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半8定理等边三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形等角对等边9定理勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方符号语言：若C=90，则c2=a2+b210概念互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理11定理勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形符号语言若，则a2+b2=c2，C=90。12定理直角三角形全等的判定定理斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等HL证明方法：综合法、反证法综合法：审题：找出已知、求证的各量之间的关系；分析解题思路：一般采用逆向思考，即从结论入手，追溯结论成立的理由。书写推理过程，从已知入手，将分析过程倒着写出来反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立的方法称为反证法。（步骤：提假设：假设命题的结论不成立，推矛盾：从假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；得结论：从而肯定命题的结论）几种常见的结论和它的否定形式：“ab” “ab”“a=b” “ab”或“ab，ab”“ab” “a与b相交”“点在直线上” “点在直线外”“至少有一个” “一个都没有”“至少有两个” “至多有一个”互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。（“条件”与“结论”交换）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理。易错易混点Z01Z021. 如图Z01，ABC为AD为中线，BAD=DAC，求证：AB=AC。2. 如图 Z02所示，在ABC中，AD是它的角平分线，且AB=AC，DE、DF分别是垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证BE=CF。典型例题1. 在ABC中，AB=2，AC=，B=30，则BAC的度数是_。ZM03ZM042. 已知：如图Z03所示，ABC中AB=AC，D是AB上一点，过D作DEBC于E，并与CA的延长线相交于F。求证：AD=AF。3. 已知：如图Z04，在RtABC中，C=90，BAC=30，求证：AB=2BC。变形题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30. 已知：求证：4. 如图Z05所示，在ABC中，1=2，ABC=2C。求证：AB+BD=AC。ZM05ZM06ZM075. 如图Z06，在ABC中，CAB=90，C=30，AD是BC边上的高，BE是ABC的平分线，AD与BE交于点F，求证：AEF是等边三角形。6. 折叠矩形纸ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图Z07，若AB=2，BC=1，求AG的长。学习自评1. ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，若EBC=BAD，则ABC一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形2. 一个三角形三边之比为3：4：5，则此三角形三边上的高之比为（ ）A. 3：4：5 B. 5：4：3 C. 20：15：12 D. 9：8：73. 三角形三边长分别为6，8，10，那么它的最短边上的高为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 84. 直角三角形的斜边长为13cm，面积为30cm2，另两边分别为（ ）A. 5cm， 6cm B. 7.5cm，8cm C. 5cm，12cm D. cm，cm5. 两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等，则（ ）若斜边上的高对应相等，那么这两个直角三角形全等； 若直角的平分线对应相等，那么这两个直角三角形全等； 若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等； 两个直角三角形都有一个锐角是30，那么这两个直角三角形全等。其中正确的命题有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 已知直角三角形一锐角是30，斜边长是1，那么这个三角形的周长是（ ）A. B. 3C. D. 7. 已知直角三角形两直角边之和是，斜边长为2，则这个三角形的面积等于（ ）A. B. 1 C. D. 8. 一个等腰三角形的顶角是150，面积是4cm，则它的腰长是_cm。9. 等腰三角形的两条边长分别为6cm和8cm，那么这个三角形的周长是_cm。10. 等腰ABC中，腰AB上的中垂线与AC所在直线相交所得锐角为50，则底角B的大小是_。11. 在RtABC中，C=90，A=30，AB+BC=12cm，则AB=_cm。12. “正方形是矩形”，它的逆命题是_。13. 等腰三角形底边长6cm，腰为5，则它的面积为_。14. 一个三角形的三条边长分别是20，15，25，那么它的最长边上的高是_。15. 命题“一个三角形中至少有一个角大于60”，用反证法证时，应假设“_”。16. 已知a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则三角形ABC的形状为_。17. 命题“对顶角的平分线成一直线”的题设是_，结论是_。18. 已知直角三角形斜边上的中线为1，周长为，求三角形的面积。19. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角。20. 在ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，c-a=b，c+a=2b，判断ABC的形状。ZM08ZM10ZM0921. 如图ZM08，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F。(1) 求证：AD=CE；(2) 求DFC的度数。22. 如图ZM09，AOB是一钢梁，且AOB=10，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH添加的钢管长度都与OE相等，则最多能加多少根？23. 已知如图 ZM10，在RtABC中，AB=AC，A=90，点D为BC上任意一点，DFAB于F，DEAC于E，M为BC的中点，试判断MEF的形状，并证明你的结论。24. 求证：以m2+n2，m2-n2，2mn为边的三角形为直角三角形。ZM1125. 已知等边ABC和点P，设点P到ABC的三边的距离为h1、h2、h3，ABC的高为h。“若点P在ABC的一边BC上（图ZM11），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题。当P点在ABC内（图ZM11），P点在ABC外（图ZM11）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h1、h2、h3与h之间有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明线段的垂直平分线与角平分线知识要点序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1定理线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等有了中垂线，就有了相等的线段2定理线段垂直平分线的判定到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上联想等腰三角形的“三线合一”3定理三角形的三条边上的垂直平分线的性质三角形的三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等三边中垂线共点提示有线段垂直平分线时，通常把垂直平分线上的点与线段的两端点连接起来，利用等腰三角形的性质来解决问题4定理角平分线的性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等图形与符号结合记忆5定理角平分线的判断在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 6定理三角形的三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等三条角平分线共点易错易混点ZM13ZM12ZM141. 已知：如图ZM12，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，DE=DF，求证：AD垂直平分EF。2. 如图ZM13，P是AOB的平分线上的一点，OC=OD，PC=2cm，求PD的长。3. 现有不在一条直线上的A、B、C三城.（1）在A、B城间建一果品批发市场，使其到A、B两城距离相等，此市场位置惟一么？它们的位置有什么关系？（2）在B、C两城间建一水果仓库，使其到B、C两城距离相等.仓库位置惟一么？它们的位置有什么关系？（3）为减少运费，现将果品批发市场与仓库建在同一位置，并分别到两城距离相等.应如何选址？画图说明.典型例题1. 已知，如图ZM14，在ABC中，B=70，DE是AC的垂直平分线，且BAD：BAC=1：3，则C=_。2. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点C. 三条高线的交点 D. 三条中垂线的交点3. 如图ZM15，已知ABC中，AD平分BAC，EF垂直平分线AD交BC的延长线于E，求证：(1) EAC=B； (2) DE2=CEBE.ZM17ZM15ZM164. 如图ZM16，已知ABC中，A的平分线与BC的垂直平分线MD交于点D，DEAB于E，DFAC交AC的延长线于F。求证：CF=(ABAC).5. 如图 ZM17所示，在ABC中，B=22.5，C=60，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于F，BD=，AEBC于E，求EC的长。学习自评1. 等腰三角形顶角为100，两腰的垂直平分线交于P，则P点在（ ）A. 在三角形内 B. 在三角形的底边上 C. 在三角形外 D. 与三角形的边长有关ZM182. 在ABC中，AB=AC，BC=5cm，作AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，连接BD，若BCD的周长是17cm，则腰长为（ ）A. 12cm B. 6cm C. 7cm D. 5cm3. 如图所示ZM18，ABC中，BAC=118，若DE、FG分别垂直平分AB和AC，则EAF等于（ ）A. 68 B. 56 C. 48 D. 34ZM194. 如图ZM19，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处5. 在ABC中，O是A的平分线与B的平分线的交点，有如下结论：点O到AC边，AB边的距离相等；点O到AB边，BC边距离相等；点O到AC边，BC边的距离相等；点O到AB，AC，BC边的距离都相等。其中正确的结论有（ ）A. 一个 B. 二个 C. 三个 D. 四个ZM206. 如图 ZM20所示，在等腰直角三角形ABC中，C=90，AC=6，D是AC上一点，DEAB于E，5DE=BE，则AD的长度是（ ）A. B. 1 C. D. 27. 等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分，其差为3cm，则腰长为（ ）A. 2cm B. 8cm C. 8cm或2cm D. 7cm 8. 下列命题中真命题的个数是（ ）(1) 如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边.(2) 如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个点与顶点的距离相等(3) 等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等(4) 等腰三角形高上一点到底边的两端点的距离相等A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个ZM219. 等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，其腰上的高是（ ）A. B. C. D. 10. 如图ZM21，已知在ABC中，ACB=90，点O为ABC的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点D、E、F是垂足，且AB=10，BC=8，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别是（ ）A. 2，2，2 B. 3，3，3 C. 4，4，4 D. 2，3，411. 如图 ZM22，已知BD是ABC的平分线，DEAB于E，SABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE的长为_。ZM22ZM24ZM2312. 如图ZM23，在ABC中，B=115，AC边的垂直平分线DE与AB边交于点D，且ACD：BCD=5：3，则ACB=_。ZM2513. 如图 ZM24，在ABC中，C=90，AC=BC，AD平分BAC交BC于D，DEAB于E，且AB=10cm，则DEB的周长是_cm。14. 在ABC中，AB=AC，A=90，斜边BC的中线与AB的垂直平分线交于点P，若BC=16cm，则点P的三个顶点的距离之和为_。15. 如图 ZM25所示，点B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60的角，在直线l上取一点P，使得APB=30，则满足条件的点P有（ ）A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 不存在16. 命题“线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是_。ZM2617. 如图 ZM26，在四边形ABCD中，A=135，B=D=90，BC=，AD=2，则四边形ABCD的面积是_。18. 点P是AOB内一点，作P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则PMN的周长是_。19. 已知在ABC中，A=40，B、C的平分线BE、CF，交于点O，则BOF=_。20. 如图ZM27，在ABC中，C=90，B=15，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10，则AC=_。ZM27ZM28ZM2921. 如图ZM28，BAC=30，P为BAC的平分线上任意一点，PDAC于D，PEAC交AB于E，求的值。22. 如图 ZM29，在ABC中，AB、AC的垂直平分线交BC于E、F，垂足分别为M、N，(1) 若ABC的周长为18cm，且AB:CA=2:3，求AEF的周长；(2) 若BAC+EAF=150，求BAC。23. 已知 ZM30：如图所示，E，D分别是AB，AC上的点，EBC与BCD的平分线交于点M，BED，DEC的平分线交于点N，那么A、M、N三点能否在同一条直线上？给出判断并证明你的结论。ZM31ZM3024. 已知：如图ZM31，在ABC中，ACB=90，BAC=30，ABD和ACE都是等边三角形，F是AB的中点，DE交AB于点M，求证: (1) DF=AC；(2) MD=ME。25. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心，风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响。(1) 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。(2) 若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？(3) 该城市受到台风影响的最大风力为几级？26. 如图ZM32，ABC中，B=2C，ADBC于D，求证：CD=AB+BD。一变：ABC中，ABC=2C，ADBC于D，延长CB到N，使BN=AB，连接AN，如图ZM33，求证：CD=AB+BD。二变：ABC中，B=2C，ADBC于D，作AC的中垂线分别交AC于G，交CD于H，连接AH，如图ZM34求证：CD=AB+BD。ZM33ZM32ZM3427. (1)如图ZM35，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你写出FE与FD之间的数量关系，并证明。(2) 如图ZM36，在ABC中，如果ACB不是直角，而以上中其他条件不变，请问，你在(1)中所的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。28. 如图 ZM37所示，ABC中，AC=BC=2，ACB=90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_。ZM23ZM35ZM36ZM37第二章 一元二次方程一元二次方程知识要点一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a0； (2) 若a0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;必须是整式方程；二次项系数不能为零。简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a0) ，则为一元二次方程，否则不是。估计一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的x的值是一元二次方程的解，估计一元二次方程的解，只是估计“解”的取值范围，比如在哪两个数之间。方法：当相邻两个整数，一个使ax2+bx+c0 ，一个使ax2+bx+c0，则一元二次方程的解就介于这两个数之间。认真观察代数式的特点和取值走向，才能很快找到这样的两个相邻整数。 易错易混点1. 下列关于x的方程：(1) ax2+bx+c=0 ；(2)；(3)；(4)中，一元二次方程的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 判断方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x的一元二次方程。(1)一变：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元二次方程，则m应满足_。(2) 二变：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元一次方程，则m的值为_。3. m为何值时，关于x的方程是一元二次方程？典型例题1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）A. ax2+bx+c=0 B. k2x+5k+6=0 C. D. (m2+3)x2+2x-2=02. 若下列方程是关于x的一元二次方程，求出m的取值范围。(1) ； (2) 3. 某城市2003年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2005年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）A. 300(1+x)=363 B. 300(1+x)2=363 C. 300(1+2x)=363 D. 363 (1-x)2=3004. 某种产品，原来每件产品成本是700元，由于连续两次降价，现在成本为448元，如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之多少？若设每次降低成本的百分数为x，则第一次降低成本后的成本为_，第二次降低成本后的成本为_，这样可列方程得_。5. 已知：直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，试求这个直角三角形的面积。Y2016. 如图 Y201所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图Y201所示的底面积为1500cm2的没盖的长方体盒子。想一想：应怎样求出截去的小正方形的边长？若设小正方形的边长为x cm，那么这个盒子的底部的长及宽分别为_cm和_cm，根据题意，可得方程_整理成一般形式得_。学习自评1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）ax2=bx； ；A. B. C. D. 2. 某学校计划在一块长8米，宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花，使矩形四周的草地的宽度都一样，求四周草地的宽度应为多少？设矩形四周留下草地的宽为x米，根据题意下列方程不正确的是（ ）A. 48-(16x+12x-4x2)=16 B. 16x+2x(6-2x)=32C. (8-x)(6-x)=16 D. (8-2x)(6-2x)=163. 若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 4. 某地2004年外贸收入为2.5亿元，2006年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可列出方程为（ ）A. 2.5(1+x)2=4 B. (2.5+x%)2=4 C. 2.5(1+x)(1+2x)=4 D. 2.5(1+x%)2=45. 若关于x的方程是一元二次方程，则m=_。6. 方程x2-2x-1=0的近似解是_.(结果精确到十分位)7. 当x_时，代数式x2-4x+3的值等于0.8. 某高新技术生产的生产总值，两年内由50万元增加到75万元。若每年产值的增长率相同，设增长率为x，则可列方程为_。9. 已知a0，ab，且x=1是方程ax2+bx-10=0的一个解，则的值是_。10. 已知：方程，当m_时，它是一元二次方程，当m_时，它是一元一次方程。Y202Y20311. 一口井直径为1.5米，用一根竹竿直插入井底，竹竿高出井口半米，如果把竹竿斜插入井口，竹竿刚好与井口平。（如图Y202所示）求竹竿的长度，设竹竿长x米，则井深为_米，可列方程为_。12. 如图 Y203，相框长为10cm，宽为6cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹照片的面积为32cm，则相框的边缘宽为多少cm？(1) 若设相框的边缘宽为x cm，可得方程_(一般形式)；(2) 分析x 的取值范围；(3) 完成表格 x012 34(1)中ax2+bx+c(4) 根据上表判断相框的边缘宽是多少厘米？13. 已知x=1是关于x的方程x2-ax+1=0的根，化简：。14. 一个长方形的周长是30cm，面积是54cm2，求这个长方形的长和宽。15. 若是关于x的一元二次方程，则a、b的值各是多少？甲同学的解答结果是：由题意，得：，解得乙同学的解答结果是：由题意，得：或解得或你认为他们的解答正确吗？如果不正确，请说明理由，并给出正确答案。16. 在宽20m，长32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路。（如图Y204所示）把耕地分成大小相等的六块试验地，要使试验地总面积变为570m2，那么道路的宽应为多少米？（道路宽取整数）Y204Y20517. 如图 Y205，在ABC中，B=90，AB=6cm，点P从A点开始沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，设P、Q到各边端点处即停止运动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，PBQ的面积等于8cm2?根据这一问题列出方程。解一元二次方程的方法知识要点直接开平方法：对于形式如（n0）的方程，根据平方根的意义，即两边同时开平方，变形为，得到两个一次方程，解一次方程得到未知数的值。配方法：把一元二次方程通过配成完全平方式的方法转化为的形式，从而得到这个一元二次方程的根。步骤如下：(1)把常数项移到方程的右边；(2) 把二次项系数化为1，(如果二次项系数不是1，给方程两边同除以二次项系数)(3) 给方程两边都加上一次项系数的一半的平方(4) 方程左边是一个完全平方式，将方程变形为的形式在中，当时，方程有两个不相等的实数根。当时，方程有两个相等的实数根。当时，方程有两个相等的实数根。公式法：一元二次方程的求根公式：(b2-4ac0)，步骤如下：(1) 把方程化为一般形式，进而确定a、b、c的值（注意符号）(2) 求出b2-4ac的值，（先判别方程是否有根）(3)在b2-4ac0的前提下，把a、b、c的值代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根。分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。一般步骤如下：(1) 把方程整理使其右边化为0；(2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积；(3) 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。提示：分解因式法应用面广，它不仅可以解一元二次方程，对高次的求解更有独到之处。根的判别式：b2-4ac=，当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac0时，方程无实数根。即不解方程就可判断方程解的情况。根与系数的关系:由求根公式可知，即不解方程可知方程的两根之和与两根之积，利用此可解决一些关于两根之和、之积、两根的倒数和、两根平方和等一类的问题。利用一元二次方程解决实际问题时，一元二次方程有两个根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，解完一元二次方程，要按题意检验这些根是不是符合实际问题的解。易错易混点(1) 用配方法解一元二次方程时，二次项系数化1时易错；(2) 不能确定a、b、c的值，代入公式时，代入不准确； (3) 方程两边同除以一个含有未知数的式子。1. 用配方法解方程：2x2-4x-10=02. 解方程：8x2+10x=33. 用分解因式法解一元二次方程：典型例题1. 当x取_时，x2-5x+7有最小值，最小值是_。2. 已知是方程2x2-x-7=0的两根，则=_。3. 已知一三角形的两边长分别为1和2，第三边的长是方程2x2-5x+3=0的根，则该三角形的周长为_。4. 已知方程有两个实数根，化简：。5. 已知a2-3a=1，b2-3b=1，并且ab，那么=_。6. 一元二次方程x2-px+q=0的两个根为3，-4，那么二次三项式x2-px+q可分解为（ ）A. (x-3)(x+4) B. (x+3)(x-4) C. (x-3)(x-4) D. (x+3)(x+4)7. 若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A. k-1 B.k-1 C. k1 D. k08. 用适当的方法解方程：(1) ； (2) ；(3) ; (4) x2-4x-6=09. 按要求解下列方程：(1) x2-3x=5 (用公式法解) (2) 8x2+10x=3 (用公式法解)(3) 2(x-2)2=x2-4 (用因式分解法解) (4) (2x-1)(x+3)=4 (用因式分解法解)学习自评1. 方程4x2+5=0的根是（ ）A. B. C. D. 无实根2. 用配方法将方程变形得（ ）A. B. C. D. 3. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A. B. 3 C. 6 D. 94. 三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A. 24 B. 24或 C. 48 D. 5. 已知，则x+y的值为（ ）A. 3或5 B. 3或-5 C. -3或5 D. -3或-56. x2-_+9=(x-_)2；x2-5x+6=(_)(_).7. 若x2+4x+m2是一个完全平方式，则m的值为_。8. 把方程化成一般形式为_。9. 若a+b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有一根为_。10. 完成下列配方过程：x2+2px+1= x2+2px+(_)+(_)=(x+_)2+(_).11. 已知实数a、b、c满足等式，则方程ax2+bx+c=0的根是_。12. 若x1，x2是方程x2-3x-2=0的两个根，则x1+x2=_，x1+x2=_，x12+x22=_，_。13. 用适当的方法解方程：(1) x2+2x=2； (2) 4x2-7x+2=0; (3) x2+3x-4=0(5) 2x2-3x+=0; (5) 2x(x+1)=3(x+1); (6) 14. (1)用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0；(2) 由第(1)题，你能否得到启发而写出三个值恒大于0的二次三项式。15. 三角形两边长分别是2和3，第三边是方程的解，求这个三角形的周长16. 在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为540m2，道路的宽为多少？17. 某电脑公司今年每个月的销售量都比上个月增长相同的百分数，已知该公司今年4月份的电脑销售量为500台，6月份比5月份多售出120台，求该公司今年销售量的月增长率是多少?一元二次方程的应用知识要点黄金分割点：线段上一个点将线段分成两部分，如果较长线段是较短线段和原线段的比例中项，那么该点叫做线段的黄金分割点。（一条线段有两个黄金分割点）黄金比：如果一条线段与另一条线段的比等于0.618，那么称这两条线段的比为黄金比。Y218如图 Y218点C、D分别是线段AB的黄金分割点，则，因此较长线段、较短线段、原线段有如下关系：列一元二次方程解应用题： 一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型。列一元二次方程解应用题的关键在于审题，要善于理解题意，分析题目中的数量关系，可采用列表、画图等分析方法，恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确列出方程，求得问题的正确答案，同时要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。一般步骤为：|(1) 审题；(2)设元；(3)列方程；(4) 解方程；(5) 检验；(6)写出答案。注意：寻找等量关系是列方程的关键也是难点；一元二次方程不仅能解决实际应用题，也可用来解决一些理论应用题，比如几何中的计算问题、数字问题等。易错易混点不检验方程的解1. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为x元，则每天可卖出(350-10x)，但物价局限定每件商品加价不能超过20%，商店要想每天赚400元，需要卖出多少件商品，每件商品的售价应是多少？2. 某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该批发商要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？典型例题1. 两个连续偶数的积为440，那么这两个数的和等于（ ）A. 42 B. -42 C. 42或-42 D. 43或-432. 某种药品的零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价的百分率为（ ）A. 10% B. 19% C. 9.5% D. 20%3. 设点C是长为10cm的线段AB的黄金分割点，且ACBC，则AC与BC的长分别是（ ）A. B. C. D. 以上均不对4. 一个两位数两个数字之和是9，把个位数字与十位数字互换后得数与原数相乘，积为1458，求这个两位数。5. 某商场有一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件，若使商场每天盈利1200元，每件衬衣应降价多少元？Y2D16. 如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（一条横向，两条纵向，且横向与纵向垂直），把耕地分成大小不等的方块作为水稻试验田，假如试验田的总面积为570m2，道路的宽应为多少？7. 汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同。(1) 该公司2006年盈利多少万元？(2) 若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？学习自评1. 两数差是3，这两数的平方和是117，那么这两个数分别为（ ）A. 9、6 B. 9、6或-6、-9 C. -6、-9 D. 不存在Y219Y2202. 两个连续奇数的积为255，则这两个数的和为（ ）A. 31 B. 32 C. 31 D. 323. 已知一元二次方程中a和c异号，那么这个方程（ ）A. 无实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 根的情况不能确定Y2214. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人5. 某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是_。6. 如图Y219是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为_。7. 某公司今年的产值是1000万元，若以后每年的平均增长率为20%，则两年后该公司的年产值是_万元。8. 如图Y220，ABC中，AB=AC，A=36，BD是ABC的平分线，若BC=5cm，则AB=_cm。变形：如图Y220，已知在ABC中，AB=AC=2，A=36，BD是ABC的平分线，且BC2=CDAC，求BC的长。9. 有一个两位数，十位数字与各位数字之和是5，把这个数的十位，个位数字对换后，所得的新两位数与原两位数之积为736，求原两位数。10. 某城市出租车的收费标准是3km内为N元，超过3km的收费标准如下表。某人乘出租车去某公司办事，停车后，打出的电子收费单上写着“里程为11km，应收29.1元，请付29元，谢谢！”，求出租车的基本价N(N12).11. 如图Y221，AO=OB=50cm，OC是一条射线，OCAB，一只蚂蚁由A以2cm/s的速度向B爬行；同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，问是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2？12. 将进价为40元、个的商品按50元/个的价格出售时，能卖出500个，已知该商品单价每涨1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时的进货量应为多少？13. 某灯具店购进一批某种型号的节能灯，共用去400元，在搬运过程中不慎打碎5盏，该店把余下的灯每盏加价4元全部售出，然后用所得钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏，求每盏灯的进价。14. 某工厂十月份生产零件1000件，这样一月份至十月份的总产量恰好完成全年计划，若在年底以前再生产2310个零件就超额完成计划的21%，问十一月份，十二月份月平均增长率是多少？15. 阅读下面的例题：解方程解：（1）当x0时，原方程化为x2 x 2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去）（2）当x0时，原方程化为x2 + x 2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2原方程的根是x1=2, x2= - 2 .请参照例题解方程16. 某容器盛满纯酒精25升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次倒出相同升数的酒精溶液后，再用水加满，这是容器里只剩下纯酒精16升，求每次倒出的酒精溶液的升数。Y22217. 如图 Y222所示，在ABC中，B=90，AB=6cm，BC=3cm，点P从A点开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，到达ABC的顶点后即停止运动，经过多长时间后，PQ间的距离等于cm？18. 某科技公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元，用于生产这种产品，签订的合同上约定，两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%，该产品投入市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈利72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。证明（三）平行四边形知识要点序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1定理平行四边形的性质定理平行四边形的对边相等，对