山东省潍坊市青州市2020届高三数学热身试题 理（含解析）（通用）

1、2020年山东省潍坊市青州市高考数学热身试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集U=x|ex1，函数f（x）=的定义域为A，则UA为（）A（0，1B（0，1）C（1，+）D恒成立，则a的取值范围是（）A（，1）（1，+）B（1，1）C（1，+）D（1，+）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应的横线上）11已知向量，若，则= 12某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量

2、n= 13某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是 14若的展开式中常数项为43，则 15对于函数y=f（x），如果存在区间，同时满足下列条件：（1）f（x）在上是单调的；（2）当定义域是时，f（x）的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数f（x）=（a0）存在“和谐区间”，则实数a的取值范围是 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数f（x）=2sin（x）cosx+2cos2x+a1（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间上的最大值与最小值的和为2，求a的值17某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，

3、第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：选考物理、化学、生物的科目数123人数52520（I）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（II）从所调查的50名学生中任选2名，记X表

4、示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；（III）将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“y2”的概率18在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小19已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（I）求数列an的通项公

5、式；（）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn20已知椭圆C： =1（ab0），O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，F1MF2的最大值为（）求椭圆C的方程；（）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OPOQ（i）求证：为定值；（ii）求OPQ面积的取值范围21已知函数f（x）=lnx+1，aR（1）若关于x的不等式f（x）x1在上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负2020年山东省潍坊市青州市高考数学热身试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

6、的1设全集U=x|ex1，函数f（x）=的定义域为A，则UA为（）A（0，1B（0，1）C（1，+）D故选：A2复数z的共轭复数为，若为纯虚数，则|z|=（）A2BCD1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】设z=a+bi，则=abi，化简，再根据纯虚数的定义即可得到a2+b2=1【解答】解：设z=a+bi，则=abi，z=a2+b2，=，为纯虚数，a2+b2=1，|z|=1，故选：D3已知函数f（x）=，则f（f（1）+f（log3）的值是（）A7B2C5D3【考点】3T：函数的值【分析】根据已知函数解析式，先求f（0），然后求出f（f（0），再求出f（）即可求解【解答】解：由题意可得

7、，f（1）=log21=0，f（f（1）=f（0）=90+1=2f（）=+1=+1=5=7故选A4如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）A0B2C4D14【考点】EF：程序框图【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【解答】解：由a=16，b=28，不满足ab，则b变为2816=12，由ba，则a变为1612=4，由ab，则，b=124=8，由ab，则，b=84=4，由a=b=4，则输出的a=4故选：C5下列命题中真命题的是（）若pq是假命题，则p，q都是

8、假命题；命题p：4r7，命题q：圆（x3）2+（y+5）2=r2（r0）上恰好有两个点到直线4x3y=2的距离等于l，则p是q的必要不充分条件；若p：x1，q：1，则p是q的充分不必要条件设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（XC+1）=P（XC1），则C=7ABCD【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】，若pq是假命题，则p，q至少有一个假命题；，求得圆心到直线的距离为5，又圆（x3）2+（y+5）2=r2（r0）上恰好有两个点到直线4x3y=2的距离等于l，半径r的取值范围是4r6，即可判定；，若1，x1或x0；若x1，故p是q的充分不必要条件，随机变量X服从正态分布N（3，7）

9、，则其正态分布曲线关于直线x=3对称，当P（XC+1）=P（XC1）时，C+1+C1=6，则C=3【解答】解：对于，若pq是假命题，则p，q至少有一个假命题，故错；对于，命题q：圆心到直线的距离为5，又圆（x3）2+（y+5）2=r2（r0）上恰好有两个点到直线4x3y=2的距离等于l，故半径r的取值范围是4r6则p是q的必要不充分条件，故正确对于，若1，x1或x0；p：x1，故p是q的充分不必要条件，故正确对于，随机变量X服从正态分布N（3，7），则其正态分布曲线关于直线x=3对称，当P（XC+1）=P（XC1）时，C+1+C1=6，则C=3故错故选：D6已知P是ABC所在平面内一点，现将一

10、粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是（）ABCD【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义；CF：几何概型【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是ABC边BC上的中线AO的中点再根据几何概型公式，将PBC的面积与ABC的面积相除可得本题的答案【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，得=2由此可得，P是ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的SPBC=SABC将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为P=故选C7设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a0，b0）的最大值为11，则a+b的最小

11、值为（）A2B4C6D8【考点】7C：简单线性规划【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a0，b0）的最大值为11，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值【解答】解：满足约束条件，的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即11=2ab+3，ab=4，a+b2=4，在a=b=2时是等号成立，a+b的最小值为4故选：B8如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，ACB=45，ADB=30，BCD=120，CD=40，则AB=（）A10B20C30D40【考

12、点】LW：直线与平面垂直的判定【分析】设BC=x，则AB=x，AD=2x，BD=，由此利用余弦定理能求出AB【解答】解：设BC=x，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，ACB=45，ADB=30，BAC=ACB=45，BAD=60，ABC=ABD=90，AB=x，AD=2x，BD=，BCD=120，CD=40，cos120=，解得x=40或x=20（舍）AB=40故选：D9已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是

13、（）A（，+）B（，+）C（，+）D（0，+）【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（mn），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5c，（c5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（mn），由于PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得mn=2a2，即有a1=5+c，a2=5c，（c5），再由三角形的

14、两边之和大于第三边，可得2c+2c10，可得c，即有c5由离心率公式可得e1e2=，由于14，则有则e1e2 的取值范围为（，+）故选：A10设函数，若不等式g（x2）g（ax）对一切x恒成立，则a的取值范围是（）A（，1）（1，+）B（1，1）C（1，+）D（1，+）【考点】3R：函数恒成立问题【分析】根据函数g（x）的解析式，判断函数的奇偶性和单调性，得到关于a，x的不等式组，解出即可【解答】解：，g（x）是偶函数，在递减，由g（x2）g（ax）对一切x恒成立，得x2|ax|在（0，1恒成立，即|a|x|max在（0，1恒成立，解得：a1或a1，故选：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5

15、分，共25分把答案填在答题卡中相应的横线上）11已知向量，若，则=10【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由已知利用向量共线的坐标运算求得m，再由向量垂直的坐标运算求得【解答】解：，由，得m4=0，即m=4，则=27+1（4）=10故答案为：1012某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n=81【考点】B3：分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，由题意得，解得m=81，故答案

16、为：8113某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是7+【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图还原原几何体，可得该几何体为三棱锥，底面ABC为等腰三角形，底边AB=2，高CD=2，侧棱PA底面ABC，PA=2然后求解三角形得答案【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面ABC为等腰三角形，底边AB=2，高CD=2，侧棱PA底面ABC，PA=2在等腰三角形ABC中，由CD=2，AD=1，得AC=BC=，PB=2，PC=3在PBC中，可得cosPBC=sinPBC=则三棱锥的表面积为S=7+故答案为：7+14若的展开式中常数项为43，则21【考点】67：定积分；DB：

17、二项式系数的性质【分析】利用（1）n的展开式的项与x+3的一次项相乘，展开式的常数项与x+3的常数项相乘，即可得到的展开式中常数项为43，即可求出n的值，再根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（1）n的展开式的通项为Cnr（2）rx，由题意可得：3Cn0（2）0+Cn2（2）2=43，解得n=5，则2xdx=x2|=254=21，故答案为：2115对于函数y=f（x），如果存在区间，同时满足下列条件：（1）f（x）在上是单调的；（2）当定义域是时，f（x）的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数f（x）=（a0）存在“和谐区间”，则实数a的取值范围是0a1【考点】3E：函数单调性的判断

18、与证明；34：函数的值域【分析】由条件知函数f（x）在（0，+）和（，0）上分别单调递增，根据和谐区间的定义解方程组，即可【解答】解：由题意可得函数在区间是单调递增的，（，0）或（0，+），则f（m）=m，f（n）=n，故m、n是方程f（x）=x的两个同号的不等实数根，即，即方程ax2（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，mn=，故只需=（a+1）24a20，解得a1，a0，0a1故答案为：0a1三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数f（x）=2sin（x）cosx+2cos2x+a1（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间上的最

19、大值与最小值的和为2，求a的值【考点】HW：三角函数的最值；H1：三角函数的周期性及其求法【分析】（I）利用倍角公式与和差公式可得：函数f（x）=2+a可得f（x）的最小正周期T（II）由x，可得2x+，可得进而得出答案【解答】解：（I）函数f（x）=2sin（x）cosx+2cos2x+a1=sin2x+cos2x+a=2+af（x）的最小正周期T=（II）x，2x+，f（x）a1+a+2=2，解得a=17某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主

20、选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：选考物理、化学、生物的科目数123人数52520（I）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（II）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；（III）将频率视为概率，现从学生

21、群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“y2”的概率【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CF：几何概型【分析】（）计算“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，利用对立事件的概率公式计算选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率值；（）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；（）计算所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生人数，求出相应的频率，根据n次独立重复实验恰有k次发生的概率，求出对应的概率值【解答】解：（）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，

22、则，所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为；（）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2；则.，；从而X的分布列为：X012p数学期望为；（）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名，相应的频率为，由题意知，Y；所以事件“Y2”的概率为18在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线

23、与平面垂直的判定；MR：用空间向量求平面间的夹角【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明A1E平面BEP；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B一A1P一F的余弦值的大小【解答】解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3（1）在图1中，取BE的中点D，连结DFAE：EB=CF：FA=1：2，AF=AD=2而A=60，ADF是正三角形又AE=DE=1，EFAD在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1EFB的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE又BEEF=E，A1E平面BEF，即A1E平面BEP（2）由（1）知，即A1E平面BEP，BEEF以E为原

24、点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，因为二面角BA1PF为钝角，19已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（I）求数列an的通项公式；（）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（I）设递增的等比数列an的公比为q1，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4解得a1=1，a4=8，可得q3=8，解得q，即可得出（II）Sn=2n1可得bn=+（1）nn=+（1）nn通过分类讨论即可得出【解答】解：（I）设递增的等比数列an的公比为q1，a1+a4=9，a2a3=8=a1a

25、4解得a1=1，a4=8，q3=8，解得q=2an=2n1（II）Sn=2n1bn=+（1）nn=+（1）nnn=2k（kN*），数列bn的前n项和Tn=+（）+1+23+（n1）+n=1+n=2k1（kN*），数列bn的前n项和Tn=1+n=120已知椭圆C： =1（ab0），O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，F1MF2的最大值为（）求椭圆C的方程；（）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OPOQ（i）求证：为定值；（ii）求OPQ面积的取值范围【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（）利用已知条件求

26、出a=2，b=1，得椭圆方程（）i）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设lOP：y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2）联立直线与椭圆方程，求出PQ坐标，然后求解为定值当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，验证即可ii） 当OP，OQ斜率都存在且不为0时，表示OPQ面积，利用基本不等式求解面积的范围即可【解答】解：（）由题意椭圆C： =1（ab0），O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，F1MF2的最大值为，可得c=，2b=a，a2=b2+c2，得a=2，b=1，得椭圆方程为：（）i）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设lOP：y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2）由消y得，同理得，故当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，得