三角形中位线定理

1、三角形中位线定理,课,创设情景,尝试探索,智海扬帆,梳理回放,巩固拓展,画板,画板,画板,定理证明,例1及发散,提高,A 。,。B,C 。,D。,。 E,如图，在A、B外选一点C，连结AC和BC，,A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这堂课，我们将教大家一种测量的方法。,并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。,今天这堂课我们就要来探究其中的学问。,三角形的中位线和三角形的中线 不同,C,B,A,F,E,D,定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线,演示,AF是ABC的中线,我们把DE叫 ABC

2、 的中位线,注意：,三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段,三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段,区分三角形的中位线和中线：,理解三角形的中位线定义的两层含义:, DE为ABC的中位线, D、E分别为AB、AC的中点,DE为ABC的中位线, D、E分别为AB、AC的中点,一个三角形共有三条中位线。,定义,A,B,C,D。,。E,。F,E点是线段AC的中点 AD=DB且 DEBC AE=EC,A,B,C,D,E,经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边,.如图,已知，在ABC中，点D为线段AB的中点，自D作DE BC，交AC于E，那么点E在AC的什么位置上？ 为什么？,这时

3、DE是ABC的_,中位线,进入几何画板,观察变化中的 三角形中位线 有何特征,三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半,A,B,C,D,E,F,已知：在ABC 中，DE是ABC 的中位线 求证：DE BC，且DE=1/2BC .,证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF. DE=EF 、AED=CEF 、AE=EC ADE CFE AD=FC 、A=CEF ABFC 又AD=DB BD=CF 所以 ，四边形BCFD是平行四边形 DE BC 且 DE=1/2BC,同一法,定理,证法二：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F CFAB，A=ECF 又AE=EC，AED

4、=CEF AD=FC 又DB=AD，DB=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形,证法三：如图，过点C作AB的平行线交DE的延长线于F，连结AF、DC AE=ECDE=EF 四边形ADCF是平行四边形AD=FC 又D为AB中点，DB=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形,A,B,C,E,D,F,A,B,C,E,D,F,证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G AGBCEAG=ECF AEGCEFAG=FC，GE=EF 又ABGF，AGBF四边形ABFG是平行四边形 BF=AG=FC，AB=GF 又D为AB中点，E为GF中点，DB=EF 四边形DBFE是平行四边

5、形 DEBF，即DEBC，DE=BF=FC 即DE=1/2BC,A,B,C,E,D,F,G,过D作DEBC，交AC于E点,D为AB边上的中点,所以DE与DE重合，因此DEBC,同样过D作DFAC，交BC于F,BF=FC= 1/2BC (经过三角形一边的中点与 另一边平行的直线必平分第三边),四边形DECF是平行四边形,DE=FC DE=1/2BC,A,B,C,D,E,E,F,证明：,三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。,如果 DE是ABC的中位线 那么 DEBC， DE=1/2BC, 证明平行问题 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2,用 途,A,B,C,D,E,

6、1.如图1：在ABC中，DE是中位线 （1）若ADE=60， 则B= 度，为什么？ （2）若BC=8cm， 则DE= cm，为什么？,2.如图2：在ABC中，D、E、F分别 是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则DEF的周长= cm,图1,图2,60,4,12,A,B,C,D。,。E,B,A,C,D 。,。E,。F,5,4,3,3. 梯形ABCD中ADBC，对角线AC、BD相交于点O，A、 B、C、D分别是AO、BO、CO、DO中点，则四边形ABCD是_若梯形ABCD周长为10，由四边形ABCD的周长为_,梯形,5,A 。,。B,C 。,D。,。 E,4. 在A、B外选一

7、点C，连结AC和BC，并分别找出 AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度， 也就能知道AB的距离了。为什么？如果测的DE =20m，那么A、B两点间的距离是多少？为什么？,20,40,随着学习的不断深入，同学们将会有更多的办法来解决这个问题,进入几何画板,顺次连结一个四边形各边中点，会得到什么样的图形呢？,例1,例1.求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形,求证：四边形EFGH是平行四边形,证明:连结AC,AH=HD CG=GD,HGAC,(三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半),同理EFAC,HGEF且HG=EF,四边形EFGH是平行四边形,在四边形ABC

8、D另加条件AC=BD， 四边形EFGH是菱形，为什么？ 在四边形ABCD另加条件ACBD，四边形EFGH是什么特殊四边形？为什么？ 若四边形EFGH是正方形，AC与BD应满足什么条件？,2. 连结BD 证：EH = FG,3.连结AC、BD ，证：EFHG， EHFG 4.连结AC、BD， 证：EF=HG， EH=FG,1.连结AC， 证：EF= HG,如果四边形ABCD是特殊的四边形，将会有特殊的平行四边形EFGH出现吗？,小 结,三角形中位线定义,三角形中位线定理,三角形中位线定理应用,作业,1. 如图,AF=FD=DB,FGDEBC,PE=1.5,则BC= ,3,4.5,9,2. 已知：

9、如图 E、F把四边形ABCD的对角线BD三等分，CE、CF的延长线分别平分AB、AD . 求证：四边形ABCD是平行四边形 .,A,B,D,C,E,F,G,H,已知：如图 E、F分别是AC、BD的中点，CD AB，E、F不都是对角线的交点 . 求证： EF 1/2（CD AB） .,图2,G,图3,注意：在处理这些问题时,要求出现三角形及中位线 有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 有三角形而无中位线,要作中点的连线或过中点作平行线,定 理 应 用：,定理为证明平行关系提供了新的工具 定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径 解决“中点问题”,三角形的中位线是连结

10、三角形两边中点的线段,三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段,三角形的中位线是三角形中一种重要的线段,它与三角形的中线不同：,理解三角形的中位线定义的两层含义:, DE为ABC的中位线,D、E分别为AB、AC的中点,DE为ABC的中位线, D、E分别为AB、AC的中点,一个三角形共有三条中位线。,定义,如果 DE是ABC的中位线 那么 DEBC， DE=1/2BC, 证明平行 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2,A,B,C,D,E,三角形的中位线定理 是三 角形 的一个重要性质定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半. .,定理的主要用途：,必做题：P184 页

11、4 、6 ; P180页 4 让学生自选一个顺次连结特殊四边形中点的问题，总结形成文字命题，并加以证明 把证明三角形中位线定理的几种方法整理出来 选做题：,作 业,END,END,顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是,顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是,顺次连结矩形四边中点所得的四边形是,顺次连结菱形四边中点所得的四边形是,顺次连结正方形四边中点所得的四边形是,填空题：,已知:梯形ABCD,ADBC,对角线AC、BD相交于点O, A、B、C、D分别是AO、BO、CO、DO的中 点, 求证:四边形ABCD是梯形 梯形ABCD的周长=梯形ABCD的周长的2倍,A,B,C,D,O,D,C,B,A,证明: AD为OAD的_ AD _1/2AD 同理：BC =_,ADBC AD _BC，由ADBC AD _BC 四边形ABCD是梯形, _为OAD的中位线 AD=_AD 同理：AB=_ _=2BC, CD_2CD,AD+AB+BC+CD