余弦定理(第2课时).ppt

1、第2课时 余弦定理,1余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即 若a、b、c分别是ABC的顶点A、B、C所对的边长，则 a2 ， b2 ， c2 .,b2c22bccosA,a2c22accosB,a2b22abcosC,余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表达形式是 须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例A为钝角，A为直角，A为锐角.,a2b2c2,a2b2c2,a2b2c2,2余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来

2、 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知三边，求 ； (2)已知两边和它们的夹角，求,各角,第三边和其他两个角,1在ABC中，AB5，BC6，AC8，则ABC的形状是 () A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形 解析：因为AB2BC2AC25262820， AC边所对角B为钝角，故选C. 答案：C,答案：B,3在ABC中，已知b1，c3，A60，则a_. 4在ABC中，若(ab)2c2ab，则角C等于_ 解析：(ab)2c2ab，c2a2b2ab. 又c2a2b22abcosC.a2b2aba2b22abcosC. 2cosC1，cosC ，C120. 答

3、案：120,例1在ABC中，已知a2，b2 ，C15，求角A、B和边c的值 分析由条件知C为边a、b的夹角，故应由余弦定理来求c的值,点评本题求出c后，用正弦定理求角A，需要讨论确定A的值，而求出c后，再用余弦定理求角A，可以避免讨论,例2在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，求ABC的最大内角的正弦值 分析本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质，要求出最大内角的正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求出余弦值，再求正弦值,点评本题中比例系数k的引入是解题的关键,迁移变式2在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和sinC.,例3在A

4、BC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，试判断三角形的形状 分析由题目可获取以下主要信息： 边角之间的关系：b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC； 确定三角形的形状 解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状,则条件转化为4R2sin2Csin2B4R2sin2Csin2B 8R2sinBsinCcosBcosC， 又sinBsinC0， sinBsinCcosBcosC， 即cos(BC)0. 又0BC180， BC90， A90，故ABC为直角三

5、角形,点评判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状,迁移变式3在ABC中，(abc)(bca)3bc，且sinA2sinBcosC，试确定ABC的形状 解：由于(abc)(bca)3bc， 所以a2b2c2bc， 又由余弦定理有a2b2c22bccosA，,又sinAsin(BC) sinBcosCcosBsinC且 sinA2sinBcosC， sinBcosCcos

6、BsinC， 即sin(BC)0，BC， 又BC120，BC60. 故ABC为等边三角形,例4在ABC中，C2A，ac10，cosA ，求b.,点评(1)本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c，再利用余弦定理求出b的值，通过正、余弦定理的完美结合求得结果 (2)正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择地运用，也可以综合地运用，要注意以下关系式的运用：,迁移变式4在ABC中，已知ABC，且A2C，b4，ac8，求a、c的长,利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角 请注意：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具 (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例 (3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一 (4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形