北京交通大学2012-2013第一学期概率论与数理统计期中试题答案

北京交通大学 2012-2013 第一学期 概率论与数理统计期中试题答案 1.（6 分）设 ， ， ，求 . 1.0)(AP9.0)|(AB2.0)|(ABP)|(BAP 解： ， 2 分(.9B ， 2 分)()|) 0.21PA()0.27 = .2 分|(3 2. (12 分) (12 分)设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女 生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份。随机的取一个地区的报名表，从中先后抽取两 份。 (1)求先抽到的一份是女生表的概率； (2)已知后抽到的一份表是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。 解： 记 =抽到第 i 地区考生的报名表,i=1,2,3.iH =第 j 次抽到的报名表是男生的,j=1,2.jA 2 分 2 分 又因为 ;107)();3,21()( 1HAPiPi则 有 .25(;5821由 全 概 率 公 式 知)(311)()(i iiHAPAPp 251703.90,)()()2( 2121APq由 全 概 率 公 式 得 31121i iiHAP ,)(312iiH,079)(2 2 分 2 分 2 分 2 分 3、(10 分) 甲、乙、丙三人独立的向同一飞行目标各射击一次，击中的概率分别为 0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中，则目标被击落的概率为 0.2；如果有两人击中， 则目标被击落的概率为 0.6；如果三人都击中，则目标一定被击落。求目标被击落的概 率。 解：设 A 表示“目标被击落” ， 依次表示“甲、乙、丙击中目321,B 标” ， 表示“有 i 个人击中目标” ， i=1，2，3。iC 则有题设有： 7.0)(,5.0)(,4.0)(21 PBP332321)()()() 32121BC)()(321321 BPPBP 2 分6.075.60.56.05.40 ,3081457)(21HAP.)(321 ,92305873)(21 AP所 以 )()(2312iiiHAP而 312)(iiAP,90658073)( 21APq所 以 .61290 同理 2 分321321321 BBC 41.0)(2CP 2 分3 4.0)(CP 由全概率公式得： 2 分 30)|()(i iiAA 2 分458.01.6041.26. 解 2 分 知 221XP3ba 3 分 1 分 :)(的 性 质利 用 分 布 函 数 xF),0(iii ,1)(F)()(a.1且 .65,ba由 此 解 得 的 分 布 律 。并 求试 确 定 常 数且 的 分 布 函 数 为分 ） 设 离 散 型 随 机 变 量 XbaXPxaxxFX,21 .2,132, ,)(10.(4 X2136P.,61,0)(xF因 此 有 4 分 5、(4 分)已知盒子里有 10 张卡片，上面分别标有号码（1 号10 号） ，从中抽取 5 次， 每次随机地取一张，观察其上的号码后放回设 X 表示观察到奇数号码的次数，则随 机变量 X 服从什么分布（指出其参数）. 答：(4 分)b(5,0.5). 仅说明分布，没有写出参数 2 分 6、 （8 分）随机变量 X 与 Y 相互独立, 且均服从区间 上的均匀分布, 试求 Pmin(X,Y) 03 1 和 Pmax(X,Y)1. (8 分)5/9,8/9. 解：PX = = 2 分13dx2 Pmin(X,Y) =1- Pmin(X,Y) = 1- PX ,Y =1- PX PY 111 =1- =5/9 3 分23 Pmax(X,Y)1= 1-Pmax(X,Y) 1=1-PX ,Y = 1-PX PY =1-11 =8/913 3 分 7、(14 分)设随机变量 X 服从标准正态分布(已知 )。972.0)(,8413.0)( (1)写出 X 的概率密度 ；)xf (2)随机变量 ，求 Y 的概率密度 ；2)(yfY (3)随机变量 , 求 Z 的分布律. 其,321,1XZ 解：(1) ,2)(xXefx 2 分 (2) ).(,yFYYX的 分 布 函 数 分 别 为和设 2PyF 1 分 .0)(时 ，当 )(yXY 时 ，当 2 分f 其 它其 它 ,021 ,0),(21)( eyfyXY 3 分 (3) (1).8413,(2)0.972 11()1)2()20.8430.6822()(1(.97.1).73210.68.780.456PZXPXPZPZ 分分 2 分 | 2 30.68.7180.456 8、(12 分) 设二维随机变量 (X,Y) 在 D=(x,y ) | 1 x 3, 1 y x 上服从均匀分 布。 (1) 求(X,Y) 的联合密度 f(x,y)； (2) 判断 X 与 Y 是否独立? 给出理由； (3) 求 Z=X+Y 密度函数. 解：(1) D 的面积 m(D) = 2, 所以, (X,Y) 的联合密度 f(x,y)= +4 .0,),(21其 它 Dyx (2) 设 X 与 Y 的边际密度函数分别为 f (x) 和 f (y), XY f (x)= = = , (1 ).X dyxf),(x12)1(x3x f (y)= = = , (1 ).3 分Y xyf),(y3)(yy 因为 f(x,y) f (x)f (y) , 所以 X 与 Y 不独立。1 分XY （3） 1 分,Zfzfxzdx 非零区域 13xzxzx21,3 当 时， 24z 12zZfd42z 当 时， 6 32zZfx3 其它， 0f 3 分 1,4423,60,Zzzfz其 9、 （10 分）某箱装 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80，10 和 10 件.现从中随机 取一件，定义三个随机变量 如下：123,X 其,0ii ,i 试求： （1） 随机变量 与 的联合分布律；（2） 随机变量 的分1 213X 布律。 解：(1) ， 2 分1,0.8XB21,0.XB 则 的联合分布律为12 如 3 分12 80, .1PX （2） 的分布律为213 5 分 10、 解 3 分 2X 10 1 0 .1 0. 1 . 0 -3 2 P0.1 0.1 0.8 得由 ,1d),()1( yxf xcyyde0,)3(2e20 ccy .1yxfxfXd),()()2(.0,0,exx.,21yy.,0,e),( ),(14其 他的 联 合 概 率 密 度 为分 ） 设 随 机 变 量 yxcxyf YXy.2,21)4( );(),(3?2;)1( YXPYXPxyfxfc求求 为 什 么是 否 独 立与求 常 数 3 分 3 分 3 分 2 分 xyfyfYd),()(,)(),(0 yfxfyxfyx YX上由 于 在 (,