121任意角的三角函数（二）课件（人教A版必修四）

1、1.2.1 任意角的三角函数(二),有向线段及三角函数线 1.有向线段 (1)定义:带有_的线段. (2)表示:用大写字母表示起点、终点,如有向线段OM,MP.,方向,2.三角函数线,MP,OM,AT,判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值.( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.( ) (3)若角的正弦线的长度为1，则sin =1.( ) (4)若角的余弦线的长度为0，则此时角的终边在x轴上.( ),提示：(1)错误. 三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值. (2)正确.凡是与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的为负值. (3)错误.没有指明正

2、弦线的方向，故sin =1. (4)错误.此时角的终边在y轴上. 答案：(1) (2) (3) (4),【知识点拨】 对三角函数线的三点说明 (1)三角函数线的意义 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,凡与x轴或y轴正向同向的为正值,反向的为负值.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来,使得问题更形象直观,为从几何途径解决问题提供了方便.,(2)三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时也给出了角的三角函数线的画法,即先找到P,M,T点,再画出MP,OM,AT. (3)三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值

3、的大小,同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础.,类型 一 比较三角函数值的大小 【典型例题】 1.sin 1-cos 1_0(填“”或“” ). 2.比较下列各组数的大小.,【解题探究】1. 的正弦线和余弦线的大小关系如何？ 2.比较三角函数值的大小应分几步？ 探究提示： 1. 的正弦线和余弦线的大小相等. 2.分三步.(1)角的位置要“对号入座”.(2)比较三角函数线 的有向线段的长度.(3)确定有向线段的正负.,【解析】 1. 因为 如图所示： 由三角函数线可得sin 1 cos 1，故sin 1-cos 10. 答案：,2.(1)如图所示，在单位圆中作出 的余弦线OM2和 OM1

4、， 因为OM1OM2， 所以 (2)如图所示，分别作出 的正弦线和正切线. 因为ATMP, 所以,【拓展提升】三角函数线比较大小的注意点 (1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值 (2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向,【变式训练】如图，已知角的终边是OP，角的终边是OQ，试利用,的三角函数线判断大小. (1)sin _sin . (2)cos _cos . (3)tan _tan .,【解析】如图所示， sin =MP，sin =NQ，MPNQ， 故sin sin ； cos =OM，cos =O

5、N,OMON, 故cos cos ； tan =AC，tan =AB，ACAB，故tan tan . 答案：(1) (2) (3),类型 二 解不等式 【典型例题】 1.解不等式 的解集为_. 2.求下列函数的定义域.,【解题探究】1.正弦值等于 的角应是什么？ 2.如何应用三角函数线作f()=m(-1m1)的三角函数中角 的终边？ 探究提示： 1.若sin = ，则 2.(1)先作出直线y=m或x=m与单位圆的交点. (2)将原点与交点连接，所得射线即为所求角的终边.,【解析】1.如图，作出正弦值等于 的角x的终边，则正弦值大于 的角 x的终边与单位圆的交点在劣弧 上，所以所求角x的取值范围

6、是 答案：,2.(1)因为2cos x-10, 所以 如图， 所以定义域为 (2)因为3-4sin2x0, 所以 如图， 所以 所以 即定义域为,【互动探究】若题1改为“求不等式 的解集”又如何 求解？ 【解析】如图，作出正弦值等于 的角x 的终边，则正弦值小于或等于 的角x的 终边与单位圆的交点在优弧 上，所以 所求角x的取值范围是 答案：,【拓展提升】解形如f()m或f()m(|m|1)的三角不等式的方法 (1)在直角坐标系及单位圆中，标出满足f()=m的两个角的终边(若f为sin，则角的终边是直线y=m与单位圆的两个交点与原点的连线；若f为cos，则角的终边是直线x=m与单位圆的两个交点

7、与原点的连线. (2)根据三角函数值的大小，找出在02内的取值，再加上k2(kZ).,【变式训练】若0,2)，且 则的取值范 围是_ 【解析】如图， OM为0,2)内的角 的余弦线，欲使 角 的余弦大于等于OM，当OM伸长时，OP与OQ扫过的部分为扇 形POQ，所以 答案：,类型 三 三角函数线的综合应用 【典型例题】 1.若是三角形的内角，且 则这个三角形 是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 2.若 证明sin tan .,【解题探究】1.当是锐角时，sin +cos 的值与1的 大小关系如何？若是钝角呢？ 2.题2若利用三角函数线证明，角的几何意义是什

8、么？ 探究提示： 1.当是锐角时,sin +cos 1；当是钝角时， sin +cos 1. 2.角的几何意义是其所对应的圆弧长.,【解析】1.选D.当 时，由单位圆中的三角函数线 知，sin +cos 1，而 所以必为钝 角,2.如图所示，连接AP，设OAP的面积为S1，扇形OAP的面积 为S2，OAT的面积为S，弧长AP为l， 因为S1S2S,所以 又OA=1，故MPlAT，即sin tan .,【拓展提升】 1.利用三角函数线证明不等式的步骤 (1)在直角坐标系中，利用单位圆，作出角所需要的三角函数线. (2)根据图形，利用相关三角形及扇形的面积，构造不等关系. (3)利用三角函数的几何

9、意义，即证得结论,2.求解角的范围的方法 准确应用单位圆中的三角函数线来求解角的范围，熟记并充分应用以下几种情形：,【变式训练】已知点P(sin -cos ,tan )在第一象限， 在0,2内的取值范围为_. 【解析】由题意 如图， 由三角函数线可得 所以 答案：,【易错误区】三角函数线的解题误区 【典例】(2013天水高一检测)已知角的余弦线是长度为 单位长度的有向线段，那么角的终边在( ) A.x轴的非负半轴上 B.x轴的非正半轴上 C.x轴上 D.y轴上 【解析】选C.由角的余弦线是长度为单位长度的有向线段， 得cos =1，故角的终边在x轴上.,【误区警示】,【防范措施】 1.正确理解

10、有向线段 有向线段是既有长度又有方向的，解题时要注意，如本例中长度为单位长度的有向线段应为1. 2.准确把握三角函数线 正确理解正弦线、余弦线和正切线，注意三者的区别，如本例中不要把正弦线和余弦线混淆.,【类题试解】已知角的正切线是长度为单位长度的有向线 段，则角的终边在直线_上. 【解析】由角的正切线是长度为单位长度的有向线段，得 tan = 1，故角的终边在直线y=x或直线y=-x上. 答案：y=x或y=-x,1.以下说法中正确的个数为( ) 正弦线、余弦线、正切线，三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；正弦线由垂足指向终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切

11、线与终边(或终边的反向延长线)的交点. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选D.由正弦、余弦及正切的三角函数线定义知，均正确.,2.利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系 是( ) A.sin 1sin 1.2sin 1.5 B.sin 1sin 1.5sin 1.2 C.sin 1.5sin 1.2sin 1 D.sin 1.2sin 1sin 1.5 【解析】选C.如图所示： M1P1,M2P2,M3P3分别是1,1.2, 1.5对应的正弦线，数形结合可知，C正确.,3.比较大小：sin 1 155_sin(-1 654)(填“”或 “”). 【解析】sin(3360+75)=sin 75, sin(-5360+146)=sin 146,在单 位圆中，分别作出sin 75和sin 146 的正弦线M2P