数学归纳法及其应用举例.ppt

1、2.1 数学归纳法 及其应用举例 （2）,1会用数学归纳法证明整数(整式)整除问题 2会用数学归纳法证明一些简单的几何问题 3了解数学归纳法应用的广泛性，进一步掌握数学归纳法的证明步骤 4掌握为证nk1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等,数学归纳法证明有哪些步骤？,数学归纳法通常解决什么问题？,(与正整数有关命题),目的要求,例2 用数学归纳法证明：,例题选讲,【分析】(1) 第步应做什么?本题的n0应取多少?,（）在证传递性时，假设什么？求证什么?,（3）比较上述两个式子的左边，相差什么?,例2 用数学归纳法证明：,例题选讲,例题选讲,那么,这就是说，当n=k+1时等式

2、也成立。,例题选讲,例4 用数学归纳法证明： 34n+252n+1能被14整除,分析：(i)容易验证当n1时，341+2521+1 7541416，能被14整除,(ii)设nk(k1，kN*)时，34k+252k+1能被14整除,当nk1时，相应的表达式怎样写？,整除问题,34(k+1)+252(k+1)+1,从34(k+1)+252(k+1)+134k+23452k+152 入手,例题选讲,例4 用数学归纳法证明： 34n+252n+1能被14整除,证明：(i)当n1时，341+2521+17541416， 当n1时，34n+252n+1能被14整除,(ii)设nk(k1，kN*)时，34k

3、+252k+1能被14整除,那么当nk1时,34(k+1)+252(k+1)+134k+23452k+152,8134k+22552k+1,(2556)34k+22552k+1,25(34k+252k+1)5634k+2,整除问题,2、解题关键是把34(k+1)+252(k+1)+1拆分为34k+23452k+152 ，再组合为都能被14整除的两整式的和。,1、本题在解答中应用了数的整除性质 设A、B、C是整数， （1）若A整除B,则A整除BC; (2) 若A整除B且整除C,则A整除B+C, (34k+252k+1)能被14整除，56能被14整除，, 34n+252n+1能被14整除即nk1时

4、，命题成立,根据(i)、(ii)可知, 34n+252n+1能被14整除,例题选讲,25(34k+252k+1)5634k+2,小 结,例5：用数学归纳法证明：x2ny2n能被xy整除,例题选讲,分析 （1）当n=1时是成立的，,例5：用数学归纳法证明：x2ny2n能被xy整除,例题选讲,例4与例5这类整除问题，都用到拆项的方法,例4把34(k+1)+252(k+1)+1拆成34k+23452k+152 ,不同之处是例4 拆项后可以直接分成两个 都能被14整除的数的和，而例5拆项后则需要 增减项后才能分成两个都能被xy整除的数的 和.,例题选讲,思考1：例4与例5这类整除问题在由n=k到 N=

5、k+1时的证明方法有什么相同之处？,思考2：例4与例5在由n=k到N=k+1时的证明 有什么不同之处？,练习：P67练习 1 、 2,5(5 k2k) 32k,解析： (2)假设n=k时命题成立.即:5 k2k 被3整除. 当n=k+1时 5k+12k+1 =55k22k =5(5 k2k) 52k22k =5(5 k2k) 32k,例题选讲,分析：画出n=2，3，4，5时的图形示意图， 观察交点的变化规律。,例6 平面内有n(n1) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.,几何问题,2,3,4,5,f(2)=1,f(3)=3 =1+2 =

6、f(2)+2,f(4)=6 =3+3 =f(3)+3,f(5)=10 =6+4 =f(4)+4,从k条到k+1条交点增加了k点，应证f(k+1)=f(k)+k,例题选讲,几何问题,例6 平面内有n(n1) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.,证明: (1) 当n=2时两条直线的交点只有一个，又 f(2)=2(2-1)/2=1, 因此当n =2时，命题成立。,（2）假设n=k(k1)时命题成立，就是说，平面内满足 题设的任何k条直线的交点的个数f(k)=k(k-1)/2. 现在来考虑平面内有k+1条直线的情况，任取其中的一 条直线，记为L,由题设，L和其它k条直线必有k个不同 交点，又根据假设，其它k条直线的交点的个数f(k)等于 k(k-1)/2,根据题设，这k(k-1)/2个和这k个点是不同的交 点，从而平面内满足题设的k+1条直线的交点的个数是,K(k-1)/2 + k =k(k-1)+2/2=(k+1)(