高中数学 导数的应用(文)

1、导数的应用,导数的应用举例1,解:(1)由已知f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于f(x)在-1,2上的最大值小于m.,f(2)=7,f(x)在-1,2上的最大值为7.,7m.,故实数m的取值范围是(7,+).,导数的应用举例3,解:(1)由已知f(x)=-x2+4ax-3a2,0a1,a3a.,令f(x)=0得x=a或x=3a.,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,由上表可知,f(x)的单调递增区间是(a,3a),单调递减区间是(-,a)和(3a,+).,当x=a时,f(x)取极小值f(a),当x=3a时,f(x)取极大值f(3a)=b.,导数的应用举例3,解:(2)0a

2、1,2aa+1.,f(x)max=f(a+1)=2a-1,f(x)=-x2+4ax-3a2在a+1,a+2上为减函数.,f(x)min=f(a+2)=4a-4.,当xa+1,a+2时,恒有|f(x)|a,即,-af(x)a恒成立.,4a-4-a且2a-1a.,又0a1,故a的取值范围是,已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,曲线y=f(x)过原点和点P(-1,2).若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间2m-1,m+1递增,求m的取值范围.,导数的应用举例14,解:(1)曲线y=f(x)=a

3、x3+bx2+cx+d过原点,f(0)=0d=0.,f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.,函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=0处取得极值,f(0)=0c=0.,过点P(-1,2)的切线斜率为f(-1)=3a-2b,而曲线f(x)在点P的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角,解得f(-1)=-3.,又f(-1)=2,3a-2b=-3且-a+b=2.,解得a=1,b=3.,f(x)=x3+3x2.,已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,曲线y=f(x)过原点和点P(-1,2).若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45,

4、且倾角为钝角.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间2m-1,m+1递增,求m的取值范围.,导数的应用举例14,解:(2)由(1)知f(x)=3x2+6x.,又由f(x)0 x0,f(x)的单调递增区间为(-,-2和0,+).,函数f(x)在区间2m-1,m+1递增,2m-12m-10.,2m-1,m+1(-,-2或2m-1,m+10,+).,导数的应用举例5,解:(1)由已知f(x)=3x2-2ax-3.,f(x)在区间1,+)上是增函数,在1,+)上恒有f(x)0,即3x2-2ax-30在1,+)上恒成立.,解得a0.,故实数a的取值范围是(-,0.,由于f(0)=-30,f(x

5、)=3x2-8x-3.,在1,4上,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,f(x)在1,4上的最大值是f(1)=-6.,(3)函数g(x)与f(x)的图象恰有三个交点,即方程x3-4x2-3x=bx恰有三个不等实根.,解得a=4.,x=0是方程的一个根,方程x2-4x-3=b即x2-4x-(3+b)=0有两个非零不等实根.,=16+4(3+b)0且3+b0.,解得b-7且b-3.,故实数b的取值范围是(-7,-3)(-3,+).,导数的应用举例6,已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a,b的值,并求出f(x)的单调区间.,解:由已知可得:-1=f

6、(1)=1-3a+2b,即3a-2b=2.,又f(x)=3x2-6ax+2b,0=f(1)=3-6a+2b,即6a-2b=3.,f(x)=3x2-2x-1.,导数的应用举例17,解:(1)ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=(x2+1)2+c.,(2)(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1),由ff(x)=f(x2+1)得,c=1.,已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1).(1)设g(x)=ff(x),求g(x);(2)设(x)=g(x)-f(x),试问:是否存在实数,使(x)在(-,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.,f

7、(x)=x2+1,g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.,=x4+(2-)x2+2-.,(x)=4x3+2(2-)x,=2x(2x2+2-).,(x)在(-,-1)内为减函数,(x)0在(-,-1)内恒成立.,即2x2+2-0在(-,-1)内恒成立.,-22x2在(-,-1)内恒成立.,当x(-,-1)时,2x22(-1)2=2,-22.,4.,又(x)在(-1,0)内为增函数,(x)0在(-1,0)内恒成立.,即2x2+2-0在(-1,0)内恒成立.,-22x2在(-1,0)内恒成立.,当x(-1,0)时,2x22(-1)2=2,-22.,4.,由,知=4.,故存在实数,其值为4,

8、使(x)满足题设条件.,导数的应用举例8,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由;(2)若函数f(x)在0,2上是增函数,x=2是方程f(x)=0的一个根,求证:f(1)-2;(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,(1)解:当a=1时,令x=-1得,f(-1)=1+1+b=2+bb,点(-1,2+b)在函数图象上,且在直线y=b的上方.,函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方.,另解:当a=1时,f(x)=-x3+x2+b,f(x)=-3x2+2x.,函数f(x)的图象不能总在

9、直线y=b的下方.,导数的应用举例8,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由;(2)若函数f(x)在0,2上是增函数,x=2是方程f(x)=0的一个根,求证:f(1)-2;(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,(2)证:x=2是方程f(x)=0的一个根,f(2)=0即-8+4a+b=0b=8-4a.,又f(x)=-3x2+2ax,函数f(x)在0,2上是增函数,a3.,f(1)=-1+a+b=7-3a-2,即f(1)-2.,导数的应用举例8,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a

10、,bR).(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,(3)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(x)上任两点,x1x2.,曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,x1x2,x1x21+(x1+x2)2-a(x1+x2)恒成立.,a2-30.,导数的应用举例8,已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.,另解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(x)上任两点,不妨x1x2.,曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,x1x2,x1-x20.,y1-y

11、2x1-x2.,即f(x1)-f(x2)x1-x2.,f(x1)-x1f(x2)-x2.,记g(x)=f(x)-x,则g(x1)g(x2).,g(x)为R上的减函数.,g(x)0即-3x2+2ax-10对xR恒成立.,a2-30.,导数的应用举例9,1mn2,xm,n),2,导数的应用举例9,对任意的x1,x2m,n),有,导数的应用举例10,解:设每月生产x吨的利润为y元,则x0,且,x=200(-200舍去).,在0,+)上只有一个点x=200使y=0,它就是最大值点,且最大值为,=3150000(元).,故每月生产200吨产品时利润最大,最大利润是315万元.,导数的应用举例11,要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场,现在铁丝网长为lm,只围三边,另一边为一道墙,问长和宽为多少时,才能使所围养鸡场面积最大?,解:设长为xm,宽为ym.,则