D9-5微积分学基本定理-计算.ppt

1、寄 语,也不属于有钱人,而是属于有心人.,这个世界,不属于有权人,第一节、定积分概念,第三节、可积条件,本章内容：,第二节、牛顿-莱布尼兹公式,第四节、定积分的性质,第五节、微积分学基本定理-定积分计算,第九章,定积分,*第六节、可积性理论补叙,二、定积分的换元法,第五节,一、变限积分与原函数的存在性,微积分学基本定理,定积分计算（续）,三、定积分的分部积分法,四、泰勒公式的积分型余项,一、变限函数与原函数的存在性,定理1.,（2）,（1）,证明：,（1）,则有,(2),证毕.,定理1. (2),原函数的存在性定理,牛顿 莱布尼兹公式再证,证明:,根据定理 1,故,定理2.,函数 ,则,证明:

2、,得,证毕.,微积分学基本定理,微积分学基本公式,小 结,牛顿 莱布尼兹公式,原函数存在定理,问题1,问题2,的原函数如何表示？,两函数,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,例1. 求,解:,原式,例2.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,例3(1),(2),(3) 设函数,是由方程,所确定求,解：方程两边同时对,求导得：,例4 已知,解,例5.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,定理2. （积分第二中值定理）,设函数,1）,若函数,在 上可积，,在 上单调减，且,则存在,使,2）,若函

3、数,在 上单调增，且,则存在,使,证略！,推论.,设函数,若函数,在 上可积，,在 上单调，,则存在,使,证明：,不妨设函数,在 上单调减，令,则h为非负、递减函数，由定理2-1）知，存在,使,即,整理即得。,二、定积分的换元法,定理3. 设函数,函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,4）如果定理条件中只假设,为可积函数，但还要

4、求,是单调函数，则结论仍然成立。,说明,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,换元必换限 不换元则不换限,例3.计算,例4.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,例5 计算下列定积分,解,解,三、定积分的分部积分法,定理4.,则,证:,例1. 计算,解:,原式 =,例2. 证明,证: 令,n 为偶数,n 为奇数,则,令,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,例3.计算,解：,第二项用换元积分法：令,则,一般：,1）佩亚诺(Peano)型 余项,四、泰勒公式的积分型余项,2）拉格朗日(Lagrange)型余项,3）积分型余项,阶的连续导数 ,4）柯西(Cauchy)型余项,阶的连续导数 ,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限 配元不换限 边积边代限,思考与练习,1.,提示: 令,则,2. 设,解法1,解法2,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示: 两边求导, 得,得,3. 设,求,解:,(分部积分),作业,P229 3；4奇数题 ; 5； 6