高二数学上册 第9章《矩阵和行列式初步》 沪教版

1、第二章 矩阵复习课,主要内容 典型例题 自测题,回章目录,本章知识结构图,回章目录,矩阵的定义,由 个数,排成的 行 列的数表,称为矩阵的第i行j列的元素.,元素为实数的称为实矩阵,元素为复数的称为复矩阵.,2. 几种特殊矩阵,元素全为零的 矩阵，记为:O或,零矩阵:,行矩阵:,只有一行的矩阵。,列矩阵:,只有一列的矩阵。,方阵:,行数列数皆相等的矩阵。,上三角方阵:,非零元素只可能在主对角线及其上方。,下三角方阵:,非零元素只可能在主对角线及其下方.,对角方阵:,数量矩阵:,单位方阵:,主对角线上全为1的对角方阵.,3. 矩阵的运算,同型矩阵:,行数和列数均相等的矩阵.,如果两个矩阵 是同型

2、矩,阵,且各对应元素也相同,即,则称矩阵 相等,记作,两个 矩阵 的和,矩阵的和:,矩阵相等:,定义为,矩阵的数乘:,定义为,矩阵的线性运算的运算规律:,矩阵相乘:,矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,n阶方阵的幂:,若A是 阶矩阵，定义 为A的 次幂, 为正整数，,易证,转置矩阵:,转置矩阵的运算性质,对称阵:,设 为 阶方阵，如果满足 ，即.,则 称为对称阵.,反对称阵:,伴随方阵:,余子式,称方阵,为方阵 的伴随方阵.,回章目录,4. 方阵的行列式,由 阶方阵 的各元素按原位置排列构成的,行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,5. 逆矩阵,对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ,

3、使得,则称 为可逆矩阵， 是 的逆方阵。,定义,可逆,相关定理及性质,6. 分块矩阵,矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似,回章目录,典型例题,一、矩阵的运算 二、有关逆矩阵的运算及证明 三、矩阵方程及其求解方法,回章目录,一、矩阵的运算,矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率.,例1,注：对一般的 阶方阵 ，我们常常用归纳的方 法求 .,例2,解:,例3,若 阶实对称阵 满足 ,证明,证: 为对称阵,故有 ,因此有,比较 两端的 元素,由于 为实数,故 即,二、有关逆矩阵的运算及证明,1. 利用定义求

4、逆阵,利用定义求 阶方阵 逆阵，即找或猜或凑一个,阶方阵 ，使 或 ，从而 .,例4,例4,2. 利用伴随矩阵 求逆阵,例5,注：对2阶数字方阵求逆一般,都用 来做，既简便又迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用 求其逆阵，因为若用 去做，计算工作量太大且容易出错，而是利用下章所介绍的初等变换法.,回章目录,3. 利用分块矩阵求逆阵,例6,从而,4. 利用定义证明某一矩阵 为矩阵 的逆阵,例7,注：1. 矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，主要包括：,证明矩阵 可逆；求逆阵；证明矩阵 是矩,2. 证明矩阵 A 可逆，可利用 A 的行列式不为零或找一个矩阵 B，使 AB=E 或 BA=E 等方法；对数字矩阵，若求其逆阵，一般用 A*(如2阶矩阵)或初等变换(3阶及3阶以上的方阵)的方法来做，有时也利用分块矩阵来做.对抽象的矩阵 A，若求其逆，一般是用定义或 A*来做；证明矩阵 B 是矩阵 A 的逆阵，只需验证 AB=E 或 BA=E 即可.,阵 的逆阵.,三. 矩阵方程及其求解方法,矩阵方程,解,例8,以及 及 ，再求 及 就麻烦多了. 因此，在求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程.,例9,注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求,回章目录,第二章自测题,一、填空题