3．1.1　方程的根与函数的零点

1、自主学习基础知识,奇思妙想一题多解,合作探究重难疑点,课时作业,31.1方程的根与函数的零点 学习目标1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点)2.会求函数的零点(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数(难点),一、函数的零点 1定义 对于函数yf(x)，把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点 2几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_,f(x)0,x轴,零点,二、函数零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有_，即存在c(a，b)，

2、使得_，这个c也就是方程f(x)0的根,f(a)f(b)0,零点,f(c)0,三、二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系,(x1，0) (x2，0),(x1，0),2,1,0,1判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)所有的函数都有零点() (2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)() (3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)0.() 【答案】(1)(2)(3),3若函数f(x)在区间(2，5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)f(5)0，则函数f(x)在区间(2，5)上零点的

3、个数是_ 【解析】由函数零点存在性定理和函数的单调性知，f(x)在区间(2，5)上有且只有一个零点 【答案】1,4已知函数yf(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)0，f(2)0，f(3)0，则可以确定零点所在区间为_ 【解析】yf(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(2)f(3)0，函数零点所在区间为(2，3) 【答案】(2，3),预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中,求函数零点的方法 (1)代数法：求方程f(x)0的实数根 (2)几何法：与函数yf(x)的图象相结合，即图象与x轴的交点的横坐标为函数的零点,【解】(1)令f(x)0，即x27x120. 494

4、1210， 方程x27x120有两个不相等的实数根， 函数f(x)有两个零点,判断函数零点个数的主要方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点 (2)画出函数yf(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断函数零点的个数即转化成两个函数图象的交点问题 (3)结合单调性，利用f(a)f(b)0，可判断yf(x)在(a，b)上零点的个数,二次函数f(x)ax2bxc中，ac0，方程ax2bxc0有两个不等实根，故函数有两个零点 【答案】B,确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上 (2)利用函数

5、零点存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点 (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断,(1)(2014怀化高一检测)函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，则实数a的取值范围是_ (2)函数f(x)2ax2x1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是_ 【思路探究】(1)由f(x)0得a12|x|x2，转化为ya1与y2|x|x2图象交点的个数问题 (2)此方程不一定是一元二次方程可以分a0，a0且0，a0且0三种情况讨论,【解析】(1)由f(

6、x)0得a12|x|x2，因为函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点， 所以函数ya1与y2|x|x2的图象有四个交点，画出函数y2|x|x2的图象，如图所示,已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解,若题(1)中的函数有两个不同的零点，试求实数a的取值范围 【解】观察题(1)解析中的图象可知，a11或a10，所以a2或a1.,1方程f

7、(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标 2在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点,3(1)求函数f(x)的零点，通常转化为解方程f(x)0；(2)确定函数的零点、所在的区间，通常利用零点存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反 4函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，体现了函数与方程思想的应用,【妙解点拨】先将函数零点的问题转化为方程的解的问题，再将方程适当变形后转化为两个函数图象交点横坐标所在区间的问题,巧用函数图象分析函数零点所在的区间 (1)使用前提：在方程F(x)0不易解答，且只要求判断函数零点的个数或所在区间时，可以用画函数图象的方法解答,类题尝试 函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数为_ 【常规解法】因为函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f(0)10210，f(2)4lg 320， 所以f(x)在(0，2)上必定存在零点， 又显然f(x)2xlg(x1)2在(0，)上为增