理论力学习题解

理论力学作业解答 1-3 已知曲柄, 以匀角速度绕定点 O 转动,此曲柄借连杆 AB 使滑动 B 沿直线OAr 运动.设,.求连杆上 C 点的轨道方程及速度.OxACCBaAOBABO 解: 设 C 点的坐标为,则, x y coscos sinsin sin xra yra ya 联立上面三式消去得, 22222 (1/)4xayayr 整理得轨道方程 22222222 4()(3)x ayxyar 设 C 点的速度为,即v 2222222 sin2sinsinvxyrara 考虑 A 点的速度cos2cos A yra 得 coscos 2 cos2 cos rr aa 所以 2 cos4sincossin() 2cos r v 1-4 细杆 OL 绕 O 点以匀角速度转动,并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动,图中的 为一已知常数.试求小环的速度及加速度dva 解: 小环 C 的位置由坐标确定x tanxd 22 2 sec dx vxd d 22 222 2sectan2 dx axdx d 解法二: 设为小环相对于 AB 的速度, 为小环相对于 OL 的速度, 为小环相绕 O 点转动的速度,v 1 v 2 v 则 12 vvv 又设 OL 从竖直位置转过了角,则 , 22 sin x xd 22 cos d xd 2222 2 () coscos vxdxd v d 2222 12tan tan x vvxdxd d 所以, 小环相对于 AB 的速度为,方向沿 AB 向右. 22 ()xd v d 1-10 一质点沿着抛物线运动.其切向加速度的量值为法向加速度量值的倍.如 2 2ypx2k 此质点从正焦玄()的一端以速度出发,试求其达到正焦玄另一端时的速率., 2 p pu 解: 设条件为 , , n aka 2 n v a dvdv ddsv dv a dtdds dtd 上面三式联立得 2 dv kd v 两边积分 , 0 0 ( 2 ) v u dv k d d 2k vue 由可得 2 2ypx dyp dxy 在正焦玄两端点和处, ,.可看出,两点处抛物线得切线斜(, ) 2 p Ap(,) 2 p Bp1 A y 1 B y 率互为倒数,即,代入得 2 k vue 1-15 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后的甲板,蓬高.但当轮船2m4m 停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前,如果雨点的速率为,求轮船的速率.3m8/m s 解: 设相对于岸的速度为,雨相对于岸的速度为,雨相对于船的速度为则 0 v v r v 0r vvv 速度三角形与三角形 ABC 相似,得 0 22 23 1 43 vBC vAB 所以 0 8/vvm s 方程的解 322 320yp yp h 解: 作变换,原方程变为 2 p yz z 6 32 3 20 p zp h z 设,则 642 Rpp h 21/3 ()Ap hR 21/3 () 3 p Bp hR A 13 22 i 实根 21/321/3 1 ()()yABp hRp hR 两个虚根: , 2 2 yAB 2 3 yAB 对于该题,只取实根. 1-38 已知作用在质点上的力为, 111213x Fa xa ya z 212223y Fa xa ya z 其中都是常数,问这些应满足什么条件才有势能 313233z Fa xa ya z , ( ,1,2,3) i j ai j , i j a 存在?如果这些条件满足,试求其势能. 解: 由得: 0F ,( , 1,2,3) i jj i aai j 111213212223313233 ()()() xyz dVF dxF dyF dza xa ya z dxa xa ya z dya xa ya z dz 112122313233 000 222 112233122331 ()() 1 (222) 2 xyz Va xdxa xa y dya xa ya z dz a xa ya za xya yza zxc 1-39 一质点受一与距离 3/2 次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远 到达时的速度和自静止出发到达时的速率相同.a 1 va/4a 2 v 解: 依题意有 ,两边积分 3/2 1dvdv mmv dtdxx , 1 3/2 0 1 va mvdvdx x 2 1 12 2 mv a 再积分, 2 4 3/2 0 1 a v a mvdvdx x 2 1 12 2 mv a 可知 12 vv 1-43 如果质点受有心力作用而作双纽线的运动时，则 22 cos2ra 42 7 3ma h F r 试证明之。 解：比耐公式 2 22 2 () d uF h uu dm 而代入得 2 2 11 cos2 u ra 2 45 2 3 d u a uu d 42 7 3ma h F r 1-44 质点所受的有心力如果为 2 23 ()Fm rr 式中，及都是常数，并且，则其轨道方程可写成。试证 2 h 1cos a r ek 明之。式中，（A 为积分常数） 。 2 2 2 h k h 22 2 k h a 22 2 Ak h e 解：比耐公式将 F 代入得 2 22 2 () d uF h uu dm ，式中 22 2 22 d u k u dh 2 2 2 h k h 其解为 2 0 22 cos()uAkk k h 22 2 22 0 0 2 1cos() 1cos() k h a r Ak hekk kk 式中， 22 2 k h a 22 2 Ak h e 将基准线转动一角度，可使得 0 0 1cos a r ek 2-2 如自半径为为的球上，用一与球心相距为的平面，切出一球形帽，求此球ab 形帽的质心。 解：方法一 球形帽可看作由许多圆薄片沿 Z 轴叠成，其质心坐标0 cc xy 223 222 cos1 24 2 cos/ cos1 3 cos/ cos (sin)(coscos) (cos ) (sin)(1 cos) (cos ) 11 (coscos) 3 ()24 4 2 1 (coscos) 3 r b cr b b r b r rrdzd z rdzd r rb rb 方法二 取任一垂直于 OZ 轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱。 22 ()dmdVsdzrzdz 224 22 2 22 23 11 () () 3 ()24 4 2 1 () () 3 r rr bbb crrr bb b r zz zdmrzzdz rb z rb dmrzdz r zz 2-3 重为的人，手里拿着一个重为的物体。此人用与地平线成角的速度向前Ww 跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度水平向后抛出。问：由于物体的抛出，跳u 的距离增加了多少？ 解：选人与重物组成一个系统，此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守 恒。人在抛出重物以前，水平速度为，在最高点抛出重物之后，其水平速度变为 0cos v ，则 v 00 (cos)()cos WwWw vvuv gggg 人抛出重物后，做以为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离 v 00 0 sinsin cos vv xvv gg 两式联立得 0sin w uv x Wg 讨论： 若抛出物体时速度是相对人后来的速度即，则上面第一个方程变为 v 0 ()()cos WwWw vvuv gggg 结果是 0sin wuv x Wwg 一个例子：人重 60 公斤，物重 2 公斤，起跳速度，抛物速度，则5/m s10/m s 0.12xm 2-13 长为 的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边沿垂直，此l 时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条 的末端滑到桌子的边沿时，链条的速度。 解：【方法一】 设链条的线密度为，则 时刻下落的链条质量为，此时链条所受的t() 2 l my 重力为，根据牛顿第二定律有() 2 l mgyg () 2 dvl lyg dt 作变换代入上式, dydv vt dty () 2 l vdvy gdy 两边积分， 2 00 () 2 l v l vdvy gdy 1 3 2 vgl 【方法二】 设链条的线密度为，当链条往下移，重力做的功为y 0 y Wyg dygy y 2 3 8 l l l Wg ydymg ， 2 13 28 l mvWmg 1 3 2 vgl 216 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间 的关系。 解：变质量动力学方程 () ddm mvumg dtdt 设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度，代入上式得0u dvdm mvmg dtdt 设雨滴半径的增长率为，式中为时雨滴的半径，雨滴的质rrata0t 量 ，式中为密度 3 4 3 mr 3dv vg dtat 其解 34 ()() 4 g vatatc 设时，的0t 0v 4 4 ga c 4 3 4() ga vat at 5.1 半径为的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一r 端则在碗外，在碗内的长度为，试证棒的全长为。c 22 4(2)cr c 解：如图示，主动力，由虚功原理得mg 0mg y 而(2 cos) 2 l yrsin (2 cos2cos )0 2 l mgr 22 4 cos24(2) cos rcr l c 讨论：对直角坐标，由虚功原理有 0 xy WFxFymg y 好像不能选做广义坐标。y 实际上，若选做广义坐标，则广义力不是，而是y y F yxy dx QFF dy 平衡条件是而不是0 yxy dx QFF dy 0 y F 本题中，平衡方程是奇点方程，即，解之得 dx dy 0 dy dx 22 4(2)cr l c 广义坐标的定义域 A，的定义域 B，平衡位置在 A 内，但不再 B 内，即平衡方程是奇 dx dy 点方程。 dx dy P359【例题 5.3】轴为竖直而顶点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度绕轴转动。一质 量为的小环，套在此金属丝上，并可沿着金属丝滑动。试用正则方程求小环在在方向mx 的运动微分方程并求解方程。已知抛物线的方程为，式中为一常数。 2 4xaya 解：体系动能 2222 1 () 2 Tm xyx 体系势能 Vmgy 而， 所以 2 4 x y a 2 x yx a 所以 2 222 20 2 1 (1) 24 x Tm xxTT a 2 4 x Vmg a 拉氏函数 22 222 2 1 (1) 244 xx LTVm xxmg aa 哈密顿函数 22 222 20 2 1 (1) 244 xx HTTVm xxmg aa ， 2 2 (1) 4 x Lx pmx xa 2 2 (1) 4 x p x x m a 22 22 2 2 1 224 1 4 x pmx Hxmg xma a 代入正则方程得 2 22 22 (1)0 442 xxx mxmxmxmg aaa 初始条件：， 令， 0 0,0txx x 2 1 4a 2 2