2015年第十二届五一数学建模联赛

2015 年第十二届五一数学建模联赛 承 诺 书 仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们授权五一数学建模联赛赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示 （包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。 我们参赛选择的题号为（从 A/B/C 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为： 参赛组别（研究生或本科或专科）： 本科 所属学校（请填写完整的全名） 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 年 月 日 获奖证书邮寄地址： 邮政编码： 收件人姓名： 联系电话： 2015 年第十二届五一数学建模联赛 编 号 专 用 页 竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 评阅记录 评 阅 人 评 分 备 注 裁剪线 裁剪线 裁剪线 竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）： 2015 年第十二届五一数学建模联赛 题 目 摘 要 一、 问题背景和重述 1.1 问题背景 近十年来，我国 GDP 持续快速增长，但经济增长模式相对传统落后，对生态平 衡 和自然环境造成一定的破坏，空气污染的弊病日益突出，特别是日益加重的雾霾天气 已 经干扰到社会的出行秩序和生活质量。国家能源委员会新能源产业振兴和发展规划 等“国家新能源发展战略”政策的出台，说明国家已经把能源环境问题上升到国家安 全 级别，经济发展转型、节能减排、能源利用新途径和发展新能源等方面的问题亟待解 决。 我国大气污染程度越发严重，而由于我国环境治理中，仅水污染与固体废弃物治 理的市场化程度较高，其余如大气污染治理由于易受天气影响并且会在不同地域间转 移，因此一直以来，政府对大气污染治理的积极性较低， ，这部分市场也较为薄弱。 1.2 问题重述 一般认为影响空气质量的主要因素有 PM2.5、PM10、二氧化氮、二氧化硫、一氧 化碳、臭氧、硫化氢、碳氢化合物和烟尘等。根据环保部 1 月 12 日公布城市空气质量 日报，API 污染指数最高的前 10 位城市是：第一名石家庄、第二名邯郸、第三名保定、 第四名唐山、第五名天津、第六名郑州、第七名济南、第八名秦皇岛、第九名济宁、 第 十名乌鲁木齐和武汉并列。在此排名中京津冀地区的城市就占了大半，由此可见京津 冀 地区大气污染非常严重。以京津冀地区为研究对象解决以下问题： （1）参考现有国标和美标，建立衡量空气质量优劣程度等级的数学模型。 （2）查找数据并列出京津冀地区主要污染源及其污染参数，分析影响空气质量的 主要污染源的性质和种类。 （3）建立单污染源空气污染扩散模型，描述其对周围空气污染的动态影响规律。 现有河北境内某一工厂废气排放烟囱高 50m，主要排放物为氮氧化物。早上 9 点至下 午 3 点期间的排放浓度为 406.92mg/m3，排放速度为 1200m3/h；晚上 10 点-凌晨 4 点期间 的排放浓度为 1160mg/m3，排放速度为 5700m3/h；通过你的扩散模型求解该 工厂方圆 51 公里分别在早上 8 点、中午 12 点、晚上 9 点空气污染浓度分布和空 气质量等级。 （4）建立多污染源空气污染扩散模型，并以汽车尾气污染源为例求解分析以下问 题：北京在 2015 年 1 月 15 日已经连续三天发生重污染，假设从 16 日开始北京启 动汽 车单双号限行交通管制措施，求解北京市二环、四环、六环路在 16 日早上 8 点、中午 12 点、晚上 9 点时空气污染浓度梯度变化及空气质量等级。 （5）根据你们的模型和求解结果，分析总结影响空气质量的关键参数，为京津冀 地区环保部门撰写一份建议报告，给出实现“APEC”蓝天的可行性措施和建议。 二、问题一的分析与模型的建立、求解 2.1 问题一的分析 利用数学方法将空气污染程度进行分类，其实质就是用量化的方法反映和评价空 气质量。对于大气环境质量的评价，就是将监测点的监测数据与国家规定的大气质量 标准等级相比较，进行综合评价，为环保部门及相关职能部门提供科学管理与污染防 治决策依据，并为社会公众对大气环境质量认识提供一种尺度。第一问说到的对该市 的空气污染程度进行分类，那就需要对空气污染指标进行处理后得到一个可以用来衡 量其他监测点的标准。 通过查找相关资料我们了解到，目前根据我国空气污染的特点和污染防治工作的 重点被计入空气质量指数（AQI）的污染物项目定为：细 颗 粒 物 （p m2.5） 、可 吸 入 颗 粒 物 （ pm10） 、 二 氧 化 硫 （ SO2） 、 二 氧 化 氮 （ NO2） 、 臭 氧（O3）.这与我们对问题一的模型假设是一 致的，因此我们引入空气质量指数这个概念，应用空气质量指数法来建立和求解模型。 空气质量指数( air pollution index，API) 是反映 大气环境质量水平的重要指标 2 根据环境空气质 量标准和各项污染物对人体健康和生态环境的影 响，将常规 监测的几种空气污染物浓度简化成为单 一的概念性指数值形式，它将空气污染程度和 空气 质量状况分级表征，适合于表示城市的短期空气质 量状况和变化趋势 2.2 符号说明和名词解释 为了便于问题的求解，现将本文中出现的符号进行解释说明： 符号 符号说明 Ii Ci 第 i 种污染物的污染分指数 第 i 种污染物的浓度监测值 Ii,j Ii,j+1 Ci,j Ci,j+1 第 i 种污染物 j 折点的污染分项指数值 第 i 污染物的 j+1 转折点的污染分项数数 值 第 j 转折点上 i 种污染物的(对应于 Ii,j) 的浓度限值 第 j+1 转折点上 i 种污染物的(对应于 Ii,j+1)浓度限值 2.3 模型的建立与求解 空气污染分指数 Ii,可由实测的浓度值按照分段方程计算。当第 i 种污染物浓度 为 Ci 时,CijCiCi,j+1 时其分指数 Ii= ,+1+1+1(,+1,)+, 污染指数的计算结果只保留整数,小数点后的数值全部进位。各种污染物的污染分 指数计算出以后,取最大者为该城市的空气质量指数 AQI=max(I1,I2,In),该项污染 物为该城市空气中首要污染物。 空气污染物浓度（中国统计年鉴） 城 市 二氧 化硫 年平 均浓 度 (g/m 3) 二氧化 氮 年平均 浓度 (g/m3) 可吸入 颗粒物 (PM10) 年 平均浓 度 (g/m3) 一氧化 碳 日均值 第 95 百分位 浓度 (mg/m3) 臭氧 (O3)日 最大 8 小时第 90 百分位 浓度 (g/m3) 细颗粒 物 (PM2.5) 年 平均浓 度 (g/m3) 烟 尘的 年 平均 浓度 (g/m 3) 硫化 氢的 年平 均浓 度 (ug/m 3) 碳氢化 合物 平均浓 度 (g/m3) 北 京 26 56 108 3.4 188 89 207 16 20 天 津 59 54 150 3.7 151 96 258 30 32 河 北 105 68 305 5.7 173 154 476 23 21 中美两国环境质量标准中各污染物质量浓度限值 中国标准 美国标准污染物 取值时间 一级 二级 三级 一级 二级 SO2(ug/m3) 50 60 250 365 烟尘(ug/m 3) 120 300 500 PM2.5(ug/m3) 65 65 PM10(ug/m3) 50 150 250 150 NO2(ug/m3) 80 120 120 CO(ug/m3) 4000 4000 6000 O3(ug/m3) 日平均 140 200 200 175 175 空气质量指数及对应的污染物项目浓度限值 空气质 量 指数 （AQI ） 二氧化 硫(SO 2) 24 小时 平均 /（ug/m 3） 二氧化 氮(NO 2) 24 小时 平均 /(ug/m3 ) PM10 24 小 时平 均 /(ug/ m3) 一氧化 碳(CO) 24 小时 平均 /(ug/m3 ) 臭氧 (O3)24 小时平 均 /(ug/m3 ) PM2.5 24 小时 平均 /(ug/m3 ) TSP 24 小时平 均 /(u/m3) 0 0 0 0 0 0 0 0 50 50 40 50 2 160 35 120 100 150 80 150 4 200 75 300 200 800 280 350 24 400 150 500 300 1600 565 420 36 800 250 625 400 2100 750 500 48 1000 350 875 500 2620 940 600 60 1200 500 1000 举例计算：AQI（So2、No2、pm10） AQI(So2) AQI(No2) AQI(pm10) 北京 26 70 79 天津 59 67.5 100 河北 105 72.5 177.5 得到某一天： 北京 AQI=max(26、70、79)=79 天津 AQI=max(59、67.5、100)=100 河北 AQI=max(105、72.5、177.5)=177.5 空气污染指数范围及相应的空气质量级别 空气质量指数 空气质量级别 空气质量评价 050 I 优 51100 II 良 101200 III 轻度污染 201300 IV 中度污染 300 V 重度污染 北京空气质量：良 天津空气质量：良 河北空气质量：轻度污染 三、问题二的解答 3.1 问题二的分析 近年来，京津冀大气污染严重，燃煤、机动车和工业等是主要污染因素。 PM2.5 是首要污染物，其中燃煤、机动车和工业排放为其最主要来源。从相关数 据分析，京津冀三地的主要污染源不尽相同。 1.北京机动车尾气排放对大气影响最明显 从 2012 年情况看，京津冀机动车氮氧化物排放量 68.2 万吨，占氮氧化物排 放总量的 30%，其中北京机动车氮氧化物排放量占本地区氮氧化物的比重达 45%，分别高于天津 28.8 个和河北 13.9 个百分点。 2.天津、河北工业污染对大气影响较突出 工业污染对大气环境的影响较大，2012 年，京津冀工业二氧化硫排放量占 二氧化硫排放总量的 91.2%；工业氮氧化物排放量占氮氧化物排放总量的 68.4%；工业烟（粉）尘排放量占烟（粉）尘排放总量的 82.6%。分省市看，天 津工业污染影响最大，工业二氧化硫占比、工业氮氧化物占比均高于北京和河北； 河北工业烟（粉）尘占比高于北京和天津。 2012 年京津冀工业废气排放情况 省市 工业二氧化硫占 本地区比重 （%） 工业氮氧化物 占本地区氮氧 化物比重（%） 工业烟（粉）尘 占本地区烟（粉） 尘比重（%） 北京市 63.2 48.1 46.2 天津市 96.0 82.4 70.2 河北省 92.4 67.8 85.4 3.河北燃煤消费对大气影响很严重 2012 年，京津冀燃煤消费总量 38927 万吨。河北煤炭消费量占其能源消费总 量的 88.8%，远远高于北京的 25.4%和天津的 59.6%。煤炭消费排放出大量二氧化硫， 对大气环境造成很大影 响，2012 年河北二氧化硫排放量占京津冀的 80.8%。 污染参数可参考 2.3 中所列数据 环保部有关负责人昨日表示，造成京津冀地区近期大范围空气重污染的原因主要有： 一是污染排放强度高，污染物排放量大；二是气象条件不利，污染物难以及时扩散， 尤其是京津冀区域近几天冷空气势力弱，近地面风力小，大气层结稳定，污染物容易 形成积聚效应；三是机动车、北方冬季燃煤采暖污染等对空气质量产生影响。从各个 方面综合得出主要污染源燃：燃煤、机动车尾气排放、工业排放。 按污染物质的来源可分为天然污染源和人为污染源。人为污染源人类的生产和生 活活动是大气污染的主要来源。京津冀地区空气污染源的性质主要是认为污染源。 四、问题三的分析与模型的建立、假设和求解 4.1 问题三的分析 以河北境内某一工厂废气排放烟囱为点，描述其对周围空气污染的动态影响规律。 在点源的实际扩散中，污染物可能受到地面障碍物的阻挡，因此应当考虑地面对 扩散的影响。处理的方法是，或者假定污染物在扩散过程中的质量不变，到达地面时 不发生沉降或化学反应而全部反射；或者污染物在没有反射而被全部吸收，实际情况 应在这两者之间。由 “扩散定律” 、 “物质质量守恒 ”可得出无界区域的偏微分方程， 在通过假设条件建立初步模型，再由外界因素对模型进行完善，最终得到对以烟囱为 点源，不同地区、不同时段的废气排放浓度预测 。 4.2 模型假设 大量的实验和理论研究证明，特别是对于连续源的平均烟流，其浓度分布是符合 正态分布的。因此我们可以作如下假定： （1）污染物浓度在 y、z 轴上的分布符合高斯分布（正态分布）； （2）在全部空间中风速是均匀的、稳定的； （3）源强是连续均匀的； （4）在扩散过程中污染物质量是守恒的（不考虑转化）； （5）气体的传播服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度 梯度成正比； 4.3 符号说明和名词解释 符号 符号说明 平均风速 Q 源强是指污染物排放速率 （ i ） 瞬时点源的源强以一次释放的总量表示 （ii ） 连续点源以单位时间的释放量表示 （iii） 连续线源以单位时间单位长度的排放量表示 （iv ） 连续面源以单位时间单位面积的排放量表示 侧向扩散参数，污染物在 y 方向分布的标准偏差，是距离 y 的函数，m 竖向扩散参数，污染物在 z 方向分布的标准偏差，是距离 x 的函数，m 4.4 模型的建立与求解 有效源位于坐标原点 o 处，平均风向与 x 轴平行，并与 x 轴正向同向。假设点源 在没有任何障碍物的自由空间扩散，不考虑下垫面的存在。大气中的扩散是具有 y 与 z 两个坐标方向的二维正态分布，当两坐标方向的随机变量独立时，分布密度为每个坐 标方向的一维正态分布密度函数的乘积。由正态分布的假设条件，参照正态分布函 数的基本形式，取 0，则在点源下风向任一点的浓度分布函数为： C（x,y,z）=A(x)exp 12(22+22) 式中 A(x)-待定系数 由守恒和连续假设条件（3）和（4） ，在任一垂直于 x 轴的烟流截面上有： q= + 将式（516）代入式（517）, 由风速稳定假设条件(1)，A 与 y、z 无关，考虑 到 + exp( 2 2)=2 积分可得待定函数 A（x）= 2 将式（518）代入式（516） ，得大空间连续点源的高斯扩散模式 A（x）= 212(22+22) 式中，扩散系数 y、z 与大气稳定度和水平距离 x 有关，并随 x 的增大而增加。 当 y0，z0 时，A（x）C（x，0,0） ，即 A（x）为 x 轴上的浓度，也是垂直于 x 轴 截面上污染物的最大浓度点 Cmax。当 x，y 及 z，则 C0，表明污染物以 在大气中得以完全扩散。 点源在地面上的投影点 o 作为坐标原点，有效源位于 z 轴上某点， zH。高架有 效源的高度由两部分组成，即 Hhh，其中 h 为排放口的有效高度，h 是热烟流 的浮升力和烟气以一定速度竖直离开排放口的冲力使烟流抬升的一个附加高度。 当污染物到达地面后被全部反射时，可以按照全反射原理，用“像源法”来求解空 间某点 k 的浓度。反射浓度可视为由一与实源对称的位于(0，0，H)的像源（假想源） 扩散到 k 点的浓度。k 点在以实源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z-H)，则实源在 k 点扩散的浓度为式（519）的坐标沿 z 轴向下平移距离 H： Cs= （520） 212(22+()22) k 点在以像源为原点的坐标系中的垂直坐标为(zH)，则像源在 k 点扩散的浓度为式 （519）的坐标沿 z 轴向上平移距离 H： Cx= （521） 212(22+()22) 由此，实源 Cs 与像源 Cx 之和即为 k 点的实际污染物浓度： C(x,y,z,H)= exp （522） 2(222)()222+(+)222 若污染物到达地面后被完全吸收，则 Cx0，污染物浓度 C（x，y，z，H）Cs， 即式（520） 。 （2）地面全部反射时的地面浓度。实际中，高架点源扩散问题中最关心的是地面浓 度的分布状况，尤其是地面最大浓度值和它离源头的距离。在式（522）中，令 z0，可得高架点源的地面浓度公式： C(x,y,0,H)= exp （523） 12(22+22) 上式中进一步令 y0 则可得到沿 x 轴线上的浓度分布： C(x,0,0,H)= exp （524） 12(22) y 方向的浓度以 x 轴为对称轴按正态分布；沿 x 轴线上，在污染物排放源附近地面 浓度接近于零，然后顺风向不断增大，在离源一定距离时的某处，地面轴线上的浓度 达到最大值，以后又逐渐减小。 地面最大浓度值 Cmax 及其离源的距离 Xmax 可以由式（524）求导并取极值得到。 令 ，由于 y、z 均为 x 的未知函数，最简单的情况可假定 y/z=常数=0 则当 =H/ （ 525）|2 时，得地面浓度最大值 Cmax= = (5-26) 22 由式（525）可以看出，有效源 H 越高， xmax 处的 z 值越大，而 zxmax，则 Cmax 出现的位置离污染源的距离越远。式（526）表明，地面上最大 浓度 Cmax 与有效源高度的平方及平均风速成反比，增加 H 可以有效地防止污染物在地 面某一局部区域的聚积。 式（525）和式（526）是在估算大气污染时经常选用的计算公式。由于它们是 在 y/z常数的假定下得到的，应用于小尺度湍流扩散更合适。除了极稳定或极不 稳定的大气条件，通常可设 y/z2 估算最大地面浓度，其估算值与孤立高架点源 (如电厂烟囱)附近的环境监测数据比较一致。通过理论或经验的方法可得 zf（x） 的具体表达式，代入（525）可求出最大浓度点离源的距离 Xmax。 现有河北境内某一工厂废气排放烟囱高 50m，主要排放物为氮氧化物。早上 9 点 至下午 3 点期间的排放浓度为 406.92mg/m3，排放速度为 1200m3/h；晚上 10 点-凌 晨 4 点期间 的排放浓度为 1160mg/m3，排放速度为 5700m3/h；如图： 可以得到废气排放的初始高度，当地风速影响到扩散的速度，和扩散的范围。下风 向印象扩散的范围。 在 51 公里处的氮氧化物的 浓度约为 0.001 毫克每立方米。所以为 10 微克每立方 米，有第一问建立的模型可以知道等级为一级，空气质量为优。 在早上 8 点，中午 12 点，晚上 9 点时刻时。唯有时间早上 8 点在之列，中午 12 点， 晚上 9 点时，受到累计作用环境更加恶劣，预测推算 AQI 指 120 毫克每立方米空气等 级为二级，空气质量为轻度污染。 四、问题四的分析与模型的求解 4.1 问题的分析 在 4 问中，必须分析到污染源，由 2 问，主要污染源燃：燃煤、机动车尾气排放、 工业排放，多污染源空气污染扩散，在实际的北京市分析时，我们以汽车排放为主。 理想认为家庭燃煤与汽车排放物相比较，甚微，不纳入与之相抗衡比较。而对于工厂， 在北京市的主城区内，工厂也是十分少的。所以以汽车排放物为主要污染源。对于北 京市的分析，题目要求求解二环、四环、六环的空气质量。 （1）针对二环而言，我们 的污染源有二环汽车的排放物，四环汽车排放物扩散到二环，六环汽车排放物扩散到 二环。 （2）汽车的排放物主要是一氧化碳、碳氢化合物、氮氧化合物等。我们在这里 就只考虑了以上 3 种排放物。 （3）我们题目最后的要求是空气质量等级，参考 1 问模 型。 4.2 模型的求解 参考第 3 问的模型，单污染源扩散模型。本题中多污染源扩散模型建立在但污染源 的基础上，以一个地方的汽车排放为一个污染源。针对二环、四环、六环就为三个污 染源，单污染源在模型三中建立。二环一氧化碳浓度为二环汽车排放浓度加上四环汽 车排放扩散到四环的浓