2015届高中数学《直线的倾斜角与斜率》导学案 北师大版必修2

第1课时直线的倾斜角与斜率1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,了解直线的倾斜角的范围.2.理解直线的倾斜角和斜率之间的关系以及斜率公式,并能利用过两点的直线斜率的计算公式求直线的倾斜角.意大利比萨斜塔修建于1173年,由著名建筑师那诺皮萨诺主持修建.它是比萨城的标志.开始时,塔高设计为100 m左右,但动工五六年后,塔身从三层开始倾斜,直到1372年完工还在持续倾斜,经过600年的风雨沧桑,塔身倾斜度达到了5.3,偏离中心达4.4 m,岌岌可危,但经过1972年当地的地震,塔体还是倾而不倒,巍然屹立,因此斜塔更加闻名遐迩.问题1:根据材料和图片,我们建立如图所示的平面直角坐标系,比萨斜塔的倾斜角是84.7.问题2:(1)直线的倾斜角的定义当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的最小正角叫作直线l的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0,因此,直线倾斜角的取值范围是0180.(2)斜率的定义倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率,常用k表示,即k=tan .当直线的倾斜角为90时,其斜率k不存在.(3)斜率公式当直线l经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)时,l的斜率k=.问题3:当倾斜角=0时,k=0,此时直线l与x轴平行或重合;当00,并且随着的增大而增大;当=90时,k不存在,此时直线l与x轴垂直;当90180时,k0,并且随着的增大而增大.特别地,当=45时,其斜率k=1.总之,倾斜角与斜率k之间的关系可用下图来表示:问题4:用表格的形式直观表述直线的倾斜角与斜率k之间的关系:直线情况平行于x轴由左向右上升垂直于x轴由右向左上升的大小=0090=90900不存在k0k的增减性不增不减单调递增不存在单调递增1.若经过P(-2,m)和Q(m,4)的直线的斜率为1,则m等于().A.1B.4C.1或3D.1或42.若三点A(-2,3),B(3,-2),C(12,m)共线,则m等于().A.1 B.2 C.12D.2或123.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是.4.设直线的斜率是k,且-1k0D.任一直线都有倾斜角,但它不一定有斜率2.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则成立的是().A.k1k2k3B.k3k1k2C.k1k3k2D.k3k2k13.已知直线l经过两点A(3,3),B(6,23),而直线l1的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍,则直线l1的斜率为.4.若直线l沿x轴的负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,求直线l的斜率.直线l过点A(1,2),且不过第四象限,那么直线l的斜率的取值范围是().A.0,2B.0,1C.0,12D.(0,12)考题变式(我来改编):第二章解析几何初步第1课时直线的倾斜角与斜率知识体系梳理问题1:84.7问题2:(1)正向l向上方向最小正角00180(2)正切值k=tan (3)y2-y1x2-x1(其中x1x2)问题3:增大不存在增大1问题4:k=0不存在k0,所以它的倾斜角1是锐角;直线BC的斜率k2=-120,所以它的倾斜角3是锐角,且为45.【小结】运用斜率公式时要注意下面三点:(1)k的值与P1、P2的顺序无关;(2)当x1=x2,即直线与x轴垂直时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角=90;(3)当 y1=y2时,直线与x轴平行或重合,斜率k=0,直线的倾斜角=0.探究二:【解析】 如图所示,直线PA的斜率kPA=2-(-3)-1-(-2)=5,直线PB的斜率kPB=0-23-(-1)=-12.当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时,它的斜率变化范围是5,+);当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时,它的斜率的变化范围是(-,-12.直线l的斜率的取值范围是(-,-125,+).【小结】本题运用了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需根据正切函数y=tan 的单调性求k的取值范围,数形结合是解析几何中的重要方法.解题时,借助图形及图形性质直观判断,明确解题思路,可以达到快捷解题的目的.探究三:【解析】tan 45=1,k1时,45. 又倾斜角须满足0180, 045,即倾斜角的取值范围是045.问题直线l的斜率k1,除了k0外,k0满足吗?结论本题做错的根本原因是没有搞清斜率k与倾斜角的对应关系,当k0时,对应090,当k0时,对应90180,故解决本题要分k0和k0两类情况讨论. 于是,正确解答如下:当0k1时,tan 45=1,045;当k0时,90180,tan 0成立.倾斜角的取值范围是0,45(90,180).【小结】 (1)斜率k=tan ,为直线倾斜角(90),知其一的范围可求另一个的范围.(2)当=90时,斜率k不存在;当=0时,k=0;当00;当90180时,k0.思维拓展应用应用一:(1)直线AC的斜率kAC=-1-20-(-3)=-1.(2)因为直线CA的倾斜角为135,所以直线CA的斜率kCA=n+1-3=-1,所以n=2.应用二:如图,由题知kAP=-1-10+1=-2,kAQ=-1-20-2=32,又由斜率与倾斜角之间的关系知k-2或k32.应用三:k=m2-11-2=1-m21,又k=tan ,02.k3k20,l1的倾斜角1为钝角,k10.故k1k2k3.3.3直线l经过点A(3,3),B(6,23),kl=23-36-3=33,直线l1的倾斜角为60,直线l1的斜率为tan 60=3.4.解:设直线l上的某一点A的坐标为(x1,y1),则直线向左平移3个单位,又向上平移1个单位后,得到了点A的坐标