2024年湖北省武汉市高考数学一调试卷

第1页（共1页）2024年湖北省武汉市高考数学一调试卷一、单选题1．（5分）已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{y|y＝2x}，则（）A．A∩B＝∅ B．A∩B＝A C．A∪B＝R D．A∪B＝A2．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣2φ），则“，k∈Z”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知cos（θ），则2sin（θ）+cos（θ）等于（）A． B． C．2 D．﹣24．（5分）已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中x2的系数为（）A．﹣1215 B．1215 C．135 D．﹣1355．（5分）人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式p（t）＝110+20sin（140πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为（）A．50 B．70 C．90 D．1306．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为线段A1B1，CC1的中点，，平面ABN⊥平面BB1C1C，则四面体ABMN的外接球的体积为（）A． B．10π C． D．30π7．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则f（x）的对称中心为（）A． B． C． D．8．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M是C上一点，N是l与x轴的交点，若|MN|＝4，|MF|＝4，则p＝（）A． B．2 C． D．4二、多选题（多选）9．（5分）已知函数的所有零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，则（）A．n＝20 B．n＝18 C．x1+x2+…+xn＝10 D．x1+x2+…+xn＝9（多选）10．（5分）下列说法中，正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 C．若样本数据2x1+1，2x2+1，……，2x10+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x10的方差为2 D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差（多选）11．（5分）已知函数的图象如图所示，函数h（x）＝f（x）+f′（x），则（）A．h（x）在区间上单调递减 B．为h（x）的极小值点 C．是曲线y＝h（x）的一个对称中心 D．y＝h（x）的两个不同零点分别为x1，x2，则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）（多选）12．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，直线l：x﹣y﹣4＝0，点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，则（）A．直线AB的斜率为1 B．四边形PAOB的面积为 C． D．三、填空题13．（5分）函数f（x）＝|x﹣1|与函数的图象所有交点的横坐标之和为．14．（5分）与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为．15．（5分）在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AB＞A1B1，侧棱AA1与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．16．（5分）在矩形ABCD中，，AB＝1，BC＝3，则向量在向量方向上的投影为．四、解答题17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A的值；（2）若△ABC的面积为为边BC的中点，求AD的长．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AB＝AE＝2DF，AE∥DF．（1）证明：平面AEC⊥平面CEF；（2）求平面ABE与平面CEF夹角的余弦值．19．（12分）已知椭圆的离心率为分别为椭圆C的左、右和上顶点，直线A1B交直线l：y＝x于点P，且点P的横坐标为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的直线与椭圆C交于第二象限内D，E两点，且E在P，D之间，A1E与直线l交于点M，试判断直线A1D与A2M是否平行，并说明理由．20．（12分）某电商专门生产某种电子元件，生产的电子元件除编号外，其余外观完全相同，为了检测元件是否合格，质检员设计了图甲、乙两种电路．（Ⅰ）在设备调试初期，已知该电商试生产了一批电子元件共5个，只有2个合格，质检员从这批元件中随机抽取2个安装在甲图电路中的A，B处，请用集合的形式写出试验的样本空间，并求小灯泡发亮的概率；（Ⅱ）通过设备调试和技术升级后，已知该电商生产的电子元件合格率为0.9，且在生产过程中每个电子元件是否合格互不影响，质检员从该电商生产的一批电子元件中随机抽取3个安装在乙图电路中的A，B，C处，求小灯泡发亮的概率．21．（12分）已知抛物线：y2＝2x，直线l：y＝x﹣4，且点B，D在抛物线上．（1）若点A，C在直线l上，且A，B，C，D四点构成菱形ABCD，求直线BD的方程；（2）若点A为抛物线和直线l的交点（位于x轴下方），点C在直线l上，且A，B，C，D四点构成矩形ABCD，求直线BD的斜率．22．（12分）记T为函数f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期，其中ω＞0，0＜φ＜π，且f（0），直线xT为曲线y＝f（x）的对称轴．（1）求φ；（2）若f（x）在区间[π，2π]上的值域为，求f（x）的解析式．

2024年湖北省武汉市高考数学一调试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{y|y＝2x}，则（）A．A∩B＝∅ B．A∩B＝A C．A∪B＝R D．A∪B＝A【解答】解：由题意可得：A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，可知A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B．故选：B．2．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣2φ），则“，k∈Z”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f（x）＝cos（2x﹣2φ），当时，，f（x）为偶函数，所以充分性成立；f（x）为偶函数时，2φ＝kπ（k∈Z），解得，不能得到，所以必要性不成立．故“，k∈Z”是“f（x）为偶函数”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）已知cos（θ），则2sin（θ）+cos（θ）等于（）A． B． C．2 D．﹣2【解答】解：∵cos（θ），∴2sin（θ）+cos（θ）＝2sin[（θ）]+cos[3π+（θ）]＝﹣2cos（θ）﹣cos（θ）＝﹣3cos（θ）＝﹣2，故选：D．4．（5分）已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中x2的系数为（）A．﹣1215 B．1215 C．135 D．﹣135【解答】解：令x＝1，得（a+1）6＝64，（注意所有项的系数之和与所有项的二项式系数之和的区别）解得a＝1（舍去）或a＝﹣3，则的展开式的通项，令6﹣2k＝2，解得k＝2，则展开式中x2的系数为．故选：B．5．（5分）人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式p（t）＝110+20sin（140πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为（）A．50 B．70 C．90 D．130【解答】解：因为函数p（t）＝110+20sin（140πt）的周期为T（min），所以此人每分钟心跳的次数f70．故选：B．6．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为线段A1B1，CC1的中点，，平面ABN⊥平面BB1C1C，则四面体ABMN的外接球的体积为（）A． B．10π C． D．30π【解答】解：如图，取BN的中点D，连接CD，因为CN＝BC＝1，所以CD⊥BN．又平面ABN⊥平面BB1C1C，平面ABN∩平面BB1C1C＝BN，CD⊂平面BB1C1C，所以CD⊥平面ABN，又AB⊂平面ABN，所以CD⊥AB，依题意CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以CC1⊥AB，又CC1∩CD＝C，CC1，CD⊂平面BB1C1C，所以AB⊥平面BB1C1C．又BN，BC⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BN，AB⊥BC，所以，所以，连接C1M，则，所以，又，所以AM2+MN2＝AN2，所以AM⊥MN，因为Rt△AMN与Rt△ABN共斜边AN，所以四面体ABMN的外接球的球心为AN的中点，且外接球半径，所以该球的体积．故选：A．7．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则f（x）的对称中心为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意得，A+B＝1，﹣A+B＝﹣3，则B＝﹣1，A＝2，又，所以T＝π，ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）﹣1，又f（）＝2sin（）﹣1＝1，|φ|，所以φ，f（x）＝2sin（2x）﹣1，令2xkπ，k∈Z，则x，∈Z，故函数f（x）的对称中心为（，﹣1）．故选：A．8．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M是C上一点，N是l与x轴的交点，若|MN|＝4，|MF|＝4，则p＝（）A． B．2 C． D．4【解答】解：设M（x0，y0），作MD垂直与准线于D，∵|MN|＝4，|MF|＝4＝|MD|，可得|DN|4，可得y0＝4，①又2px0，②|MF|＝x04，③联立①②③，解得p＝4．故选：D．二、多选题（多选）9．（5分）已知函数的所有零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，则（）A．n＝20 B．n＝18 C．x1+x2+…+xn＝10 D．x1+x2+…+xn＝9【解答】解：由f（x）＝0，可得sinπx＝lg|x|，函数的零点个数，即为y＝sinπx与函数y＝lg|x|的图象交点个数．由图象可得y＝sinπx与函数y＝lg|x|的图象有20个交点，即n＝20，故A正确，B错误；由f（x）＝sinπ（x）﹣lg|x|＝cosπx﹣lg|x|，f（x）＝sinπ（x）﹣lg|x|＝cosπx﹣lg|x|，可得f（x）＝f（x），即f（x）的图象关于直线x对称，即有x1+x20＝x2+x19＝...＝x10+x11＝1，则x1+x2+...+xn＝x1+x2+...+x20＝10，故C正确，D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）下列说法中，正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 C．若样本数据2x1+1，2x2+1，……，2x10+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x10的方差为2 D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差【解答】解：选项A：由简单随机抽样的定义可知：个体m被抽到的概率为，故A正确；选项B：由于10×60%＝6，第六个数为14，第七个数为16，则第60百分位数为，故B错误；选项C：设数据x1，x2，…，x10的平均数为，方差为S2[（x1）2+（x2）2+...+（x10）2]，则数据2x1+1，2x2+1，……，2x10+1的平均数为'21，方差为S'2[（2x1+1'）2+（2x2+1'）2+...（2x10+1'）2][（2x1﹣2）2+（2x2﹣2）2+...+（2x10﹣2）2]＝4•S2＝4×2＝8，所以S2＝2，故C正确；选项D：设第一层数据为x1，x2，…，xn，第二层数据为y1，y2，…，ym，则，，所以x1+x2+...+xn＝n，y1+y2+...+ym＝m，，，，，总统平均数，总体方差，因为，则，所以，，故D错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知函数的图象如图所示，函数h（x）＝f（x）+f′（x），则（）A．h（x）在区间上单调递减 B．为h（x）的极小值点 C．是曲线y＝h（x）的一个对称中心 D．y＝h（x）的两个不同零点分别为x1，x2，则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）【解答】解：由图象可知函数的最大值为2，即A＝2，又，即T＝2π，所以ω＝1，当时，，k∈Z，因为|φ|，所以，所以，则，当时，，又y＝sinx在上递减，故A正确；，当时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞0，所以为h（x）的极大值点，故B错误；，故C错误；令，得，则，故D正确．故选：AD．（多选）12．（5分）已知圆O：x2+y2＝1，直线l：x﹣y﹣4＝0，点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，则（）A．直线AB的斜率为1 B．四边形PAOB的面积为 C． D．【解答】解：若要∠APB最大，则只需锐角∠APO最大，只需最大，即|OP|最小，所以若|OP|最小，则OP⊥l，由垂径定理有OP⊥AB，所以AB∥l，所以kAB＝kl＝1，故A正确；由题意，，此时，，所以此时，故D错误；而当时，，所以四边形PAOB的面积为，故B错误；由等面积法有四边形PAOB的面积为，又由题意，所以，故C正确．故选：AC．三、填空题13．（5分）函数f（x）＝|x﹣1|与函数的图象所有交点的横坐标之和为10．【解答】解：因为f（2﹣x）＝|2﹣x﹣1|＝|1﹣x|＝f（x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（1）＝0．，所以函数g（x）的图象关于直线x＝1对称，且g（x）的最大值为2．由于f（x）的图象和g（x）的图象都关于直线x＝1对称，所以先考虑两个图象在（1，+∞）上的情形，易知g（x）在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．易知，f（3）＝|3﹣1|＝2，所以可作出函数f（x）与g（x）的大致图象如图所示，所以f（x）的图象和g（x）的图象在（1，+∞）上有5个交点．根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线x＝1对称，因此所有交点的横坐标之和为2×5＝10．故答案为：10．14．（5分）与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为．【解答】解：设圆心坐标为（a，b），（a＞0，b＞0），由于所求圆与直线和直线都相切，故，化简为a2＝b2，而a＞0，b＞0，则a＝b，又圆心到原点的距离为，即a2+b2＝2，解得a＝b＝1，即圆心坐标为（1，1），则半径为，故圆的方程为．故答案为：．15．（5分）在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AB＞A1B1，侧棱AA1与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．【解答】解：如图，取BC和B1C1的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为O1，O2，设A1B1＝x，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r，所以，，同理．因为内切球与平面BCC1B1相切，切点在PQ上，所以①，在等腰梯形BB1C1C中，②，由①②得．在梯形AA1QP中，③，由②③得，代入得x＝1，则棱台的高，所以棱台的体积为．故答案为：．16．（5分）在矩形ABCD中，，AB＝1，BC＝3，则向量在向量方向上的投影为．【解答】解：以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，1），C（3，0），E（1，1），B（0，0），则，，∴，∴向量在向量方向上的投影为．故答案为：．四、解答题17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A的值；（2）若△ABC的面积为为边BC的中点，求AD的长．【解答】解：（1）因为，所以，所以cos（2π﹣2A）＝cosA，所以2cos2A﹣1＝cosA，所以或cosA＝1（舍去），因为A∈（0，π），所以；（2）因为△ABC的面积为，所以，所以bc＝12，因为，所以，即b2+c2+bc＝52，所以b2+c2＝40，因为D是BC的中点，所以，所以，所以，故AD的长为．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AB＝AE＝2DF，AE∥DF．（1）证明：平面AEC⊥平面CEF；（2）求平面ABE与平面CEF夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图，取EC的中点H，连结BD交AC于点O，连结HO、HF，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AE⊥BD，∵AE⊂平面AEC，AC⊂平面AEC，且AE∩AC＝A，∴BD⊥平面AEC，∵H、O分别为EC、AC的中点，∴HO∥EA，且，∵AE∥DF，且．∴HO∥DF，且HO＝DF，∴四边形HODF为平行四边形，∴HF∥OD，即HF∥BD，∴HF⊥平面AEC．∵HF⊂平面CEF，∴平面AEC⊥平面CEF．（2）取CD中点M，连接AM，∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ACD为正三角形，又M为CD中点，∴AM⊥CD，∵AB∥CD，∴AM⊥AB，∵AE⊥平面ABCD，AB，AM⊂平面ABCD，∴AE⊥AB，AE⊥AM，以A为原点，AB，AM，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图，设AB＝AD＝AE＝2DF＝2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，，0），，E（0，0，2），，∵AM⊥平面ABE，∴为平面ABE的一个法向量，设平面CEF的法向量为，∵，∴，取x＝1，得．设平面ABE与平面CEF夹角为θ，则，∴平面ABE与平面CEF夹角的余弦值为．19．（12分）已知椭圆的离心率为分别为椭圆C的左、右和上顶点，直线A1B交直线l：y＝x于点P，且点P的横坐标为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的直线与椭圆C交于第二象限内D，E两点，且E在P，D之间，A1E与直线l交于点M，试判断直线A1D与A2M是否平行，并说明理由．【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为，所以，即a＝2b①，因为点P（2，2）在直线上，所以②，由①②，解得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为．（2）直线A1D与直线A2M平行，理由如下：由题意知，直线DE与坐标轴不垂直，设其方程为x＝ty+m，因为直线DE经过点P（2，2），所以m＝2﹣2t③，联立，消去x得（t2+4）y2+2mty+m2﹣4＝0，设D（x1，y1），E（x2，y2），M（x0，x0），则，④，且Δ＝4m2t2﹣4（t2+4）（m2﹣4）＞0，因为A1，E，M共线，所以，即，整理得，所以，由③④，得2（t﹣1）y1y2+（m+2）（y1+y2）＝2（t﹣1）•（m+2）（）0，所以，即，故直线A1D与A2M平行．20．（12分）某电商专门生产某种电子元件，生产的电子元件除编号外，其余外观完全相同，为了检测元件是否合格，质检员设计了图甲、乙两种电路．（Ⅰ）在设备调试初期，已知该电商试生产了一批电子元件共5个，只有2个合格，质检员从这批元件中随机抽取2个安装在甲图电路中的A，B处，请用集合的形式写出试验的样本空间，并求小灯泡发亮的概率；（Ⅱ）通过设备调试和技术升级后，已知该电商生产的电子元件合格率为0.9，且在生产过程中每个电子元件是否合格互不影响，质检员从该电商生产的一批电子元件中随机抽取3个安装在乙图电路中的A，B，C处，求小灯泡发亮的概率．【解答】解：（Ⅰ）电子元件共5个，只有2个合格，所以有3个不合格的，设3个不合格的电子元件分别为a，b，c，合格的1，2，则该试验的样本空间Ω＝{ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2，12}，共有10个样本点；设事件M为小灯泡发亮，则M＝{12}，只有1个样本点，所以P（M）0.1；（Ⅱ）设事件N为小灯泡亮，因为元件合格的概率为0.9，所以B，C都不合格的概率为（1﹣0.9）（1﹣0.9）＝0.01，要使小灯泡亮，则A合格，且B，C中至少有一个合格，所以P（N）＝0.9×（1﹣0.01）＝0.891．21．（12分）已知抛物线：y2＝2x，直线l：y＝x﹣4，且点B，D在抛物线上．（1）若点A，C在直线l上，且A，B，C，D四点构成菱形ABCD，求直线BD的方程；（2）若点A为抛物线和直线l的交点（位于