第8章 应力状态分析 强度理论

1、材料力学,龚峰,第8章应力状态分析强度理论,8.1概述8.2平面应力状态分析8.3平面应力状态应力圆8.4三向应力状态的最大应力8.5广义胡克定律8.6常用的四个古典强度理论,8.1概述,几个问题1.以前研究过简单变形（拉压、扭转、平面弯曲）横截面上的应力，斜截面上是否也有应力？,8.1概述,几个问题拉压杆斜面上的应力,8.1概述,几个问题2.斜截面的应力是否需要研究？,低碳钢扭,铸铁扭,8.1概述,几个问题3.用什么方法研究斜截面上的应力？是否还要用研究横截面上应力的方法？4.任一斜截面上的应力有什么规律?5.强度条件max适用于单向拉伸，危险点在横截面上只有正应力，没有切应力；强度条件ma

2、x适用于纯剪切，危险点在横截面上只有切应力，没有正应力。如果危险点一个面上既存在正应力，又存在切应力，上述强度条件还适用么?,8.1概述,应力的三个重要概念,应力的点的概念;应力的面的概念;应力状态的概念。,8.1概述,不同点的应力各不相同（大小、方向）-应力的点的概念。,8.1概述,同一点在不同方向面上的应力也各不相同-应力的面的概念。,8.1概述,过一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态。,应力,指明,8.1概述,一点应力状态的描述,微元体,（又称应力单元体）,（4）平行两面对应应力数值相等。,（3）各面应力均匀分布；,（2）各边长为无穷小；dx,dy,dz0,（1）一般为直六面

3、体；,特点：,8.1概述,用应力单元体表示一点的应力状态,8.1概述,用应力单元体表示一点的应力状态,8.1概述,2.微元体的取法：原则：各面应力已知或可求。,8.1概述,b,z,c,y,a,梁内a点满足条件max，c点满足条件max,b点同时满足条件b,b,是否一定满足强度要求？,8.1概述,主平面主应力,1.主平面切应力等于零的平面。一点处一般有三个主平面，互相垂直。2.主应力主平面上的正应力。一点处一般有三个主应力，按代数值大小排列分别记为1,2,3,且123,8.1概述,应力状态的分类,1.单向应力状态只有一个主应力不为零。,8.1概述,应力状态的分类,2.二向（平面）应力状态有两个主

4、应力不为零。,8.1概述,应力状态的分类,3.三向（空间）应力状态三个主应力都不为零。,8.1概述,三向应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,8.2平面应力状态分析,平面应力状态的一般情形,8.2平面应力状态分析,任意斜面上的应力,新方法只要知道微元体六个面上的应力，任意斜截面上的应力便可通过局部平衡求出。,8.2平面应力状态分析,面自x轴正向逆时针转到面外法线n时角定义为正。,2.应力的正负号规定,正应力-拉为正压为负,1.任意斜截面的表示方法,8.2平面应力状态分析,切应力-对研究对象内任一点呈顺时针力矩者为正，逆时针为负。,8.2平面应力状态分析,平衡对象,3.任意斜截面上

5、的应力,平衡方程,参加平衡的量力(应力乘以其作用的面积),微元体局部,8.2平面应力状态分析,8.2平面应力状态分析,8.2平面应力状态分析,一点应力状态：,1.取微元体,2.任一斜截面应力,有界、周期函数,8.2平面应力状态分析,主平面,平面应力状态中有一个主平面是已知的，即垂直于z轴、正应力和剪应力均为零的那个平面。另两个主平面都与它垂直，设它们与x轴正向夹角为0，据主平面定义：,此方程有两个解：0和0+90，说明两个主平面互相垂直。,得：,8.2平面应力状态分析,主应力,平面应力状态中有一个主应力已知是零，另外两个主应力的大小为：,上式求出的max、min和已知是零的三个主应力按照它们代

6、数值的大小顺序排列，即可确定1、2和3。应用以上主平面、主应力公式时应注意：(1)所求出的0为x和y中代数值较大者转至与较大主应力(代数值)方向间所夹的锐角。tg200则为逆时针转，tg200则为顺时针转。(2)x、y和xy应连同符号代入公式。(3)x和xy应为同一平面上的应力。,8.2平面应力状态分析,设极限剪应力的方位角为1，令,得：,此方程同样有两个解：1和1+90，说明两个极限剪应力作用平面互相垂直，且与主平面成45角。将1代回剪应力公式，有,极限剪应力与max、min的关系：,极限剪应力,8.2平面应力状态分析,例8-1分析拉伸实验时低碳钢试样出现滑移线的原因。,从轴向拉伸试件上任一

7、点K处沿横截面和纵截面取应力单元体如下所示：,试件上的滑移线恰恰出现在与横截面成45角的斜截面上，因此可以认为滑移线是由极限剪应力引起的。分析K点的应力状态可知，其最大正应力为max=，最大剪应力为max=(maxmin)/2=/2，最大剪应力数值仅为最大正应力的一半却引起了屈服破坏，表明低碳钢一类塑性材料抗剪能力低于抗拉能力。,8.2平面应力状态分析,例8-分析低碳钢和铸铁圆轴扭转破坏的原因。,纯剪应力状态，max=，横截面就是最大剪应力作用面。1=max=，2=0，3=min=-，画出K点主应力单元体如上图所示。低碳钢试件的破坏面为横截面，恰为最大剪应力max所在面，可认为是被剪断的。铸铁

8、试件的破坏面与轴线成45角，恰为最大拉应力max所在面，可认为是被拉断的。在纯剪应力状态，max=max=，而两种材料断面的方位不同，表明低碳钢的抗剪能力低于其抗拉能力，铸铁的抗拉能力低于其抗剪能力。,8.2平面应力状态分析,例8-3某点应力单元体如图所示，图中应力单位为MPa，求：1.指定斜截面应力；2.主平面；3.主应力；4.面内最大切应力；5.画出主应力单元体。,（1）建立坐标系,x=20MPay=40MPaxy=10MPa=30,8.2平面应力状态分析,（2）求，,=13.7MPa,注意：，算好后按实际方向画在原图上,8.2平面应力状态分析,（3）求主平面,0=9.22,99.22,（

9、4）求主应力,8.2平面应力状态分析,1=41.6MPa,2=03=21.6MPa（4）画主应力单元体,注：大主应力的方向接近原微元体切应力的指向,与0角是锐角钝角无关。主应力单元体须另画图。,（5）求面内最大切应力,1,3,8.3平面应力状态应力圆,应力圆方程,+,=,t,2,-,2,s,2,8.3平面应力状态应力圆,应力圆,圆心（，0）,半径,一点应力状态的另一种表示方法,+,=,t,2,-,2,s,2,8.3平面应力状态应力圆,应力圆-一点应力状态的另一种表示方法,第一步,求出两个互相垂直截面上的应力,第二步,做应力圆,方法,1.直接法,2.利用对应关系,8.3平面应力状态应力圆,应力圆

10、与微元体的对应关系,微元体,应力圆,A.点面对应,一面上的应力,一点的坐标值,B.转向对应,斜面法线转向,半径转向,C.二倍角对应,斜面转角,半径转角2,相同,8.3平面应力状态应力圆,点面对应,D1(x,xy),一面上的应力,一点的坐标值,8.3平面应力状态应力圆,转向对应、二倍角对应,D1(x,xy),8.3平面应力状态应力圆,主平面、主应力,O,C,R,D1(x,xy),主平面方向,主应力,8.4三向应力状态的在于大应力,一、定义三个主应力都不为零的应力状态。二、三向应力状态应力圆可利用主应力单元体做出。,8.4三向应力状态的在于大应力,三向应力状态主应力单元体,8.4三向应力状态的在于

11、大应力,根据主应力单元体做应力圆,平行于3的所有截面,8.4三向应力状态的在于大应力,根据主应力单元体做应力圆,平行于1的所有截面,8.4三向应力状态的在于大应力,根据主应力单元体做应力圆,平行于2的所有截面,8.4三向应力状态的在于大应力,三向应力状态应力圆,8.4三向应力状态的在于大应力,三向应力状态应力圆,三类特殊截面对应三个应力圆,其余截面对应三个应力圆包围区域,8.4三向应力状态的在于大应力,三、应力第一不变量xyz=123=常数四、极值应力1.极值正应力,max=1min=3,8.4三向应力状态的在于大应力,2.极值切应力,面内主切应力,最大切应力,8.4三向应力状态的在于大应力,

12、例题,求图示微元体的主应力和最大切应力。解：这是主应力单元体，据定义，1=60MPa2=30MPa3=70MPa,8.4三向应力状态的在于大应力,求图示微元体的主应力和最大切应力。解：这是特殊三向应力状态，已知一个主平面和主应力，另两个主平面和主应力可按平面应力状态计算。,1=15MPa2=12MPa3=11MPa,例题,8.4三向应力状态的在于大应力,求图示微元体的主应力和最大切应力。解：已知一个主应力40MPa,另两个主应力可按纯剪应力状态结论直接写出。1=40MPa,2=30MPa,3=30MPa,例题,8.5广义胡克定律,各向同性材料；应力不超过材料的比例极限。胡克定律成立,8.5广义

13、胡克定律,1、纵向线应变与横向线应变,-泊松比,8.5广义胡克定律,2、三向应力状态的广义胡克定律,叠加法,8.5广义胡克定律,广义胡克定律的一般情形,8.5广义胡克定律,讨论,（1）线应变只与正应力有关，与切应力无关；切应变只与切应力有关，与正应力无关。（2）一个方向的线应变不仅与该方向的正应力有关，而且与两个垂直方向的正应力有关。因此，考察一个方向的线应变时，需要考虑三个互相垂直方向的正应力。,8.5广义胡克定律,3.应变第一不变量,常数,8.5广义胡克定律,4.主线应变,e1e2e3,8.5广义胡克定律,5.三个弹性常数之间的关系,8.5广义胡克定律,6.最大切应变,max=13,8.5

14、广义胡克定律,7.体应变,V=（1+ex）dx（1+ey）dy（1+ez）dzdxdydz=(exeyez)dxdydz体应变=V/V=exeyez,8.5广义胡克定律,求x,y,z方向线应变和xy,例,8.5广义胡克定律,例,研究纯剪应力状态的体应变。分析：s1=t,s2=0,s3=t,8.5广义胡克定律,例,已知:d,E,45,求:Me1.应力状态分析,2.求,3.求Me,s1=t,s3=t,8.6常用的四个古典强度理论,概述1.建立强度条件的复杂性,拉伸,弯曲,强度条件,8.6常用的四个古典强度理论,建立强度条件的基本思想：模拟！,弯曲,强度条件,8.6常用的四个古典强度理论,复杂应力状

15、态的形式是无穷无尽的，建立复杂应力状态下的强度条件，采用模拟的方法几乎是不可能的，即逐一用试验的方法建立强度条件是行不通的，需要从理论上找出路。,强度条件如何模拟,？,8.6常用的四个古典强度理论,2.利用强度理论建立强度条件（1）对破坏形式分类；（2）同一种形式的破坏，可以认为是由相同的原因造成的；（3）至于破坏的原因是什么，可由观察提出假说，这些假说称为强度理论;（4）利用简单拉伸实验建立强度条件。,8.6常用的四个古典强度理论,四个常用强度理论,破坏形式分类：脆性断裂；塑性屈服。,8.6常用的四个古典强度理论,脆性断裂理论,1.最大拉应力理论（无裂纹体断裂准则）,无论材料处于什么应力状态

16、，只要最大拉应力达到极限值，材料就会发生脆性断裂。,（第一强度理论，17世纪，Galileo）,8.6常用的四个古典强度理论,破坏原因：tmax（最大拉应力）破坏条件：1=o（b）,强度条件:,适用范围:脆性材料拉、扭；一般材料三向拉；铸铁二向拉-拉，拉-压（stsc）,8.6常用的四个古典强度理论,2.最大伸长线应变理论,（第二强度理论，17世纪末）,无论材料处于什么应力状态，只要最大伸长线应变达到极限值，材料就发生脆性断裂。破坏原因：tmax（最大伸长线应变）破坏条件：1=0,1（2+3）=0=b,8.6常用的四个古典强度理论,强度条件：1（2+3）b/n=s适用范围：石、混凝土压；铸铁二

17、向拉-压（tc）,8.6常用的四个古典强度理论,塑性屈服理论,1.最大切应力理论（第三强度理论，18世纪末，Tresca）无论材料处于什么应力状态，只要最大切应力达到极限值，就发生屈服破坏。破坏原因：tmax破坏条件:tmax=t0,8.6常用的四个古典强度理论,13=0=s强度条件：,适用范围：塑性材料屈服破坏；一般材料三向压。,8.6常用的四个古典强度理论,2.畸变能理论,（第四强度理论，20世纪初，Mises）无论材料处于什么应力状态，只要畸变能密度达到极限值，就发生屈服破坏。简介应变能：构件弹性变形储存的机械能。应变能密度v:材料单位体积储存的应变能。分为两部分：体积改变能密度vv畸变

18、能密度vd,8.6常用的四个古典强度理论,畸变能密度,8.6常用的四个古典强度理论,8.6常用的四个古典强度理论,破坏原因：vd（畸变能密度）,强度条件：,破坏条件：,适用范围：塑性材料屈服；一般材料三向压。,8.6常用的四个古典强度理论,相当应力,强度条件中直接与许用应力比较的量，称为相当应力r,(畸变能理论),(最大切应力理论),(最大拉应力理论),（最大伸长线应变理论）,8.6常用的四个古典强度理论,强度条件的一般形式r,8.6常用的四个古典强度理论,平面应变状态特例,已知：和试写出最大切应力理论和畸变能理论相当应力的表达式。,8.6常用的四个古典强度理论,首先确定主应力,20,8.6常用的四个古典强度理论,最大切应力理论,畸变能理论,r4=,8.6常用的四个古典强度理论,例,已知：铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力t=30MPa。求：试校核该点的强度。,8.6常用的四个古典强度理论,首先根据材料和应力状态确定失效形式，选择强度理论。,脆性断裂，最大拉应力理论,max=1t,x=10MPa,y=23MPa,xy=11MPa,8.6常用的四个古典强度理论,其次确定主应力,8.6常用的四个古典强度理论,主