对等差数列与等比数列的几点探讨

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 对等差数列与等比数列的几点探讨 【摘 要】站在高等数学的角度 上看等差数列与等比数列，探讨这两个 特殊数列的联系。将本来离散的问题转 化成连续问题研究，用生成函数方法将 数列构造成一个整体，用极限方法求解 无限数列的相关问题。 中国论文网 /8/view-12932442.htm 【关键词】等差数列；等比数列； 生成函数 中图分类号： G633.6 文献标识 码： A 文章编号： 2095- 2457（2017）35-0019-002 Discussion on Pairs of Almost Difference and Equal Sequence YAO Xiang-li -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 （Shou County， Huainan City， Anhui Province Elementary School， Hefei， Anhui 230000， China） 【Abstract】From the perspective of advanced mathematics， we can see the relationship between these two special sequences by looking at the arithmetic progression and the arithmetic progression. The originally discrete problem is transformed into a continuous problem study. The generating function method is used to construct the sequence as a whole， and the limit method is used to solve the problem of infinite series. 【Key words】Equal number series； Equal ratio series； Generate function 引例：圆木堆放成横截面为梯形， 顶层有 3 根，底层有 8 根，每相邻两层 相差 1 根，共 6 层，问这堆圆木有几根？ -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 解法一：把每根圆木看成直径为 1，这样堆积成的是一个上底为 3，下底 为 8，高是 6 的梯形，求有多少根圆木 可以看成求这个梯形面积： S=33. 解法二：一个个相加 3+4+5+6+7+8=33. 在本题中我们可以发现：等差数 列求和公式中的“ 首项” 与 “末项”相当于 梯形面积公式中的“ 上底”与“下底”， “项 数”相当于梯形的 “高”.梯形面积公式与 等差数列求和公式进行了完美的对接. 问题 1：等差数列为离散型的， 而梯形面积是连续的，为什么两者之间 的类型不同却存在着相似性？它们之间 的联系该如何建立？ 已知等差盗校an=a1+（n-1 ） d，nN+. 不妨设 d0，故可建立宽为 1， 高为 an， （n N+）的长方形小条，并 建立坐标系，见图 1. 此时，每个长方形小条的面积正 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 好对于其高 an，故等差数列 an=a1+（n- 1）d，nN+前 n 项求和可构造成 n 个 长方形小条的面积求和. 当连接每个长方形小条上端中点 并延长时，可得到一条直线 y=a1-+xd 而此时，易发现长方形小条的面积总和 等于梯形 ABCO 面积. 这时我们已将等差数列求和构造 成面积问题.这个面积如何求？有两种方 法：一种是用梯形面积公式，一种是用 积分的方法. 方法一：利用用梯形面积公式： |OA|=a1-，|BC|=an+（n1） ， |OC|=n， SABCD= |OC|= n= n. 方法二：因为 y=a1-+xd 为连续 的函数，故可积， S= ？蘩（a1-+xd）dx=（a1- ） x+x2d|=na1+d. 由方法一与方法二得到的结果即 是等差数列前 n 项求和的求和公式，这 种将离散的数列问题转化成连续型面积 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 问题是可行的. 问题 2：等差数列求和公式 Sn= n 中 与梯形（三角形）的中位线公式， 均匀分布的期望，线段中点公式非常相 似，那么它们之间是否有什么联系？ 对于等差数列a1，a2，a3，an， 公差为 d. 当 n 为奇数时，（a1+an）=a， 即为 a1，a2，a3，an 的中位数； 当 n 为偶数时，（a1+an）= （a+a） ，即为 a1，a2 ，a3，an 的 两个中位数的平均数. （1）与梯形（三角形）的中位 线公式有什么关系呢？与线段中点公式 又有什么联系呢？ 图 2 在图 2 中是一系列坐标为 （n，an）的点，其中 an=a1+（n-1） d，nN+ ，连接这些点，可得到一条直 线 y=a1-d+xd.对于？坌 nN+且 n1， 有点（n，an ） ，过该点做 x 轴的垂线， 过（1，a1）点做 x 轴的垂线可得到一 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 个梯形.其中，上底为 a1，下底为 an. 梯形中位线长度=. 当时 a1=0，则上述梯形变为三角 形，即三角形可看为上底为 0 的梯形， 这种关系仍然存在. 同样的对于点（1，a1） ， （n，an）构成的线段上的中点为（， ） . （2）与均匀分布的期望又有什 么关系呢？ 均匀分布的期望定义1： 设 a ，b，则 E=？蘩 x.p（x）dx=？蘩xdx=. 因为 是连续型的随机变量，在 区间上每点的概念都是相同的，它的期 望正是它的均值. 对于数列an 来说， 也是其均 值. 不管数列an 看成是离散的点或 是线段，我们都可以在 n 有限的条件下， 找到一个稳定的位置. 问题 3： 等比数列求和时，n 为有限数和 n， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 有无区别？ 等比数列求和公式： Sn=，q1， Sn=a1 （1+q+q2+qn-1 ） =1-qn= （1-q ） （1+q+q2+qn- 1）. 这个等式 a=1 是时的一个常见的 因式分解公式： an-bn=（a-b） （an-1+an- 2b+bn-1） ， 且当 qZ，q1 时， （1-q）|（1- qn）. 数学分析中有几何级数（等比级 数）2：qn-1=1+q+q2+qn+. 这个几何级数qn-1，正是首项 为 1，公比为 q 的等差数列（无限数列） 求和. 当等比数列an 为有限项时，我 们直接可用求和公式；可若是an为无 限数列时，我们就可以用运用部分和数 列Sn，Sn=ai，用级数理论2来求解. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 故 n 时，an 的求和就可以 转化为ai=Sn=a1. 问题 4：当 n 时，等比数列的 求和公式与 q 有什么样的关系？ S=Sn=a1， 当|q|1 时，qn（n ） ，故 a1（n） ，即 S 是分散的； 当|q|1 时，qn0 （n） ，故 a1a1（n） ，即 S=； 且当|q|1 时，我们可由洛朗展开 式3得：1+q+q2+=，则 S=a1（1+q+q2+ ）=. 故对于无限等比数列求和 S= ，|q|1 ，|q|1. 题 5：由常数列a，a， 生成的函数4是幂函数：A（x） =a+ax+ax2+，这个幂函数的形式与等 比数列求和极其相似，那么它们之间是 否存在联系？ 由于只有收敛的幂级数才有解析 意义，并可以作为函数进行各种运算， 这样就有了级数收敛性的问题4.故此 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 时讨论的问题与问题 3 和问题 4 本质是 一样的，主要用到收敛性.不同的是在该 问题中，我们将数列a，a，用幂级 数 A（x）=a+ax+ax2+ 表示成一个整 体.故当 x 取值为一个常数时，幂级数 A（x）即为等比数列求和. 当a，a，a为有限项时，其幂 级数 A（x）=a+ax+ax2+axn-1； 当a，a， 为无限项时，其幂 级数 A（x）=a+ax+ax2+axn-1+ ， 其结果与问题