高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 函数模型与应用知识破解素材 北师大版必修1（通用）

1、函数模型与应用知识破解一、几类不同增长的函数模型 1一次函数模型：； 2二次函数模型：； 3指数函数模型：； 4对数函数模型：； 5幂函数模型：。二、用已知函数模型解决问题已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答。解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。第二步：根据所给模型，列出函数关系式根据问题已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转

2、化为一个函数问题。第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果。第四步：将所得结论转译成具体问题的解答。三、运用函数知识解决实际问题 近几年来，函数应用题已成为高考的热点题型，其基本步骤为： 1审题审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用普通文语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件。 2建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言统统转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系

3、建立函数模型。这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题。 3解模 运用函数的有关性质进行推理、运算，使问题得到解决。 4还原评价 应用题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景。因此，对于解出结果要代入原问题中进行检验、评判。注：解函数应用题常见的错误 （1）不会将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面； （2）在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件。例1 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调空手段来达到节约用水的目的。某用水的收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费。若每月用水量不超过最低限量只付基本费8元和每户每月定额

4、损耗费元；若用水量超过时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付元的超额费。已知每户每月的定额损耗费不超过5元。该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量水费（元）1992151932233根据上表中的数据，求。解析：设每月用水量为，支付费用为元，则由题意知，。由表知第二、三月份该户水费超过13元，故用水量为均大于最低限量，则，解得。不妨设一月份用水量也超过最低限量，即，这时将代入中得，与矛盾，。，。评注：对于文字叙述冗长，反映数学关系的事物陌生的应用题，认真、耐心地阅读和理解题意至关重要。例2 将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个。若此商品销售单价每个再涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？解析：设商品的销售单价每个再涨元，则实际销售单价为元，此时日销售量为个，每个商品的利润为（元）。故总利润为，易见当时，