关于周期函数的探讨 毕业论文.doc

关于周期函数的探讨内容摘要周期函数是数学中很重要的一部分内容，本文分别从周期函数的定义、建模、构造、求解以及它在学术上和生活中的应用等方面来探讨关于周期函数的相关问题，并列举了相应例子，为研究相关问题的工作人员提供了一些专业性的参考。关键词：周期函数 三角函数 构造 模型 应用approach of the periodic function and its minimal positive periodabstractperiodic function is a very important part of the mathematics content, this paper from the definition of periodic function, modeling, construction, solving, and academic and other aspects of life to explore the relevant issues on the periodic function, and cited cases of the corresponding example, to study issues related to staff a number of professional reference.key words: periodic function trigonometric function structure model application 19目 录序言1一、 绪论 1二、周期函数的定义1三、周期函数的图像1四、周期函数的构造4（一）从实数的运算角度去联想、构造周期函数4（二）从三角函数的角度去类比、构造周期函数5（三）从其它角度去探究、构造周期函数6五、周期函数的模型7六、周期函数的求法8（一）利用公式确定周期8（二）利用函数的运算和特性, 求出函数的周期8（三）利用递推关系,找出函数的周期 9七、周期函数的应用12（一）数学方面的应用121、在三角函数中的应用 12(1) 由诱导公式抽象出具有周期性的函数12（2）由两角和的正切（余切）公式抽象出具有周期性的函数13（3）由余弦函数的和差化积公式抽象出具有周期性的函数132、在数列中的应用 143、在抽象函数中的应用 15(1)求周期函数的函数值 15（2）求周期函数的最大值和最小值16（3）求周期数列的前n项之和164、在图形中的应用 17(二)现实中的应用18八、总结19参考文献20一、 绪 论人们将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求两者的实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。成语“周而复始”是指每增加（或减少）一定的量之后所出现的结果相同. 一年四季，春夏秋冬，循环往复，周而复始. 数学中的周期性函数用这一成语来诠释，既通俗易懂，又耐人寻味. 为什么人们能够根据今天星期几，从而推算出几年、几十年后，甚至几百年后的今天是星期几，这就是同余问题，与每周七天的周期性相关.周期性作为函数的一个重要性质，具有极高的学术研究价值；随着社会的发展，人们的生活条件在不断提高，现代社会研究天文、星象和太空以及物理电子方面，掌握其规律，可以使人们在不破坏自然环境的前提下，更好的让自然服务于人类，而且电子通讯行业也会随其发展而进步。故通过研究此课题更好的揭示函数周期性的实质，以此来促进人类发展。二、周期函数（一）周期函数的定义一般地,对于函数，如果存在一个常数,使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期性函数，常数叫做这个函数的周期。换句话说，就是自变量增加(或减少) 一个相同的非零常数或的非零整数倍，函数值保持不变。（二）周期函数的的图像在我国现行的高中新(老) 教材中, 对周期函数都是这样定义的:对于函数 , 如果存在一个不为零的常数, 使得当 取定义域内的每一个值时， 都成立, 那么就把函数 叫做周期函数, 不为零的常数叫做函数的周期.这一定义简洁明快, 学生容易接受, 作为课本定义是可行的. 但由于它的“简单性”, 其“先天不足”随时可能导致人们出现错误的判断. 因此,在进行周期函数的教学时, 应以课本定义为基础,非经严格论证,绝对不能想当然地搬用其它定义下的周期函数的性质. 下面就周期函数图象的重现性谈一点看法:在课本定义下的周期函数, 由于满足,易知周期函数的一个必要条件是函数值必须单向周期性地无限多次重复出现,如: , ,最小正周期,沿正向取值时函数值无限多次重复出现, ,即取, 时函数值无限多次相等. 但从任一数值开始, 沿负向却不可能无限多次相等.因此在能够画出函数图象的前提下, 周期函数的这一必要条件等价于周期函数的图象( 0 时向右) 单向周期性地无限多次重复出现. 这说明课本定义下的周期函数, 其图象重复出现是有方向性的,局部的, 从整体上看并不一定是周而复始的.如函数,.它的最小正周期为,它在内的图象,沿 轴正方向在区间, 中不断地重复出现;它在内的图象,沿轴正方向在区间, 中不断地重复出现。一般地,设课本定义下的周期函数的定义域为,周期为, 则对任意, 有,所以(1) 若只有正周期, 则的图象沿轴正方向无限多次重复出现;(2) 若只有负周期, 则的图象沿轴负方向无限多次重复出现;(3) 若同时有正、负周期,则 的图象沿轴正、负双向无限多次重复出现.只有在第三种情况下, 周期函数的整体性质是它在任一周期内的性质进行周期延拓的结果,这时研究函数的性态, 可局限在某一周期内讨论. 作它的图象,只要作出它在某一个周期内的图象,然后向左、右按周期平移就可得到函数的整个图象.而在第一、第二两种情况下, 许多事实是客观存在的,但却似乎令人难以置信,如:(1) 从整体上看,函数的图象并不是周而复始的,如反例: ,的图象.(2) 若是周期函数的两个周期,人们通常认为是整数或有理数,但实际上可能等于任何非零实数.(3) 有正周期的周期函数,如果没有最小正周期,则必有任意小的正周期.(2)、( 3)可用同一反例加以说明: ,. 用周期函数的课本定义, 不难证明, 的所有周期集合, 取等于1 , 则 ,且有无数多个正周期, 但没有最小正周期,也没有任意小的正周期。以下以函数图像的对称性和函数的周期为例,来探讨它们之间的关系.前面学习过了三角函数,知道三角函数是周期函数,即它们的变化过程是周期性地不断重复出现的.我们还知道三角函数的图像还有对称性,有的是偶函数,有的是奇函数,因而它们的图像具有轴对称或中心对称的性质.周期性可以看作是“一路接力”对称运动,那么对称性与周期有怎样的关系?先画出正弦(余弦) 函数的图像可以看出图像有无数个对称轴,并且周期性地变化. 那么正弦(余弦) 函数的这种性质能否可以推广?先考虑问题: 如果一个函数的图像有垂直于轴的对称轴,那么该函数是周期函数吗?一条行吗?两条呢?很容易举出反例,比如函数,它的图像有一条垂直于轴的对称轴, 但不是周期函数,所以一条不行,那么两条呢?问题1 定义在实数集r上的函数 满足: (1) ; (2) . 该函数是否具有周期性?可以举出很多正确的例子, 比如正弦函数和余弦函数,暂时举不出反例, 所以我们感觉这个结论好象是对的. 但这毕竟是初步的感性认识,要转化为理性认识, 必须经过严格的证明.根据周期的定义, 在证明前要事先寻找出一个可能是周期的非零常数,然后证明等式对任意恒成立.寻找非零常数时,可以先把函数特殊化. 当是正弦或余弦函数时, 不难发现取是对的,其它情况不一定成立比如取等情况,对于对称轴相邻的情况不成立,但取是对所有情况都成立的.证明: 这个式子是对任意x r都成立的,所以函数是周期函数,且它的一个周期.于是就得到结论:结论1 定义在实数集r上的函数 满足: (1) ;(2) ,则函数是周期函数,且它的一个周期.这里注意, 不一定是最小正周期.反过来,如果一个函数是周期函数, 那么这个函数的图像是否一定有垂直于轴的对称轴?正切函数是周期函数,但它的图像没有垂直于轴的对称轴,所以,上述命题的逆命题不正确.函数图像的对称除了轴对称外, 还有中心对称.根据结论1,我们进行发散思维,自然会提出如下问题:问题2 定义在实数集r上的函数满足: (1) ; (2) 它的图像关于点中心对称. 该函数是否具有周期性和问题1 一样,可以举出很多正确的例子,比如正弦函数和余弦函数, 暂时举不出反例, 所以我们感觉这个结论好象是对的, 但是必须经过严格的证明. 仍然要在证明前事先寻找出一个可能是周期的非零常数,然后证明等式对任意x d 恒成立.寻找非零常数t 时,和问题1 一样, 先把问题特殊化, 比如是正弦函数或余弦函数,我们可以得到. 这里还要注意的是函数的图像关于点中心对称的充要条件是证明: 该式对任意恒成立, 所以函数是周期函数,且它的一个周期是.由此,得到如下结论:结论2 定义在实数集r上的函数满足:(1);(2)它的图像关于点中心对称,则该函数是周期函数,且它的一个周期是.建模的过程是培养我们从特殊到一般,从具体到抽象,以个性寻找共性的思维过程.总之,周期函数的周期不能只局限在或等上,要能推广到等任意非零常数上.三、构造周期函数（一）从实数的运算角度去联想、构造周期函数例1 设函数满足,求该函数的最小正周期.解: 因为,所以,函数的最小正周期.分析:本题的核心条件是,从函数的本质上可以这样理解,等式左边的自变量为,右边的自变量为,而它们的函数值是一对相反数,即自变量每减少一个单位,函数值是它的相反数.如果联想到“实数的相反数的相反数是本身”,那么就会想到当自变量减少两个单位时,函数值是本身,即,所以它的周期为2.同样,利用“非零实数的倒数的倒数是本身,即”, 可以分析满足的函数是周期函数且最小正周期.结合上述分析可以构造以下一类周期函数:(1) 函数 满足,则函数的最小正周期 ；(2) 函数 满足 ,则函数的最小正周期。（二）从三角函数的角度去类比、构造周期函数例2 设偶函数满足,求该函数的最小正周期.解:因为 是偶函数即， 于是,所以, 函数的最小正周期.分析:例2 的两个条件从图像角度不难知道,函数的图像有两条对称轴, :和,周期恰是两条对称轴的距离的两倍. 这是一个与函数周期性和图像对称性有关的问题, 那么在高中数学的其他章节中是否学过一种函数,是既有周期性又有图像对称性问题的函数呢?又能否把它作进一步的类比呢?若能联想到三角函数.如,那么回答是肯定的如图1,是的周期函数,它的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,对称轴方程是,中心坐标是 .请看下列3 个问题:(1) 函数的两条临近的对称轴和的距离,则,即函数的周期恰是两条对称轴的距离的2倍;(2) 函数的两个临近的对称中心和的距离,则,即函数的周期恰是两个对称中心的距离的2 倍;(3) 函数的一个对称中心到它临近的一条对称轴的距离, 则 ,即函数 的周期恰是对称中心与对称轴的距离的4 倍.于是,不难产生如下类比:(1) 函数的两条临近的对称轴和的距离 (其中),则函数的最小正周期;设函数满足,( 其中),则函数的最小正周期;(2) 函数的两个临近的对称中心和的距离(其中),则;设函数 满足, (其中),则函数的最小正周期;(3) 函数 的一个对称中心到它临近的一条对称轴的距离 (其中),则;设函数满足:, (其中),则函数的最小正周期（三）从其它角度去探究、构造周期函数例3 设函数 满足,求该函数的最小正周期.解:因为,所以,函数的最小正周期.下列2 个函数结构相似, 但不全是周期数:(1) 设函数满足,则函数的最小正周期;(2) 设函数满足,它不是周期函数,这类周期函数的结构较复杂,构造难度较大,但还是可以构造的.例4 设函数满足,是否存在常数,使函数为周期函数.若存在,求出和周期;若不存在,说明理由.解:令则同理求得, (1) 若,则 即求得。此时, 下面用定义来验证:因为,所以函数不是的周期函数.(2) 若,则,即，求得,同上,舍去.(3) 若,则,即,求得,同上,舍去;或,所以,存在常数,使函数为周期是3 的周期函数.六、周期函数周期的求法（一）利用公式确定周期我们利用周期定义和三角函数的诱导公式可得一般的三角周期函数, 正如(1) , , 所以 为、 的周期; (2) , , 所以为、 的周期.（二）利用函数的运算和特性, 求出函数的周期定理1 两个周期( 这周期不一定是最小正周期)相同的周期函数的和、差、积、商( 作为分母的周期函数不能为零) 也是周期函数, 并且周期不变.例如, 若和都是为周期的周期函数, 则 , , ( 其中) 也都是周期函数, 并且t也是它们的周期.证明: 设这两个周期函数、的和、差、积、商函数分别为、 、,即, , ( 其中) . 、 有相同的周期.当 取、的定义域内的任一个值时,有 和( 其中 是在定义域内) 有(1) ;(2) ;(3) ;(4) ( 其中) .因此、都是周期函数,并且 是它们的一个周期.定理2 周期函数的绝对值函数也是周期函数,即，若是周期函数,是它的周期, 则也是周期函数, 并且也是它的周期.证明: 是周期函数, 是它的周期, =(、 都是在定义域内),由绝对值的性质得=, 也是周期函数,是它的周期.定理3 周期函数的有限次整数幂的函数( 以后把它称为函数幂) 也是周期函数, 并且原来函数的周期也是函数幂的周期.例如, 若是周期函数, 是它的周期, 则 (,) 也是周期函数, 并且 也是它的周期.证明: 设().是周期函数,是它的周期, =(、 都在定义域内). () 也是周期函数,是它的周期.例1 证明函数 是周期函数并求出它的一个周期.分析 和都是周期函数,是它们的周期, 所以由上面定理2 得 和都是周期函数,并且是它们的周期,由上面定理1 得也是周期函数,又因为=,所以是=的一个周期.（三）利用递推关系,找出函数的周期定理4 具有递推性质:(其中为正整数,为可变的正整数,且) 的数列 必定是周期数列,就是它的周期.证明: (为某正整数) ( 其中) 将两式左右两边相加并合并同类项得: 又由 的任意性可知数列 是一个周期数列,而 就是它的周期.我们从上面定理4 的推导过程可得到:推论具有递推性质:( 其中为正整数,为可变的正整数,且)的周期数列的任一周期段的各项之和必为零.证明: 由上面定理4 得是一个周期数列,是它的周期; 设它的任一周期段的各项分别为,由上面定理4的证明过程( 由式的证明过程)中可得:, , , ;= =0 定理5 设是常数且,若函数对定义域内任意一个,满足,则 是周期函数且它的周期为。证明：因，则由周期函数的定义可知，是一个以为周期的周期函数.推论1若函数 满足,其中是一个给定的常数, 则是周期函数且它的周期是.证明: 因 故,则 由定理4知是周期函数且它的周期是定理6 设,是常数且,若函数 对定义域内的任意一个 ,满足,则是周期函数且它的周期为.证明:因, 则由周期函数的定义可知, 是一个以为周期的周期函数.推论2设, 是常数且,若函数对定义域内任意一个满足,则是周期函数且它的周期为.证明:因 由定理5知结论成立.定理7 设,是常数且,若函数对定义域任意一个,满足,则是周期函数且它的周期为.证明:因 ,则是周期函数且它的周期为.推论3 设,是常数且,若函数对定义域内任意一个,满足, 则是周期函数且它的周期为.证明:因= ,则由定理6知结论成立.推论4 若函数满足 ,其中是一个给定的常数,则 是周期函数且它的周期是.证明:因 ，即,则由定理6 知是周期函数且它的周期是.同理可证推论5 成立.推论5 若函数满足,其中是一个给定的常数,则是周期函数且它的周期是.定理8若函数满足,其中,为常数,且,则为周期函数且它的周期是.证明:因故为周期函数且它的周期是.定理9若函数满足=,其中是给定的常数,则为周期函数且它的周期是.证明:由题设,=,则=,于是,从而,所以,故为周期函数且它的周期是类似可证下面的定理10 成立.定理10 若函数满足f ( x) ,其中是给定的常数,则为周期函数且它的周期是.七、周期函数的应用（一）数学方面的应用1、在三角函数中的应用三角函数中的周期应用问题是数学考试中出现频率很高的试题. （1）由诱导公式抽象出具有周期性的函数a、由函数或知周期为,且或,从而抽象函数方程, 其周期为b、由函数或知周期为,且有或,从而抽象函数方程, 其周期为。c、由函数知周期为, 且有, 从而抽象函数方程, 其周期为。（2）由两角和的正切（余切）公式抽象出具有周期性的函数由函数且1,以下同),可知周期是,且有 a、当时, 函数方程是，其周期为。b、当时, 函数方程是，其周期为。c、当时, 函数方程是，其周期为。由函数可知周期为，且，从而抽象出以下结论：d、当时, 函数方程是，其周期为。e、当时, 函数方程是，其周期为。f、当时, 函数方程是，其周期为。3、由余弦函数的和差化积公式抽象出具有周期性的函数由函数，可知周期为, 且 从而抽象出函数方程g、当时, 函数方程是，其周期为。h、当时, 函数方程是，其周期为。i、当时, 函数方程是，其周期为。j、当时, 函数方程是，其周期为。k、当时, 函数方程是，其周期为。例1已知函数,则的值是_解该函数的最小正周期为= 2、在数列中的应用由于数列可以看成是特殊的函数, 因此在数列中出现周期应用问题也不奇怪.例2在数列中, 已知则_.解 ,两式相加,得.,6是该函数的一个周期. 于是.例3 若数列的前8 项的值各异, 且 对任意都成立, 则下列数列中可取遍的前8项值的数列为( )a. b. c. d. 解 由即知, 数列是周期为8的周期数列. 猜测符合要求.证明时, ;时, ;时, ;时, ;时, ;时, ;时, ;时, ;的取值从1到8,取遍了到的值,故选b.3、在抽象函数中的应用抽象函数中的周期应用问题, 内容多, 综合性强,值得关注.(1) 求周期函数的函数值例4: 已知函数的定义域是r, ，.求的值.分析: 由已知式子得, ,所以 所以 即,所以是以4 为周期的周期函数.又因为, 所以 而, 所以.这里我们利用函数的周期性把求的值转化为求的值.这比直接将代入计算简化了许多.例5 已知为奇函数,且,当时,则_解, 又为奇函数, , ,8为这个函数的一个周期.例6 已知定义在r上的奇函数满足),则的值为( )a. - 1 b. 0 c. 1 d. 2解由题意得=,4为该函数的一个周期.（2）求周期函数的最大值和最小值例7: 求函数的最大值和最小值.分析: 此函数的定义域是r, 由例1 知它是一个周期函数, 并且是它的周期.若在整个定义域r 上考察它的函数值, 然后找出它的最大值和最小值, 则计算量大且复杂.我们若根据函数的周期性, 只在它的一个周期上考察的函数值,就可得出的最大值和最小值, 因为当时,有，, 所以 , 再由正弦函数的单调性质得: 当 ( 即当) 时, 有最大值; 当 ( 即当) 或当 ( 即当) 时, 有最小值1.显然, 我们利用函数的周期性把考察的范围缩小了,从而可去掉函数式中的绝对值符号,使问题变成一个关于三角函数的最值问题.（3）求周期数列的前n 项之和例8: 己知数列有;它的前184 项之和等于197,前197 项之和等于184, 求它的前2006 项之和.解: (1) 由上面定理4 可知数列 是一个周期数列且6 是它的周期.由定理4 的推论得:( 其中是数列的前180 项之和, 其余有关及其下标的符号类推) , 所以=197 又由定理4 的推论得: 所以比较得: .又由定理4 的式的证明过程可得: , 即,.(2) 因为, 又根据已知条件得, 即, 所以 又因为, 所以式变为 再用式代入得.4在图形中的应用某些图形的变化规律,也可以借助于函数的周期概念加以描述.例9四个小动物换座位,狗、猴、兔、猫分别坐在1, 2, 3, 4号座位上(如图),第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,按这样交替进行下去,那么第2009 次互换座位后小兔的座位对应的编号是_号.解用表示第次互换, ,则 ,于是4为该互换的一个周期, , 故小兔的座位对应的编号是1号.（二）现实中的应用华南地区地磁短周期转换函数在地震预报中的应用地震地磁学或称震磁关系是在地震预报研究中逐渐形成的一门边缘学科，主要研究地震孕育、发生及震后调整过程中直接或间接引起的震磁前兆及其机理、地磁预报地震的方法、理论与技术途径。地震磁现象的观测与研究，迄今已有近百年的历史，随着有关地震前地磁场各种异常变化报道的增多，震磁关系的研究也在向纵深发展。震磁现象的观测是震磁关系研究的基础与前提，也是震磁研究最基础的工作。转换函数方法是一种较为成功的预测地震的地磁方法。研究结果表明，转换函数在一些震例中有较明显的前兆异常表现。我国地磁台站以往记录的几十年的资料都是磁照图模拟记录，因此，过去所做的地磁转换函数研究都是基于磁照图而进行的。近几年来