《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布8节

1、2020/8/6,1,二维随机变量 ,是两个随机变量视为 一个整体，来讨论其取值规律的.,问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个 一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？,边缘分布问题,第6节 边缘分布,2020/8/6,2,一、二维离散型R.v.的边缘分布,X的边缘分布,Y的边缘分布,2020/8/6,3,设二维随机变量（X, Y）的联合概率分布如下,例1,解：,求随机变量X与Y的边缘概率函数。,2020/8/6,4,二、二维连续随机变量的边缘分布,=P(Xx, -Y+ ),2020/8/6,5,=P(-X+ ,Yy),2020/8/6,6,设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为,例2,

2、解：,求X与Y的边缘概率密度,2020/8/6,7,设二维随机变量(X, Y)的概率密度为,例3,解：,求X与Y的边缘概率密度,y,o,x+y=3/2,G,1 (, 1),1/2 3/2,2020/8/6,8,小结： 二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系：,边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边 缘分布确定联合分布。,难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘 密度不为零的范围。,2020/8/6,9,一、离散随机变量的条件分布,设 ( X ,Y ) 是二维离散随机变量，其分布律为,(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘概率函数分别为：,P X= xi ,Y= yj = pi j ,

3、i , j=1,2,.,第七节 条件分布,2020/8/6,10,由条件概率公式,定理：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，,在Y= yj 条件下X 的条件分布律,(1)若PY= yj 0, 则,自然地引出如下定理：,(2)若PX= xi0, 则,在 X= xi 条件下Y 的条件分布律,2020/8/6,11,条件分布律具有分布律的以下特性：,10 P X= xi |Y= yj 0；,即条件分布律是分布律。,2020/8/6,12,设二维随机变量（X, Y）的联合概率分布如下,例1,解：,求(1)随机变量X在Y=0条件下的条件分布。,2020/8/6,13,设二维随机变量（X, Y）的联

4、合概率分布如下,例1,求 (2)随机变量Y在X=1条件下的条件分布。,解：,则Y在X=1条件下的条件分布为,2020/8/6,14,(2)若X的边缘概率密度fX(x)0,且在点x处连续,则Y在X=x条件下的条件概率密度,定理 设二维连续随机变量（X,Y）的联合概率 密度f(x,y)在点（x,y)处连续。 (1)若Y的边缘概率密度fY(y)0,且在点y处连续,则X在Y=y条件下的条件概率密度,二、连续随机变量的条件分布,2020/8/6,15,连续随机变量的条件分布推导,设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于,所以应在 P y Yy+y0时,考虑X x的条件概率,2020/8/6,16

5、,2020/8/6,17,称为在条件Y= y下X的条件分布函数.,随机变量X在Y=y的条件下的条件密度函数,注：条件密度函数的性质与普通密度函数类似,随机变量Y在X=x的条件下的条件密度函数,2020/8/6,18,由 所围成的区域上服从,设G是平面上的有界区域, 其面积为A, 若二维随机变量(X,Y)具有如下概率密度,则称(X,Y)在G上服从均匀分布. 现设(X,Y)在,例2,解：,均匀分布.求条件概率密度,3,2020/8/6,19,特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于,第8节 相互独立的随机变量,定义 设X,Y是两个随机变量，若对于任意实数x,y有 P(Xx,Y y)=

6、P(Xx)P(Y y) 即 F(x,y)= FX(x) FY(y)， 则称X，Y相互独立。,2020/8/6,20,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用., 在X与Y是相互独立的前提下，,边缘分布可确定联合分布！,实际意义,补充说明,2020/8/6,21,例1,解：由联合概率分布的性质知0, 0, 且,2/3+ +=1,即 +=1/3,由X,Y相互独立,有,2020/8/6,22,例2 已知二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀 分布，D为x轴, y轴及直线y=2x+1所围成的三角形 区域。判断X，Y是否独立。,解: （X,Y）的密度函数为,2020/8/6,23,例3 某种保险丝的寿命(以100小时计)X服从参数为3的指数分布。 （1）有两根此种保险丝，其寿命分别为X1, X2设X1, X2相互独立，求X1, X2的联合概率密度； （2）在(1)中一根保险丝是原装的，另一根是备用的，备用保险丝只在原装保险丝熔断时自动投入工作，于是两根保险丝总的