高二数学二项式定理(第一课时)

1、高二数学二项式定理(第一课时)一 教学目标：掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题。二 教学重点：项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征.三 教学难点：计算和论证一些简单问题四 教学方法：启发式五 数学过程I. 复习回顾1问题 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率9，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？分析：本金10万元，年利率11，按单利计算，10年后的本利和是10（11110）21（万元）本金

2、10万元，年利率9，按每年复利一次计算，10年后的本利和是那么如何计算 的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如 的展开式。从本节课开始我们就来研究二项式定理（点明课题）. 讲授新课由 那么 展开后，它的各项是什么呢？容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项： 现在来看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么？在上面4个括号中：每个都不取b的情况有1种，即 种，所以 的系数是 ；恰有1个取b的情况下有 种，所以 的系数是 ；恰有2个取b的情况下有 种，所以

3、 的系数是 ；恰有3个取b的情况下有 种，所以 的系数是 ；4个都取b的情况下有 种，所以 的系数是 ；因此。请同学们归纳、猜想 一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 的二项展开式。在这里，教师应当指出，上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明。二项展开式有以下特征：（1）共有 项。（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。利用二项式定理可以求二项展开式。例1 展开 。解： 。例2 展开 。解：先将原式化简，再展开 。例3 用二次式定理

4、证明：（1） 能被100整除；（2） 能被 整除。（ ）证明：（1） 能被100整除。（2）可先让学生仿照（1）证明，教师再讲解。 而 是正整数。故 能被 整除。. 课堂练习 1计算： 。（由一名学生板演后，教师讲解）2求证： 。（由一名学生板演后，教师讲解）3求 展开式中含x项的系数。（学生练习后，教师分析讲解）4解决本节课开始提出的问题。【参考答案】1解： 。2证明：右边 左边故原式得证。3解法1： 。显然只有 中含有x项，其系数为 。解法2：由于 展开式中含x项的系数是 。4解： 由此可见，按年利率9每年复利一次计算的要比年利率11单利计算更有利，10年后多得利息1.645万元。IV. 课时小结1二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式二项式的乘方的展开式，要理解和掌握展开式的规律。利用它就可以对二项式展开，进行计算或证明。2对课本第105页这样一段话“容易看到，等号右边的积的展开式的