2020年普通高等学校招生全国统一考试高考数学信息卷（十二）理（通用）

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试最新高考信息卷理 科 数 学（十二）注意事项：1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由集合，所以，故选C2设复数，在复平

2、面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，由，所以，所以，故选B3已知，则的值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】诱导公式，注意，所以选A4正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ）ABCD【答案】D【解析】因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，所以，故选D5为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列说法正确的是（ ）A，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D，

3、乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【答案】D【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是，乙的平均数是，所以乙的平均数大于甲的平均数，即，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选D6执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】模拟算法：开始，成立；是奇数，成立；是偶数，成立；是奇数，成立；是偶数，不成立；输出，结束算法，故选C7直线过点，且与圆交于，两点，如果，则直线的方程为（ ）AB或CD或【答案】D【解析】因为，所以圆心到直线的距离因为直线经过点，当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为3，符合；当直线斜率存在时，设直线方程为，则有，解得所以直线方程为

4、，即综上可得，直线的方程为或，故选D8已知函数在定义域上是单调函数，若对于任意，都有，则的值是（ ）A5B6C7D8【答案】B【解析】因为函数在定义域上是单调函数，且，所以为一个常数，令这个常数为，则有，且，将代入上式可得，解得，所以，所以，故选B9已知长方体内接于球，底面是边长为2的正方形，为的中点，平面，则球的表面积是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为长方体内接于球，底面是边长为的正方形，设，为的中点，以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，则，则，若平面，则，即，解得，所以球的半径满足，故球的表面积，故选B10在中，角，所对的边分别为，且，若，则的最小值为（ ）ABCD【答案】

5、A【解析】由，则，即，又，所以，又，所以，解得，又因为，即，即，在中，由余弦定理，当且仅当时等号成立，即，所以所以，即的最小值为，故选A11已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图所示，设，根据题意可得，双曲线的方程为，直线的方程为，（1）直线的方程为，（2）又点在双曲线上，所以，(3)联立（1）(3)方程组可得，联立（1）（2）可得，所以，所以，即，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选C12已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为定义在上的偶函

6、数在上递减，所以在上单调递增，若不等式对于上恒成立，则对于上恒成立，即对于上恒成立，所以对于上恒成立，即对于上恒成立，令，则由，求得，（1）当时，即或时，在上恒成立，单调递增，因为最小值，最大值，所以，综上可得；（2）当，即时，在上恒成立，单调递减，因为最大值，最小值，所以，综合可得，无解，（3）当，即时，在上，恒成立，为减函数，在上，恒成立，单调递增，故函数最小值为，若，即，因为，则最大值为，此时，由，求得，综上可得；若，即，因为，则最大值为，此时，最小值，最大值为，求得，综合可得，综合（1）（2）（3）可得或或，即故选A第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试

7、题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13的展开式中的系数为_【答案】【解析】利用通项公式，令，则展开式中的系数为14若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为_【答案】【解析】画出可行域，当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得15在中，边上的中线，则的面积为_【答案】【解析】由题意，延长至，使得，可证，其面积相等，故的面积等于的面积，由已知数据可得，在中由余弦定理可得，所以，所以16已知单位向量，两两的夹角均为(，且)，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：已

8、知，则；已知，其中，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值；已知，则；已知，则三棱锥的表面积其中真命题为_(写出所有真命题的序号)【答案】【解析】由题意，若，则，则，所以不正确；如图，设，则点在平面上，点在轴上，由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，所以是正确的；已知，则，所以，所以是正确的；由，则三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为，所以不正确故选三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知是等比数列，且，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项的和【答案】（1）；（2）【解析】（1）设数列公比为，则，因为，成等差数列，所以，即，

9、整理得，因为，所以，所以（2）因为，所以18（12分）某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为配方和配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)配方的频数分配表：指标值分组频数10304020配方的频数分配表：指标值分组频数510154030（1）若从配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的配方产品中至少1件二级品”为事件，求事件发生的概率；（2）若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系：，其中，从

10、长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【答案】（1）；（2）投资配方产品的平均利润率较大【解析】（1）由题意知，从配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为，则没有抽中二级品的概率为，所以，（2）配方立品的利润分布列为所以配方产品的利润分布列为所以，因为，所以所以投资配方产品的平均利润率较大19（12分）如图，四边形中，分别在，上，现将四边形沿折起，使平面平面（1）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值【答案】（1）在存在一点，且，使平面；（2）【解析】（1）在折叠后的图中过作，交于，过作交于，连结

11、，在四边形中，所以折起后，又平面平面，平面平面，所以平面又平面，所以，所以，因为，所以平面平面，因为平面，所以平面所以在存在一点，且，使平面（2）设，所以，故，所以当时，取得最大值由（1）可以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量，则，即，令，则，则，设平面的法向量，则，即，令，则，则，所以所以二面角的余弦值为20（12分）已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点（1）求椭圆的方程；（2）已知，是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点若直线的斜率为，求四边形面积的最大值当，运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由

12、【答案】（1）；（2）的斜率为定值【解析】（1）因为抛物线方程，所以抛物线焦点为所以，又，所以，所以椭圆的方程为（2）设，设直线的方程为，联立消，得，又，在直线两侧的动点，所以所以，又，所以，当时，四边形面积取得最大值为当时，斜率之和为设直线的斜率为，则直线的斜率为设的方程为，联立，消得，所以，同理所以，所以所以的斜率为定值21（12分）已知函数，其中，为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围【答案】（1）无极值；（2）；（3）【解析】（1）当时，所以，所以无极值

13、（2）因为，设，得，由（1），只需分下面两情况讨论：当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增所以当时，取得极小值，极小值，要使，则有，所以，因为，故或；当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，取得极小值极小值若，则，矛盾所以当时，的极小值不会大于零综上所述，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围是：（3）由（2）知，函数在区间与内都是增函数，由题设，函数在内是增函数，则或由（2）参数时，要使恒成立，必有，即且综上：或所以的取值范围是请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22（10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为（1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的值【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：，直线的参数方程为