毕业答辩模板(矩阵正定型的研究).ppt

1、作者： 指导教师：,矩阵的正定性研究,摘要,代数学是数学中一个重要的基础分支，而正定矩阵又是高等代数的重中之重，特别是正定矩阵部分的应用很广泛。正定矩阵是计算数学，数学物理，控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类。 本文对一般矩阵给出了正定性的定义，推广了正定矩阵的一些结果，总结了矩阵正定性的若干充要条件。 并且研究了正定矩阵的一些性质。,目录,1 引言 2 正定矩阵定义的发展 3 正定矩阵的充要条件 4 相关引理 5 主要定理及其证明 6 结论,1引言,历史上，矩阵的正定性研究一开始仅限于对实对称矩阵而言，人们对实对称矩阵的正定性作了很多深刻的研究，这些研究在几何学，物理学以及概率论等学科中

2、都得到了广泛的应用.随着数学本身的发展和其他应用矩阵的学科的发展需要，有不少学者开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。1970年，C.R Johnson第一次对一般实矩阵给出了正定性的定义。后来佟文延，夏长富，杨仕椿等又进一步推广了正定矩阵的定义，提出了广义正定矩阵概念。随着正定矩阵的发展，其应用也越来越广泛。,正定矩阵定义的发展,1970年，C.R Johnson给出了正定矩阵较为广义的定义：设 ,如果 ，都有 ，则称 为正定矩阵。 1984年，佟文延把正定矩阵推广为： 设 ,如果 都有正对角矩阵 使得 ，则称为广义的正定矩阵 。 1988年，夏长富把这种正定矩阵进行了进一步的推广如下 ：,

3、设 ，若 都存在 ，使得 ，则 称为广义的正定矩阵。 2005年，杨仕椿，吴文权又进一步推广了广义正定矩阵： 设 ，若 都存在 ，使得 ，则 称为更广义的正定矩阵。,正定矩阵的充要条件,判定一个矩阵是否正定矩阵除了用定义以外还可以运一些等价定理，下面给出一些判定矩阵正定的充要条件。 设 是 阶实对称矩阵 ，则 为正定的充要条件是 ： 1. 合同于单位矩阵 。 2.存在满秩阵 ，使得 成立。 3. 个特征值全为正值 。 4. 的的所有顺序主子式大于零 。 5.存在对称正定阵 ，使得,引理1,是 阶矩阵， 是 的转置矩阵， 是 的特征值， 与 分别是 和 对应与 的特征向量， 为 的 行行和， 为

4、 的 列列和。则,引理2,设 是正数， 是任意的实数，则 当且仅当所有的比值 相等时取等号。,定理1,设 是非负不可约矩阵 的谱半径， 分别为 的 行行和与 列列和,且 （ 是单位矩阵）， 则任意的正整数 ,有 (1) (2),定理1的证明,证明 设 分别是 和 对应与特征值 的特征向量，且 ，易证 由引理1知：,于是 由引理2可得 即 同理,定理2,设 是非负不可约的矩阵 的谱半径， ， 分别为 的 行行和与 列列和，且 （ 为单位矩阵），则任意的正整数 ， 存在， 且 （3）,定理2的证明,证明 令 ，对任意的正整数 ，有 即 单调递增有上界 ，,即 把定理2中的行和改成列和，结论仍然成立

5、。,说明,（1）若 ，当 时，式（1）即为Frobenius的 界值。 （2）由定理（2）的证明可得 因此本文介绍的上界值比Frobenius的上界值精确度更高。,数值举例,利用定理3.1及其推论，举例说明。 对 的最大特征值 ，计算 的谱半径上界，并 与经典结论进行比较，说明其优越性。,实际上， 的最大特征值是,结论,本文其主要是以Frobenius界值定理为基础，对其进行优化改进，得到一种求非负矩阵谱半径上界的方法。 Frobenius界值给出的下界对大型矩阵的谱半径上界估计是非常简单有效的，其具体计算方法可通过编程在计算机上运行。 本文仅仅是利用放缩法改进了Frobenius界值定理，对于非负矩阵谱半径上界估计有一定的局限性。因此，在进一步的研究中，可以考虑矩阵更多的特殊性质，针对具体问题设计更适合的