精品带权图的最短路径_1课件

定义 设 G (V, E)是简单图，若对于每一个e，均有 一正实数W(e)与之对应，则称W是G的权函数，并称G为带 权图，记为 G (V, E, W)。 我们研究带权图，一个重要的内容就是寻找某类具有最小（最大） 权的子图，其中之一就是最短路问题，例如：给定一个连接各城市的铁 路网络（连通的带权图），在这个网络中的两个指定的城市之间确定一 条最短路。 定义 设G (V, E, W)是带权图，(ei1,ei2,eik)是G 中的一条路，的路长为W()W(ei)。从u到v的最短路P是 指满足下列条件的路 W(P) minW()|为从u到v的路 由上述定义可以看到，如果每条边的权函数值为1，则带权图的路长 与一般图的路长是一致的。 带权图的最短路径 求最短路长的算法是E.W.Dijkstra于1959年提出来的，这是 至 今公认的求最短路长的最好算法，我们称它为Dijkstra算法 。 Dijkstra算法 功能：在连通的带权图中，求从v0到v的最短路的路长。 No1. p0 v0；P v0；T Vv0; d(p0) 0； ( tT)(d(t) )； No2. ( tT)(d(t) min(d(t)，d(p0)+W(p0,t)； No3. 在T中选取t0, 使( tT)(d(t0)d(t)； No4. p0 t0 ；P Pt0；T Tt0； No5. if p0 v then goto No2 else end。 例1. 求图1中从v0到v5的最短路径. 1. p0 v0, P v0, T v1,v2,v3,v4,v5 d(p0) 0, d(v1) d(v2) d(v3) d(v4) d(v5) . 2. d(v1) 1, d(v2) 4, d(v3) d(v4) d(v5) . 3. t0 v1 4. p0 t0 v1, P v0,v1, T v2, v3,v4,v5. 5. p0v5 , GoTo 2. 2. d(v2) 3, d(v3) 8, d(v4) 6, d(v5) . 3. t0 v2 4. p0 t0 v2, P v0,v1,v2, T v3,v4,v5 5. p0v5 , GoTo 2. v0 v2 v1v3 v4 v5 1 4 2 5 7 1 3 2 6 2. d(v3) 8, d(v4) 4, d(v5) . 3. t0 v4. 4. p0 t0 v4, P v0,v1,v2, v4, T v3, v5. 5. p0v5, GoTo 2. 2. d(v3) 7, d(v5) 10. 3. t0 v3 4. p0 t0 v3, P v0, v1, v2, v3, v4, T v5 5. p0 v5, GoTo 2. 2. d(v5) 9. 3. t0 v5. 4. p0 t0 v5, P v0,v1,v2,v3,v4,v5, T . 5. p0 v5 . Dijkstra算法的基本思想是：将图 G 中结点 集合 V 分成两部分，一部分称为具有 P 标号的集合， 另一部分称为具有 T 标号的集合。所谓结点的 P标 号是指从 v0 到的最短路的路长，而结点的标号 是指从 v0 到的某条路径的长度。Dijkstra算法中首 先将 v0 取为 P 标号结点，其余的点均为 T 标号结点， 然后逐步地将具有 T 标号的结点改为 P 标号结点，当 结点 v 也被改为 P 标号时，就找到了从 v0 到v 的最短 路径的长度。 6 Euler图 Euler图的来历为konigsberg七桥问题 。 定义1 设 G (V, E) 是无向连通图。 1) 若存在一条路 P，此路通过 G 中每条边且仅一 次，则称此路为Euler路。 2) 若存在一圈 C，此圈通过 G 中每条边一次且仅 一次，则称此圈为Euler圈。 3) 若G中有Euler 圈，则称G为Euler图。 这类通过各边恰好一次的问题就是通常所说的一笔画 问题（即笔不离纸，线不重复）。 定理1 设 G (V,E) 是无向连通图，那么，G是Euler 图当且仅当G中每个结点都是偶结点。 例1 图G如图所示，问图G是否为Euler图，若是，求 出其Euler圈。 由于G中的六个结点均为偶结点 且G连通，根据Euler定理可知，G 为Euler图，仿照定理证明的办法， 可得到G中的Euler圈。具体步骤如 下： 1 23 4 5 6 在图中任意找一简单圈C(1,2,3,1)，发现还有7条边不 在此圈中，边3,4不在C中且与圈中的结点3相关联。由结点3 出发经过边3,4可得一简单圈C(3,4,5,3)，将C并入C得到一 个新的更长的简单圈 C(1,2,3,4,5,3,1)。此时仍有4条边不在C 中，边4,6不在C中且与结点4关联。由结点4出发经过边4,6 又可得到一简单圈C(4,6,5,2,4)，将C并入C得到一个更长的 简单圈C(1,2,3,4,6,5,2,4,5,3,1)。由于G中所有的边都已在C中 ，故知此圈C为G中的一个Euler圈。 例2在哥尼斯堡七桥问题中， 由于每个结点均为奇结点，故由 Euler定理的充要条件知，该图中 不存在经过每条边一次且仅一次 的Euler圈。即该问题无解。 A B C D 推论 设G为连通无向图，G中有Euler路的充要条件 为G中恰有两个奇结点 。 证： 由条件知G中有一条Euler路，除了Euler路的起 点和终点外，其余的结点都是此路中所经过的点，将 Euler路的起点和终点连一条边，则得到一个新的图G， G连通且是Euler图，故G中每个结点为偶结点，将G中 添入的边删去，则G中恰有两个奇结点。 若G中恰有两个奇结点，将这两个奇结点连一 条边就得到一个新图G，G连通且无奇结点，则G是 Euler图，即G中有Euler圈。在G中将新添的边删去，就 得到G且G中有一条Euler路。 定义2 设G(V,E)是无向图，eE，若W(Ge) W(G)。则 称e为G的割边，其中W(G)表示G的连通支数。 如何在恰有两个奇结点的连通图中寻找Euler路，可参考 下面的方法。 Fleury算法，从一个奇结点出发走到另一个奇结点： 1）从一个奇结点出发，每走一边抹去一边； 2）在走边的过程中，除非没有其它选择时才走割边。 例3 在右图中，恰有两个奇 结点4和9，故存在Euler路， 按照Fleury算法可得其中一条 Euler路为(9,7,8,9,10,11,12,10, 3,2,1,3,4,5,6,4)。 1278 93 4 561112 10 定理2 设 G(V,E) 是强连通的有向图，G中 有Euler圈当且仅当G中每个结点的出度等于入度 。 定理3 设 G(V,E) 是强连通的有向图，G中 有Euler路当且仅当G中有一个结点的入度比出度 多1，有一个结点的出度比入度多1，其余每个结 点的出度等于入度。 7. Hamilton 图 Hamilton爵士（18051865）在1859年发明了一种游 戏，用一个正实心的十二面体，它的二十个顶点标有二十 个城市的名字，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点 一次且仅一次的闭合回路，即绕行世界问题。Hamilton以 25个金币的代价将他的设计卖给了一个玩具商。 由于正十二面体是由12个相同的正五边形组成，且有 20个顶点，该问题为怎样才能沿着12面体的棱旅行，经过 每个城市恰好一次，然后回到家中。Hamilton给出了这个 问题的肯定的答复。 定义1 设 G(V,E) 是无向连通图 1）若存在一条路,此路通过G中每一个结点一次且仅 一次,则称此路为H路。 2）若存在一圈，此圈通过G中每个结点一次且仅一 次，则称此圈为H圈。 3）若G中有圈，则称G为H图。 要指出的是，尽管从表面上看Hamilton问题和Euler 问题似乎很相似，但它们之间并无必然的联系。 例 是Euler图 不是Hamilton图 是Hamilton图 不是Euler图 定理1 设G(V,E)是H图，那么对于V的任一非空子集 S，有W(GS)|S|，其中W(G)表示G的连通支数。 例 在图(a)中，有9个结点。当将中间层上的三个结 点删去时，此时图2(a)变为图2(b)，而图2(b) 的连通支数为4 ，由定理知它不是图。 图2(b) 图2(a) 定理 设G(V, E)是具有n个结点的简单无向连通 图，若对任意u,vV，均有 deg(u)+deg(v)n1，则中 有一条路。 容易看出，定理2中的条件对图中是否存在H路是 充分的而不是必要的。如图 5中的六边形G虽然不满足定 理2中的条件，但G中有H路。 定理3 设G(V, E)是n个结点的简单无向连通图。 若对于任意的u,vV，均有deg (u)+deg (v)n， 则G是H 图。 定理4 设G(V, E)是个竞赛图(即G中任两点间有 且只有一条有向边)，则G中存在一条H路。 8 二分图（二部图，偶图） 二分图的来历是各委员会选主任委员的问题。 现有l个委员会，这l个委员会共有m个成员，要在这m 个成员中选出各委员会的主任委员，其条件为： 1)每个委员会只能有一个主任委员； 2)每个委员会的主任委员必须是该委员会的成员； 3)每个人最多只能担任一个委员会的主任委员（不能 兼职）。 问在什么条件下该问题有解，并求解。 要想一般性地解决这类问题，通常分成三步来完成: 1) 建立数学模型； 2) 找出解的存在条件； 3) 求解。 现在为选举主任委员问题建立一个数学模型。 令各委员会以及各委员会的成员为结点。 若某个人是某个委员会的成员，则该两结点间有边相 连，否则无边相连。于是就得到了用图论方法表示的这个问 题的数学模型。 V1 c1,c2,c3,c4, c5,c6,c7 为委员会的集合， V2 m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9为各委员会成员的集 合。 V1中每个结点的度数表示每个委员会有多少个成员 V2中每个结点的度数代表每个人参加了多少个委员会 这个图的特点是委员会之间无关系，各成员之间无关系 ，只有在委员会和成员之间才可能有关系。 C1C2C3C4C5C6C7 m1m2m3m4m5m6m7m8m9 定义1 设G(V, E)是简单无向图，若存在V的一个划分 V1,V2，使得EV1 T; i0。 若 kn1，则结束。 i i1; 若T ei无圈，则T T ei ; k k1; GoTo 。 删除边ei ; GG ei; GoTo 。 11 有根树 Rooted tree 定义1 设G(V, E)是有向图，若 1）G中有一个特殊结点r, deg(r)0； 2) 对于G中其它任何结点 vr, 均有 deg(v)1； 3) r 到 G 中任何结点均有路可达； 则称G为有根树。其中， 1）入度为零的结点称为根， 2）出度为零的结点称为叶子， 3）出度不为零的结点称为分支点。 定义2 设 T 为有根树，若给 T 的每一层结点规定了顺 序，则称 T 为有序树。 定义3 设T为有根树，若对于任意结点v，有 deg(v) m, 则称此有根树为m叉树。如果对每个结点v有deg(v)m或者 deg(v)0, 则称此有根树为完全m叉树。 定义4 设 T 为 m 叉有序树，而且 T 的每一层上诸结点 都有规定的位置，则称 T 为 m 叉位置树。 在 m 叉位置树中最重要的一种是二叉位置树，它在计 算机科学中有着十分重要的应用。 H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w- A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w- z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w- z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x- A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x- A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaPhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w- A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w- A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IahTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w- z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3EaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x- A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$t*x- A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQi